Résumé Algebre 1 -Fractions Rationnelles

ALGEBRE 1


Fractions rationnelles
1 Définitions et exemples
On appelle fraction rationnelle sur K toute fonction F de la forme:
A(x)
F (x) =
B(x)
où A et B sont des fonctions polynômiales cofficients dans K.
Le degr de la fraction F est par dfinition l’entier relatif not deg(F ) donn par

deg(F ) = deg(A) − deg(B).

Si C et D sont deux autres fonctions polynômiales cofficients dans K, telles
que AC = BD, alors on identifie les deux fractions:
A(x) D(x)
= .
B(x) C(x)
Ce sont deux reprsentants de la même fraction.
A0 (x)
Un reprsentant B 0 (x)
d’une fraction rationnelle F est dit reprsentant ir-
rductible si A0 et B0 n’ont pas de diviseur commun autre que les constantes.
A0 (x)
On dit aussi que B 0 (x)
est la forme irrductible de la fraction rationnelle F (x).
P
Toute fraction rationnelle F = Q , peut s’écrire sous la forme irréductible: c’est-
à-dire il existe deux polynômes P1 et Q1 avec P1 et Q1 sans diviseur commun sauf
les constantes.

P
Exemples. Tout polynôme est une fraction rationnelle : P = 1 .
1+X 1
F = 1−X , G = 1+X 2.

x2 −3x+2
Soit la fraction rationnelle F (x) = x4 −1 .

x2 −3x+2 x3 −3x2 +2x x−2
1. x4 −1 , x5 −x et (x+1)(x2 +1) sont des reprsentants de F .
x−2
2. Le reprsentant irrductible dans R de F est (x+1)(x2 +1) .

3. Le degr de F est -2.


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, 2 Décomposition d’une fraction rationnelle en
éléments simples
A
Soit F = B une fraction rationnelle donne sous forme irrductible de degr positif.
Si on effectue la division euclidienne de A par B, on a alors: A = EB + A1 avec
E le quotient et A1 le reste et donc deg(A1 ) < deg(B). On peut donc reprsenter
F comme suit:
A A1
F = =E+ avec deg(A1 ) < deg(B).
B B
Si le degr de F est ngatif (c’est dire deg(A) ≤ deg(B)), alors E = 0.

Definition 1 La fonction polynômiale E est dite partie entire de la fraction
F.

Exemple
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−x+1
La fraction F (x) = 2x x+3x
2 −3x+1 s’crit: F (x) = 2x2 + 9x + 25 + x65x−24
2 −3x+1 . Sa
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partie entire est donc E(x) = 2x + 9x + 25.
definition On appelle lment simple de premire espce sur K toute frac-
tion rationnelle de la forme:
c
, (c, β ∈ K et m ∈ N∗ ).
(x − β)m

On appelle lment simple de deuxime espce sur R toute fraction rationnelle
de la forme:
ax + b
,
(x + µx + λ)m
2

avec a, b, µ, λ ∈ R tels que le descriminant µ2 − 4λ < 0 et m ∈ N∗ .

P
Soit F = Q une fraction rationnelle sous sa forme irréductible. Par la
division euclidienne de P par Q, on a :

P = QE + R avec deg R ≺ deg Q
donc
P R
F = = E+
Q Q
et cette décomposition est unique car le couple (E, R) est unique.
Le polynôme E est appelé partie entière de la fraction F.
R
De plus la fraction Q est irréductible




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