Experimentalphysik 4 (Atomphysik) - Skript / Mitschrift

EXPERIMENTAL
PHYSIK 4


Technische Universität München
Physik B.Sc.




maerkisch eph tum
. .
de

,.
1
Grundlagen der Quantenmechanik
De-Broglie-
Beziehungen Ebene Welle :
P(x th ,
=
Toeire-we =
Top-Et) -
aber wo lokalisiert ?


E =
W
Wellenpaket



& Son
:
=




p =
n
Geschwindigkeit upm =

1 =
# Gruppengeschwindigkeit Vgr = ~ph-

↓
== = Teilchengeschwindigkeit in eine
Teilchenwelle mit Aw Mc Vgr vgr V+
=
=
=> =




punkt !
.




statt Dispersionsrelation
Teilchen Phasengeschwindigkeit
Mit E =
W = w
=k Up =
EV 0 (für Teilchen
(Mittw =)
ko + Xk


P(x ,
t) =

mym((k) To exp[im(x -

Et)]dk
↳
Mit
Dispersion
: X k Ko =>
Taylor
-




Entwicklung w(k) =
w(kol +
(k- Ko)( +..
mit Annanme : ((k) =
(Ko)



)
=
P(x , t) =
A(x ,
t)g
Skox -
wot)
wobei A(x t) ,
=
2cko) mit Xa x = (rot
↑




>
-
-




Unschärferelation mit NS bei Mak =T Mit H =
x -



Ilnot
I


Pet
Abstand zu .
zwei


AXXp te
wellenpaketes Heisenberg
=
Minima des


Unschärferelation Avgr ==
AX() =

Avgrt +
AXo =
m + +
XXo mit DXo . . .




urspr . Breite des Pakets




↳ analoge
Ableitung
Xt
:
DE .




ah .



Man muss mind .
eine Zeit Xtmessen ,
Cort zeit) E bestimmen .
Genauigkeit
um mit e i n e r von D E
, zu




Lebens- nauer
Energieunschärfe kurzlebigen übergängen
=>
vo n




=>
kurzlebige "virtuelle" Teilchen




== k
Schrödinger Gleichung Kreisfrequenz w =
zJf =>
deBroglie-Impuls
Teilchenwelle)
p
=
E =
hf =
tw

Erint)
Aen(px-
(einer
Wellenfunktion Y =
A eickx
-
wt) =
Wellenvektor Il =

P

it(ikY)
Im
= Y Imprisoperator in V

SEges
Impuls :
in ( 4 =
p -



V(x)
>
-
- - -




=
+
E


Energie : it 4 =
in ( iwY) = tw4 -

Energieoperator E- -




ihot ~
Potential



SCHRÖDINGER GLEICHUNG
it4 =
- X4 +
VY
Izeitabhängig ! mit Y(F , t) :
Komplexe Wahrscheinlichkeitsamplitude

1412 :
Wahrscheinlichkeit bei einer
Messung das Teilchen

# 4(r) =

[ v] +
4(E) =
EYC) SCHRÖDINGER GLEICHUNG
(zeitunabhängig
! )
am Ort zur Zeitt anzutreffen

=> /141dr = 1
-


Operatoren-Berechnung Messwerten




6
vo n Mittelwerten von Aufenthaltswahrscheinlichkeit
1 (4(x)/2


S
-
1




< for
:
Ort
= > X
X =
(x)
1



1
1




-

OSERVABLE
Physikalische Größen
=

werdenr
(Messgröße)
über Operatoren mit
Eigenwerten
Erwartungswert<AL =****** dV mit Operator A beschrieben !

Wahrschein-
z .
.



B Potentielle Erin= Mit <Erin =
-J
*

X4dV P =
1414312 lichkeit

on t
Energie * Et)
eh(p nach
-




Mit 4 = To

, -




in Y =
PXY =
Wenn ↑ Eigenfunktion zu ist : #4 = al mit Eigenwerta vo n
Abagl .
Y

*

(A J4 % 4)dv S4 Ydv aS4 4dv (Erwartungswert
*
=>
a
= = = =




>
-




Die
Messung ergibt dann immer den
gleichen Wert a
IphyMesswert =
Math .




Eigenwert

Messbarkeit
Gleichzeitige

tator
Mit Operatoren und B muss Y
gleichzeitig Eigenfunktion von * und B sein :




=
[E B),
=
0, gleichzeitig messbar


↳ [A B] AB- BA
Im
Allgemeinen sind Operatoren nicht vertauschbar ,
=
+ 0 :




z .



B
. Unschärferelation

[p , ]P(x ,
t) = -




in * (x) + xiY = -




in(4 + x) + ix =
-




i t4 = 0 =
[px) = -




it + 0


Die Nicht-vertauschbarkeit die Tatsache wieder das beiden Größen p und
beliebiger Genauigkeit gemessen werden können .
spiegelt , die nicht




Physikalische Größen werden
r über operatoren mit reelen Eigenwerten beschrieben !



GesamtenergieMITONOPERATORD
operator fur
+
Epot(r) =
Für stationäre

gilt :
(d i
h .



Zeitunabhängige)
4 =
EY
Zustände




für freies Teilchen 11-dim ) .




& L
Falls Finicht Zeitabhang ,




d h Epot() =

Epot : D N(Fit) = 4 (5) &(t) -c
eingesetzt : in (40) = (+ 2)



PONSANA
.




L
.




=> Y(E) it R(t) =
Ut) #Y(r)

-
net
>
Müssen (i) it Er e
U Beide Seiten (1) Y
-




= = =

.




gleichzeitig gelten
:




(ii) Zeitunab .




Schrüdinger
:
Fe =
Et


mit stationären Zuständen



Entt/a
i
ecr) = Wahrscheinlichkeitsdichte 1412 = 4
*
4 =
eit/ye y =
141
I
zeitunabhängig .
DISPERSIDNS-
RELATION

Potentialstufe
Ein freies Teilchen fliegt in die
x-Richtung und für -0 trifft ein Gebiet mit den Potential V(x) = Er




E
E1
# w) )
e B(
I =




I Ansatz : (x) = # wobei A ,
B durch Anfangsbed .
-

>
-



welle nach + x Welle n a c h -




X
Eo z
Erin Alle Werte für
KONTINUUMSLÖSUNG
m möglich !

> X
X= 0




# V(x) = E = - (E -




E)4 =
0 mit 2 = FIREo
El -




↓
*




ca
Randbedingungen
:




-D ~


ne

4) ECEO ama =



↑
Potential- Teilchen -
Potential stufe
-
Die Warscheinlichkeit , das nach der
stufe mit wachs . Abstand
zu finden sind ist nicht null aber nimmt
, ,


...
ab
eingesetzt
von der Stufe .




mit R =


/i n =
1




5) Ex Es :
↓ rein
imaginal F
=
in = FEEd => B = A D = A
Reflektiert Transmittiert




ein s
0) i
(für xlo
fliegen keine Teilchein in -X-Richtung =




mit R = und T = it = =
L

, Potential topf cunendlich) Quantenmechanischer Effekt :




=> Star
↓ Problem ? Truel
a)
A
Stationäre hat dieses
V
Lösung
v -

welche
=


-



-



** X= 0
-
VA) =
/O
7 a
for

sonst
oo




·
bei I, : 0
; a = Y(x) = 0 nicht erreichbar



bei I V) = Y 124 =
0 =
k2 =


E wellen funktionen :




I
· :
K = 0
;
=
0 +
Erlaubte


(des Freien Teilchens) Y(x) (eikx eix) A zisin(x) LisinX sinkx
= wobeiten
mit
Lösung A (
= .

: = -



=




=
= 0 An=
↑ (a) =
ziAsin(ka) = ka =
no neN =
stehende we l l e mit



n =

En



Energieniveaus sind quantisiert,
=>

↳ mit Normierung

proportional zu E
1: 14()) . *
1Ak
*


diskret und dx =
1 =
A =




Harmonischer Oszillator



I klassische
Potential V(x) = DX harmonische
Schwingung eines
Massepunktes mit Masse m
wegen einer einearen
Rückstellkraft F= - DX und der Frequenz w n
Kraft F V(x) Dx ex
grad
= -
-

=




(zeitunabhängige
- Ema Er . und
Schrödingergleichung mit
=
x
q
=




4 +
( -




q2)4 =
0 -



·
Für
große q a dominiert der -Term
=

Wegen V(q + 0 -
-
Tolle-Idh .
14 -




> 0
·
Für ( = 1 erhalten wir die ex a k te
Lösung
:
Yer(q) = Ae-97

·


Allgemeine Lösung T(q) =



H(g) e-9

↳
Lösungsansatz : -2(H =
0 =M GLEICHUNE




= Yn(q) Hn(q)e
94
-




mit
Lösung Hu(q) und =
:




Es
gilt Hulq) = high-2 +
(H
=hit (i-(-1) hi =


i .
zahlvariable


Mit höchster Potenz q" folgt Untz 0 2n ( 1) 0 =>
=-

( 2n + 1
=
:
-
= =
-




Definition In--1) 0
Mit der und E
folgt
=


9
vo n :




=> En =
(n) mit u = 0 ,
1 ,
2 (Quantenzahl des Oszillators)
(m)
Inormierung) mit Nullpunkts engergie Eo = Etw



⑱




N




A



N




Definition nach Born :
Die Warscheinlichkeit W( , t)dx ,
d as sich ein Teilchen zur ze i t t im Ortsintervall x + dx befindet ist
proportional

zum Absolutquadrat (4(x t)/2 , der Teilchen-Wellenfunktion




i) fer stationare Welle (e-gebunden im Atom) : /dx14(t) =
0 und EJdx14(x ,
t)) + 0


ii) Wahrscheinlichkeit, das e auf 2 versch .
Orgitalen =
O