Zahlen
Komplexe
allg: i = -
1 =
-
(1) =
i
Real-Imaginär
teil
-
teil
--
Aufbau komplexe Zah
l: Vatir
/
=
z
Imaginäre Einheit
Stellungsformen
komplexen Zahlen von :
(m(t)
Kathesische/algebraische Form z axib dabei Re(z) b
· : = =
a =
,
E= a- ib
·
trigonometrische/polare Form : 171 .
(cos(4) + i ·
sin(4)) = os() in
a
·
Fuler/Exponentialform : z= r . ei .
y
dabei v= (z)
Umrechnung zwischen
Darstellungsformen :
1) Expon /trigon - hath
2)
.
.
# · ei u = 121 ·
(cosy) + isin(e) = (2) Kath .
-
Fule/trigon .
= axib lztalbh
-Hos() + in(e) tan (4) =
Sa y =
arctam(a) arg(t) =
------- -
Elementi Element
- - -
Inverse
"
Neutrale Elemente : , um auf neutrales
Zahlenwert ändert sich nicht Element zu kommen.
bezüglich 0 Oti O
bezüglicht Ergebnis O
=
+: .
: -z =
Ibezüglich
i
21
a
-
1
bezüglich : 1 1+ i O
Ergebnis 12
=
-
. : - =
=
a + 62
Man kann z-1 oder den Quotienten zweier
komplexen Zahlen berechnen ,
indem man
mit der komplexen Zahl des Nenners
Konjugiert erweitert :
1) E 1 = =
z
-
2) =
z
W
.
. Wo
w
- - - - - - -
Räumliche Darstellung : z = 3 + 2i
Im(z)
I /Abstand zatib
von +zu
Ursprung) b
i
↳m
Relz) Imiz)
.
1
z= i
rx
(Farg(t)
&
Y ist
Argument von = -
Y
&"Re
E= a-ib ,
-
konjugiert komplexe Zahl zu z 1
1-
Wenn Nenner
-
und Zähler mit erweitert
b
Element ib
-
werden -- multiplikativ inverses = z-1 E = a -
- - - - -
Rechnen mit komplexen Zahlen - Fulerform
4)
e
121 ei
kleine
(
-
(2) (w) ei
= : 4
=
+
1z1 4
(w)
.
.
z w = ·
e
.
. 2 = . .
, 1
Komplexe Wurzeln ↑ e'l ist
-
:
zi-periodisch
6
neleL rL
(z) ei(y 4.2x)ke
h
I
+ 2
=
~
.
+
&
wa = z = .
-
Wa e k = 0, 1 2 , 3
,...., n 1
.
-
Lo Wa = (z) ei(
M ~
+ . 2π)
↳ jetzt e
Ci ~
-
↳ einsetzen ,
bis k = n -1
hat
wn
Lösungen
& t verschiedene
----
=
Wa
n
, Wenn
- - - - - - -
u Grundsätzlich immer 24 addieren bzw .
subtrahieren ,
bis man einen
·
Winkel
y
hat für den
gilt 05432.
z B . . bei Vereinfachungen bzw .
Umschreibungen in andere
Darstellungsformeln .
Fundamentalsatz der
Algebrai
Jedes komplexe Polynom noten Grades Pn(z) Anzu = +
annzuv +... + a
,
z + 20 ,
ans( zel besitzt Nullstellen
genaun
.
, ,
Zusatz : Sind die Koeffizienten pulz) reall
,
d h .
.
andRVk ,
so sind die Nullstellen
reell oder sie treten paarweise
konjugiert komplex auf .
(x ) (y Mittelpunktsgleichung
-
-
x
.
+ -
y . ) = 2 eines
Kreises um M(X / ) . .
mit Radius v.
-
Geometrie/Vektorrechnung
Länge Vektors ä
Betrag von läl- -
a2 21
-a
eines : +a
I
.
-
X
Nullvektor Vektor Län
↑
mit
ge
-
.
1
eà .
I
-
# inheitsvektor Fo
2
- -
ich := ea
Einheitsrektor Von
Igl
↑
: = a ist
1â)
Skalarprodukt :
Belv S
ag(Länge( des Einheitsvektors ist immer 1
.
= an bet abztaz. bz oder = 1) /51 cosly)
.
·
,
dabei ist y immer dar kleinere Winkel
↓ der von Ö und 5
für = ist
,
wird
.
eingeschlossen
Fi
genschaften 0545
·
-
:
cos(y) 0 =
· . 5 = 5 . y= =
- -
· .
(5 2)+ = 2 5+ . .
·
Projektion eines Vektors ä auf einen Vektor 5 :
·
2 .
5 = 0 - 15 /oder = 0 oder 5 = 01/ 5 =
la
5
Komplexe
allg: i = -
1 =
-
(1) =
i
Real-Imaginär
teil
-
teil
--
Aufbau komplexe Zah
l: Vatir
/
=
z
Imaginäre Einheit
Stellungsformen
komplexen Zahlen von :
(m(t)
Kathesische/algebraische Form z axib dabei Re(z) b
· : = =
a =
,
E= a- ib
·
trigonometrische/polare Form : 171 .
(cos(4) + i ·
sin(4)) = os() in
a
·
Fuler/Exponentialform : z= r . ei .
y
dabei v= (z)
Umrechnung zwischen
Darstellungsformen :
1) Expon /trigon - hath
2)
.
.
# · ei u = 121 ·
(cosy) + isin(e) = (2) Kath .
-
Fule/trigon .
= axib lztalbh
-Hos() + in(e) tan (4) =
Sa y =
arctam(a) arg(t) =
------- -
Elementi Element
- - -
Inverse
"
Neutrale Elemente : , um auf neutrales
Zahlenwert ändert sich nicht Element zu kommen.
bezüglich 0 Oti O
bezüglicht Ergebnis O
=
+: .
: -z =
Ibezüglich
i
21
a
-
1
bezüglich : 1 1+ i O
Ergebnis 12
=
-
. : - =
=
a + 62
Man kann z-1 oder den Quotienten zweier
komplexen Zahlen berechnen ,
indem man
mit der komplexen Zahl des Nenners
Konjugiert erweitert :
1) E 1 = =
z
-
2) =
z
W
.
. Wo
w
- - - - - - -
Räumliche Darstellung : z = 3 + 2i
Im(z)
I /Abstand zatib
von +zu
Ursprung) b
i
↳m
Relz) Imiz)
.
1
z= i
rx
(Farg(t)
&
Y ist
Argument von = -
Y
&"Re
E= a-ib ,
-
konjugiert komplexe Zahl zu z 1
1-
Wenn Nenner
-
und Zähler mit erweitert
b
Element ib
-
werden -- multiplikativ inverses = z-1 E = a -
- - - - -
Rechnen mit komplexen Zahlen - Fulerform
4)
e
121 ei
kleine
(
-
(2) (w) ei
= : 4
=
+
1z1 4
(w)
.
.
z w = ·
e
.
. 2 = . .
, 1
Komplexe Wurzeln ↑ e'l ist
-
:
zi-periodisch
6
neleL rL
(z) ei(y 4.2x)ke
h
I
+ 2
=
~
.
+
&
wa = z = .
-
Wa e k = 0, 1 2 , 3
,...., n 1
.
-
Lo Wa = (z) ei(
M ~
+ . 2π)
↳ jetzt e
Ci ~
-
↳ einsetzen ,
bis k = n -1
hat
wn
Lösungen
& t verschiedene
----
=
Wa
n
, Wenn
- - - - - - -
u Grundsätzlich immer 24 addieren bzw .
subtrahieren ,
bis man einen
·
Winkel
y
hat für den
gilt 05432.
z B . . bei Vereinfachungen bzw .
Umschreibungen in andere
Darstellungsformeln .
Fundamentalsatz der
Algebrai
Jedes komplexe Polynom noten Grades Pn(z) Anzu = +
annzuv +... + a
,
z + 20 ,
ans( zel besitzt Nullstellen
genaun
.
, ,
Zusatz : Sind die Koeffizienten pulz) reall
,
d h .
.
andRVk ,
so sind die Nullstellen
reell oder sie treten paarweise
konjugiert komplex auf .
(x ) (y Mittelpunktsgleichung
-
-
x
.
+ -
y . ) = 2 eines
Kreises um M(X / ) . .
mit Radius v.
-
Geometrie/Vektorrechnung
Länge Vektors ä
Betrag von läl- -
a2 21
-a
eines : +a
I
.
-
X
Nullvektor Vektor Län
↑
mit
ge
-
.
1
eà .
I
-
# inheitsvektor Fo
2
- -
ich := ea
Einheitsrektor Von
Igl
↑
: = a ist
1â)
Skalarprodukt :
Belv S
ag(Länge( des Einheitsvektors ist immer 1
.
= an bet abztaz. bz oder = 1) /51 cosly)
.
·
,
dabei ist y immer dar kleinere Winkel
↓ der von Ö und 5
für = ist
,
wird
.
eingeschlossen
Fi
genschaften 0545
·
-
:
cos(y) 0 =
· . 5 = 5 . y= =
- -
· .
(5 2)+ = 2 5+ . .
·
Projektion eines Vektors ä auf einen Vektor 5 :
·
2 .
5 = 0 - 15 /oder = 0 oder 5 = 01/ 5 =
la
5
