Zusammenfassung Mathe-Abikurs Skript

Abi kurs 2022

, 1 Analysis

1. 1. Nullstellen berechnen
1. 1. 1. Nullstellen der quadratischen Funktionen :




I Satz des Vida →p muss addiert sein , q Multipliziert
'
✗ +
p
.
✗
+9=0
✗^ + tz =
p
-




✗1
q Xz =
'




II. Ausklammern /favorisieren
-

ausklammern und mit der Nullprodukt satz rechnen
-


Binomische Formeln :


-

1. Binomische Formel: la + b) 2=02+2ab + b-
•
2. Binomische Formel: (a- b) 2=62 -
Zabtb
'


•
3. Binomische Formel : ( a- b) la +b)
-
=
a
'
-
b2
II. PQ -

Formel
✗na
= -
E ±
MEI
II. Quadratische
Ergänzung
-
mit (E)2 ergänzen → siehe Beispiel
"
I. bloßes Auflösen nur eine Variable vorhanden ist
„ , wen
.




Beispiel :



a) Einfaches Auflösen :
f- ( ✗f- ✗ 2- 4

f- 1×1=0
0=+2-4 1+4

⇐3×2=4 IM

✗n = -2 ✓ ✗ 2=2


b) flx / ✗ 2-1×-6 =



↳ Quadratische ↳ oder PQ Formel
Ergänzung : -




0=+2-1×-6 1+6 2 ✗„ z = -
I ± TIFF (-1-6) wird zu + 6)
(E) → mit
⇐D= ✗ ' × 1+10,57 ergänzen + ×,
=
-
I + NERI
6,25=+2-1×+0,52 ✗ 2=-12 -
Ä
6,25=1×+0,512 IM ⇐) ✗ n
= 2 v 2=-3
✗


✗ +0,5=2,5 1-0,5 ✓ ✗ +0,5=-2,5 1-0,5
✗1=2 xz
=-3



c) Favorisieren /Nullproduhtsatz
f- 1×1=+2+7×+6
0=+2+7×+6
1×+11-1×+61=0 ( 6+1=7 ; 6.1=6 )
⇐3×+1=0 1-1 ✓ ✗ +6=01-6
⇐7×1=-1 ✓ ✗2=-6

, 1.1.2 .
Nullstellen bei Funktionen dritten Grades

Beispiel :
Teiler von 6 sind
✗
3-
2×2-3×+6=0 die möglichen Nullstellen

1. Schritt : Nullstelle raten
f- (1) = 13-2.12-3.1+6=1 2-3+6--2=10 -




✓
f- (2) 23 2.22-3-2+6=8-8 6+6=0
= -
-




✗1=2

2. Schritt: Polynomdivision
→Ton durch K -
✗^ ) teilen
(✗ 3- 2×2-3×+6 ) : ( x 2) -
= ✗
2- 3


-1×3-2×41 -3×+6

tZ
-




( um die restlichen Nullstellen berechnen )
3.Schritt :
Ergebnis gleich null setzen zu

2-
✗ 3=0 1+3
'
✗ = 3 IM
✗z = 53 ✓ ×
>
= -
ß


Merke :



Die Polynomdivision brauchen wir immer, wenn es eine Funktion dritten Grades ist bei der
,
man kein × ausklammern kann


1.1.3 .
Nullstellen und ihre Vielfach heiter
Es drei Arten Nullstellen :
gibt von


a) Die einfache Nullstelle ( Schnittstelle ) :


Y
Beispiel :


✗ -
4=0 1+4
✗ = 4

( einfach ) E, ×


Merke:
Einfache Nullstellen schneiden die x-Achse .




b) Die
doppelte Nullstelle (Berührstelle) :




✗ 2=0 IM
✗ = 0

( doppelt ) ×

Merke :




Doppelte Nullstellen berühren die x-Achse .




c) Die dreifache Nullstelle Haltestelle :



1×+213=0 IT MY
✗ +2=0 1- 2
2 >×
✗ = -




( dreifach) i


Merke :



Dreifache Nullstellen sind Sattelstellen
sogenannte .




?⃝
?⃝

, 1.1.4 Aufstellen von Funktionen mit Hilfe von Nullstellen

Gegeben , ist ein Graph einer Funktion und wir wollen einen passenden Funktionstests finden :



-
Nullstellen lassen sich als „
Klammer -
Form
"
darstellen



µ)
↳einfache ohne Exponent , doppelte hoch 2 dreifache hoch 3
,
→✗
1=-1 i ✗ 2=0 ; ✗3 = 1 i ✗↳ =3
, ,
f- (x ) = / ✗ +11 .

(× -
O) -

1×-11 .
1×-312
f- 1×1=+1×+1 ) .
( × -1 ) (x . -
3) 2
Grenzwert überprüfen :



✗ 5=-0 hin e- = + es ✓
Es ✗ →+D




Y
-
Achsen abschnitt :
flo) = 0 ?

f- (01--0.10+1) .

(0-1) ( O 3)2=0. -




Beispiel 2 Die folgende : Funktion schneidet die y-Achse bei 2 .




21¥


\
f- ( x )
}
= ( ✗ +112 .
1×-312 ( x 4) ( x 5)
. - . -




• 8=+0
ein ✗
= +• hin ✗ ✓
es +•
✗→



Es
¥ gilt f- (Ok 2
:
>×
# !
'


einsetzen
Korrekturfaktor Streckung :
/ Stauchung →y -
Achsenabschnitt


f- (O/ = Ü .
1×+112 .

( x
-
312 .
(x - 4) .
1×-51
}



2 =
a .
( 0+112 .


( O 3) 2. (0-4)-(0-5) }
-




2 = 1 g. ( 41 (-125)
.



a
. - .




2 =
a . 4500 | : 4500
a = 43-0-0=22^-7

End Funktion :


f- (+1--22%0.1×+1) ? (x 3) -
2-
( x 4) ( × -513
- .