CONTENU EXCLUSIF-AIDELYCEE
OBJECTIFS BAC MATHEMATIQUES/INITIALISATION
A LA CLASSE PREPARATOIRE :
Probabilités- Lois de Bernoulli et binomiale :
Cette fiche est constituée de rappels de cours complets, de 3 exercices
corrigés sur les lois de Bernoulli, du très classique à l’original et de 4
exercices sur les lois binomiales, indispensables en CPGE comme en
spécialité mathématiques.
Table des matières
A) Page 1 : Lois de Bernoulli (Cours /Exemples / Corrections)
B) Page 7 : Lois binomiales (Cours / Exemples / Corrections)
1) Un classique fondamental : Lois de Bernoulli
A) LOIS DE BERNOULLI
o LE COURS
Soit X une variable aléatoire.
On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p (p
prend ses valeurs entre 0 et 1 exclus) si X prend la valeur 1
lorsque le succès de probabilité p est réalisé et 0 sinon,
lors d’une épreuve.
On note X(Ω)={0,1}.
Et P(X=1)=p et P(X=0)=1-p
De plus, E(X)=p et V(X)=p(1-p).
ON PRECISERA DANS L’ENSEMBLE DU COURS QUE LA
QUESTION : « Donner la loi de X » appelle à donner X(Ω)
et P(X=k) quand k est dans le support
o Exemple concret très classique (type BAC-niveau *):
Soit une pièce truquée avec laquelle on a une probabilité de
2/3 de piocher « pile » et 1/3 de piocher « face ».
1
, CONTENU EXCLUSIF-AIDELYCEE
Soit la variable X prenant la valeur 1 si le succès « obtenir pile »
est réalisé et 0 sinon .
En justifiant, donner la loi de X.
(Corrigé en fin de 1).
o Exemple plus complexe (type BAC-niveau**) :
Soit une urne avec 5 boules à l’intérieur dont 1 bleue, 2
rouges, et 2 vertes. On tire une boule au hasard dans l’urne.
Soit la variable aléatoire X prenant la valeur 1 si on pioche
une rouge et 0 sinon.
1-Donnez en justifiant soigneusement la loi de X et donner
son espérance et sa variance.
2-Interpréter ce résultat d’espérance dans le cas concret
évoqué.
o Exemple plus complexe (type BAC****/PREPA) :
Soit n, un entier naturel di érent de 0.
On prend une urne possédant n balles à l’intérieur,
numérotées de 1 à n et n est pair. On tire au hasard une
boule.
On a de plus n-1 boules rouges et 1 boule noire, la
numéro 1. Soient X et Y telles que :
Soit X : prenant la valeur 1 si « obtenir un numéro pair »
est réalisé et 0 sinon.
Soit Y : prenant la valeur 1 si« obtenir une boule
rouge ».est réalisé et 0 sinon.
1- a) Donner en justifiant soigneusement la loi de Y et
préciser son espérance et sa variance.
b) Calculez P([X=1]).
c) Calculez P([X=1] ∩ [Y=1]).
2- Calculez en justifiant soigneusement E(X+Y).
3- En sachant que P([X=1] U [Y=1]) =
P(X=1)+P(Y=1)-P([X=1] ∩ [Y=1)], (formule que
2
, CONTENU EXCLUSIF-AIDELYCEE
l’on appellera crible de Poincaré), montrez à
l’aide d’une inégalité du cours que,
P(X+Y≥1) ≤ 3n-n.
Et en déduire,
n-1/n ≤ 3n-2/2n avec n di érent de 0, on le
rappelle.
******
Corrigés :
- Exemple 1 :
Commentaire : Exercice super classique pour
comprendre l’application basique des lois de
Bernoulli.
Comme la variable X prend la valeur 1 en cas de
réalisation du succès « obtenir pile », succès de
probabilité 2/3, et 0 sinon alors X suit la loi de
Bernoulli de paramètre 2/3.
- Exemple 2 :
Commentaire : Exercice très classique (et
facile !) encore qui permet d’assimiler la notion
et de comprendre ce que l’on attend de vous au
baccalauréat.
Néanmoins, on peut surligner en jaune des
points de rédaction incontournables pour
montrer la rigueur et prendre tous les points !
1- D’abord, X prend la valeur 1 en cas de
réalisation du succès « obtenir une boule
rouge », succès de probabilité 2/5 par
équiprobabilité (puisque le tirage se fait au
hasard) et 0 sinon.
Ainsi, X suit la loi de Bernoulli de paramètre 2/5.
Ainsi, E(X)=2/5
V(X)=2/5 (1-2/5)
3
OBJECTIFS BAC MATHEMATIQUES/INITIALISATION
A LA CLASSE PREPARATOIRE :
Probabilités- Lois de Bernoulli et binomiale :
Cette fiche est constituée de rappels de cours complets, de 3 exercices
corrigés sur les lois de Bernoulli, du très classique à l’original et de 4
exercices sur les lois binomiales, indispensables en CPGE comme en
spécialité mathématiques.
Table des matières
A) Page 1 : Lois de Bernoulli (Cours /Exemples / Corrections)
B) Page 7 : Lois binomiales (Cours / Exemples / Corrections)
1) Un classique fondamental : Lois de Bernoulli
A) LOIS DE BERNOULLI
o LE COURS
Soit X une variable aléatoire.
On dit que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p (p
prend ses valeurs entre 0 et 1 exclus) si X prend la valeur 1
lorsque le succès de probabilité p est réalisé et 0 sinon,
lors d’une épreuve.
On note X(Ω)={0,1}.
Et P(X=1)=p et P(X=0)=1-p
De plus, E(X)=p et V(X)=p(1-p).
ON PRECISERA DANS L’ENSEMBLE DU COURS QUE LA
QUESTION : « Donner la loi de X » appelle à donner X(Ω)
et P(X=k) quand k est dans le support
o Exemple concret très classique (type BAC-niveau *):
Soit une pièce truquée avec laquelle on a une probabilité de
2/3 de piocher « pile » et 1/3 de piocher « face ».
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Soit la variable X prenant la valeur 1 si le succès « obtenir pile »
est réalisé et 0 sinon .
En justifiant, donner la loi de X.
(Corrigé en fin de 1).
o Exemple plus complexe (type BAC-niveau**) :
Soit une urne avec 5 boules à l’intérieur dont 1 bleue, 2
rouges, et 2 vertes. On tire une boule au hasard dans l’urne.
Soit la variable aléatoire X prenant la valeur 1 si on pioche
une rouge et 0 sinon.
1-Donnez en justifiant soigneusement la loi de X et donner
son espérance et sa variance.
2-Interpréter ce résultat d’espérance dans le cas concret
évoqué.
o Exemple plus complexe (type BAC****/PREPA) :
Soit n, un entier naturel di érent de 0.
On prend une urne possédant n balles à l’intérieur,
numérotées de 1 à n et n est pair. On tire au hasard une
boule.
On a de plus n-1 boules rouges et 1 boule noire, la
numéro 1. Soient X et Y telles que :
Soit X : prenant la valeur 1 si « obtenir un numéro pair »
est réalisé et 0 sinon.
Soit Y : prenant la valeur 1 si« obtenir une boule
rouge ».est réalisé et 0 sinon.
1- a) Donner en justifiant soigneusement la loi de Y et
préciser son espérance et sa variance.
b) Calculez P([X=1]).
c) Calculez P([X=1] ∩ [Y=1]).
2- Calculez en justifiant soigneusement E(X+Y).
3- En sachant que P([X=1] U [Y=1]) =
P(X=1)+P(Y=1)-P([X=1] ∩ [Y=1)], (formule que
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l’on appellera crible de Poincaré), montrez à
l’aide d’une inégalité du cours que,
P(X+Y≥1) ≤ 3n-n.
Et en déduire,
n-1/n ≤ 3n-2/2n avec n di érent de 0, on le
rappelle.
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Corrigés :
- Exemple 1 :
Commentaire : Exercice super classique pour
comprendre l’application basique des lois de
Bernoulli.
Comme la variable X prend la valeur 1 en cas de
réalisation du succès « obtenir pile », succès de
probabilité 2/3, et 0 sinon alors X suit la loi de
Bernoulli de paramètre 2/3.
- Exemple 2 :
Commentaire : Exercice très classique (et
facile !) encore qui permet d’assimiler la notion
et de comprendre ce que l’on attend de vous au
baccalauréat.
Néanmoins, on peut surligner en jaune des
points de rédaction incontournables pour
montrer la rigueur et prendre tous les points !
1- D’abord, X prend la valeur 1 en cas de
réalisation du succès « obtenir une boule
rouge », succès de probabilité 2/5 par
équiprobabilité (puisque le tirage se fait au
hasard) et 0 sinon.
Ainsi, X suit la loi de Bernoulli de paramètre 2/5.
Ainsi, E(X)=2/5
V(X)=2/5 (1-2/5)
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