Biometrie: Stochastik
1. Kombinatorik
Auswahl mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge
Fakultät: eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt
aller natürlichen Zahlen kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet
Beispiel: Ihr möchtet wissen, wie viele Möglichkeiten es
gibt, 4 Personen auf 4 Stühle zu platzieren. Für diese
Beispiel wäre Lösung 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
,Der Binomialkoeffizient gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man l Objekte aus einer
Menge von m verschiedenen Objekten auswählen kann
Beispiel:
,Auswahl ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge
Eines der klassischsten Beispiele ist die Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, bei 8 Läufern im Finale
des 100-Meter-Laufes die drei Plätze auf dem Siegertreppchen zu besetzen. Offensichtlich gibt es 8
Möglichkeiten, den Sieger auszuwählen. Anschließend gibt es noch 7 Kandidaten für den zweiten
Platz und schließlich 6 Möglichkeiten, noch den Drittplatzierten auszuwählen. Es ergeben sich
8⋅7⋅6=336 Möglichkeiten, die Medaillenträger zu bestimmen.
Auswahl ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge
, ist der Binomialkoeffizient
1.Beispiel: Ben bekommt die Aufgabe, in einer Konditorei 6 verschiedene Stücke Torte einzukaufen,
es sind 20 verschiedene Torten
erhältlich.
(die eine 2 ist zu viel!)
(Und es kommt dasselbe raus egal ob man wirklich 20! : (6! X 14!) rechnet oder es wie im
ausgeschriebenen macht)
2. Beispiel: In einer Fußballmannschaft stehen 7 Verteidiger, 8 Stürmer und 2 Torwarte zur
Verfügung. Der Trainer will ein Team aus 11 Spielern zusammenstellen, welches
aus 5 Verteidigern, 5 Stümern und 1 Torwart besteht.
Er hat Möglichkeiten.
Zusammenfassung Kombinatorik
Wir stellen uns jeweils die Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus n unterscheidbaren Objekten
genau k auszuwählen.
1. Kombinatorik
Auswahl mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge
Fakultät: eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt
aller natürlichen Zahlen kleiner und gleich dieser Zahl zuordnet
Beispiel: Ihr möchtet wissen, wie viele Möglichkeiten es
gibt, 4 Personen auf 4 Stühle zu platzieren. Für diese
Beispiel wäre Lösung 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.
,Der Binomialkoeffizient gibt an, auf wie viele verschiedene Arten man l Objekte aus einer
Menge von m verschiedenen Objekten auswählen kann
Beispiel:
,Auswahl ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge
Eines der klassischsten Beispiele ist die Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, bei 8 Läufern im Finale
des 100-Meter-Laufes die drei Plätze auf dem Siegertreppchen zu besetzen. Offensichtlich gibt es 8
Möglichkeiten, den Sieger auszuwählen. Anschließend gibt es noch 7 Kandidaten für den zweiten
Platz und schließlich 6 Möglichkeiten, noch den Drittplatzierten auszuwählen. Es ergeben sich
8⋅7⋅6=336 Möglichkeiten, die Medaillenträger zu bestimmen.
Auswahl ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge
, ist der Binomialkoeffizient
1.Beispiel: Ben bekommt die Aufgabe, in einer Konditorei 6 verschiedene Stücke Torte einzukaufen,
es sind 20 verschiedene Torten
erhältlich.
(die eine 2 ist zu viel!)
(Und es kommt dasselbe raus egal ob man wirklich 20! : (6! X 14!) rechnet oder es wie im
ausgeschriebenen macht)
2. Beispiel: In einer Fußballmannschaft stehen 7 Verteidiger, 8 Stürmer und 2 Torwarte zur
Verfügung. Der Trainer will ein Team aus 11 Spielern zusammenstellen, welches
aus 5 Verteidigern, 5 Stümern und 1 Torwart besteht.
Er hat Möglichkeiten.
Zusammenfassung Kombinatorik
Wir stellen uns jeweils die Frage, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus n unterscheidbaren Objekten
genau k auszuwählen.
