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Mathe Kompakt: Semester-Zusammenfassungen für effizientes Lernen

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Kurs
Mathe

Hochschule
Hochschule Für Technik Und Wirtschaft Berlin (HTW)

Dieses Buch bietet eine klare und prägnante Zusammenfassung der wichtigsten mathematischen Konzepte, die während des Semesters behandelt wurden. Ideal für Studierende, die sich schnell auf Prüfungen vorbereiten oder ihr Wissen auffrischen möchten. Die Inhalte sind verständlich strukturiert, m...

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Hochgeladen auf 28. september 2024
Anzahl der Seiten 181
geschrieben in 2023/2024
Typ Zusammenfassung

integral
aufgaben mit lösungen
substitution
partielleintegration
flächen berechnung
uneigentliche integrale
weitere anwe
unbestimmtes und bestimmtes integral
integration mittels partialbruch zerlegung

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Nadem Alﬁyad

Inhaltsverzeichnis

1) INTEGRALRECHNUNG: .............................................................................................................. 4

A) UNBESTIMMTES INTEGRAL: ............................................................................................................. 4
I. LINEARITÄT DER INTEGRALRECHNUNG: ...................................................................................................... 4

AUFGABE:........................................................................................................................................ 8

I. SUBSTITUTION: ................................................................................................................................... 11
II. PARTIELLE INTEGRATION ...................................................................................................................... 13
III. INTEGRATION MITTELS PARTIALBRUCH ZERLEGUNG: ................................................................................ 15
A) FÄLLE DER PBZ: ......................................................................................................................... 18
IV. AUFGABEN UND ÜBUNGEN .......................................................................................................... 26

B) BESTIMMTE INTEGRAL ........................................................................................................... 38

A) FLÄCHEN BERECHNUNG ............................................................................................................... 38
B) UNEIGENTLICHE INTEGRALE........................................................................................................... 40
I. INTEGRALE MIT UNBESCHRÄNKTEN INTEGRATIONSINTERVALLEN: .................................................................. 40
I. FLÄCHENBERECHNUNG: ........................................................................................................................ 43

2) WEITERE ANWENDUNG DER INTEGRAL: ................................................................................. 47

A) DIE BERECHNUNG DER LÄNGE EINER KURVE ..................................................................................... 47
B) NICHT INTEGRIERBARE FUNKTIONEN MIT TAYLORPOLYNOM ................................................................. 48
C) TRAPEZ VERFAHREN .................................................................................................................... 50

3) GRENZWERT: .......................................................................................................................... 51

• HOSPITAL REGEL FÜR ∞∞ .................................................................................................................... 52

4) FLÄCHE EINES KREISES MIT HILFE DER INTEGRALRECHNUNG: ................................................. 53

5) FLÄCHE ZWISCHEN ZWEI FUNKTIONEN ................................................................................... 54

6) UMFANG EINES KREISES MIT HILFE DER INTEGRALRECHNUNG: .............................................. 55

7) PRÜFUNGSAUFGABEN: ........................................................................................................... 56

8) DGL MIT LAPLACE TRANSFORMATION: ................................................................................... 58

A) LINEARITÄT DER LAPLACE- TRANSFORMATION: .................................................................................. 61
B) LAPLACE- TRANSFORMATION- DÄMPFUNGSSATZ: .............................................................................. 61

,Nadem Alﬁyad

C) LAPLACE- TRANSFORMATION- ZEITVERSCHIEBUNGSSATZ ...................................................................... 62
D) LAPLACE- TRANSFORMATION- ÄHNLICHKEITSSATZ .............................................................................. 63
E) LAPLACE- TRANSFORMATION-DIFFERENTIATIONSSATZ ......................................................................... 63
F) LAPLACE- TRANSFORMATION- INTEGRATIONSSATZ .............................................................................. 63
G) LAPLACE- TRANSFORMATION- RÜCKTRANSFORMATION ....................................................................... 64

9) LÖSUNG EINE DGL. 1. ORDNUNG: ........................................................................................... 65

A) ÜBUNGEN DGL: ......................................................................................................................... 67
B) EIGENSCHAFTEN DER LAPLACE TRANSFORMATION .............................................................................. 69
I. DÄMPFUNG........................................................................................................................................ 69
II. MULTIPLIKATION: ............................................................................................................................... 70
III. ÄHNLICHKEIT ODER STRECKUNG: .......................................................................................................... 70
IV. FALTUNG.......................................................................................................................................... 71
V. INTEGRATIONSSATZ ............................................................................................................................. 71
IV. WEITERE ÜBUNGEN: .......................................................................................................................... 72

10) ÜBUNGSBLATT 5 ................................................................................................................... 73

11) ÜBUNGSBLATT 6 ................................................................................................................... 81

12) TAFELBILD: ........................................................................................................................... 87

A) TRANSFORMATION VON FUNKTIONEN: ............................................................................................ 88
ÜBUNG DGL-ELEKTROTECHNIK: ............................................................................................................ 90

13) DGL MIT LAMBDA- VERFAHREN ............................................................................................ 91

A) LAMBDA- VERFAHREN MIT INHOMOGENER GLEICHUNG ...................................................................... 97
B) STÖRFUNKTION .......................................................................................................................... 99
C) LINEARE UNABHÄNGIGKEIT: (FUNDEMENTALITÄT) ............................................................................ 100

14) VARIATION DER VARIABLEN................................................................................................ 102

A) GETRENNTE DGL. VARIABLEN MIT ISOKLINEN- DIAGRAMM BESTIMMEN ............................................ 106
A) INHOMOGENE DGL MIT GETRENNTE VARIABLE: .............................................................................. 108
B) STROM- GLEICHUNG ................................................................................................................. 109
C) SUBSTITUTION: ........................................................................................................................ 110
PRÜFUNGSAUFGABEN: ...................................................................................................................... 112

15) ÜBUNGSBLATT 7 ................................................................................................................. 114

16) ÜBUNGSBLATT 8: ................................................................................................................ 123

17) FOURIER REIHE ................................................................................................................... 125

A) PERIODISCHE DARSTELLUNG JEDER PERIODISCHER FUNKTION ............................................................. 128
B) ÜBERPRÜFUNG AUF GLEICHHEIT DER FOURIER REIHE ........................................................................ 135

,Nadem Alﬁyad

C) KOMPLEXE FOURIER REIHE ......................................................................................................... 140

18) ÜBUNG BLATT 9.................................................................................................................. 145

19) PROBEKLAUSUR 1:.............................................................................................................. 158

20) PROBE KLAUSUR ................................................................................................................ 165

FOURIER TRANSFORMATION ....................................................................................................... 171

, Nadem Alﬁyad

1) Integralrechnung:
a) Unbes(mmtes Integral:
Ist 𝐹(𝑥), so heißt für 𝐹(𝑥) eine Stammfunk9on von 𝑓(𝑥).
Ist eine Stammfunk9on von 𝑓, so erhält man alle Stammfunk9onen von 𝑓, wenn man eine
𝑐 ∈ ℝ zu F addieren

+ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

I. Linearität der Integralrechnung:
+ 𝛼 𝑓(𝑥) + 𝛽𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝛼 + 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝛽 + 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

Beispiele für die Linearität:
1
+(𝑥 ! ) 𝑑𝑥 = 𝑥 !"# , 𝑟 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ≠ −1
𝑟+1

Beispiel:
3
+ 3𝑥 $ 𝑑𝑥 = 3 + 𝑥 $ 𝑑𝑥 = 𝑥 % + 𝐶
3

& ! (()
Integra9on von &(() Ableitung des Nenners im Zähler
𝑓 * (𝑥)
+ 𝑑𝑥 = ln(|𝑓(𝑥)|) + 𝑐
𝑓(𝑥)
& ! (()
Wenn Sie eine Funk9on der Form ln<𝑓(𝑥)= ableiten, stellen Sie fest: 𝑙𝑛* <𝑓(𝑥)= = &(()
d.h. die Ableitung des Nenners steht im Zähler.

Beispiele:
e)
a)
3𝑥 $ + 2𝑥
1 + % 𝑑𝑥 = ln(|𝑥 % + 𝑥 $ |) + 𝑐
+ 𝑑𝑥 = ln(|𝑥|) + 𝑐 𝑥 + 𝑥$
𝑥
f)
b)
1 𝑥 +#
+ 𝑑𝑥 = ln(|𝑥 + 3|) + 𝑐 + 𝑑𝑥 = ln(|𝑙𝑛(𝑥)|) + 𝑐
𝑥+3 ln(𝑥)

c)
1 1 3 1
+ 𝑑𝑥 = + 𝑑𝑥 = ln(|3𝑥 − 3|) + 𝑐
3𝑥 − 3 3 3𝑥 − 3 3

e) g)
−sin(𝑥) 𝑥$ 1
+ 𝑡𝑎𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = − + 𝑑𝑥 + %
𝑑𝑥 = ln(|𝑥 % + 4|) + 𝑐
cos(𝑥) 𝑥 +4 2
sin(𝑥)
= −+ 𝑑𝑥 = − ln(|𝑐𝑜𝑠(𝑥)|) + 𝑐
cos(𝑥)

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