Zusammenfassung Mathe für Ings 2: Teilbereich 2

Kurzklausur 2
Extrema unter Nebenbedingungen
am 07 . 06 .

bis Folie 52




Gegeben sei eine Funktion mit dem Definitionsbereich D=R

f(x ) Funktion
Gk=n
-> ->
x
y Nebenbedingungen
=




y Anzahl der
.



,



100 0
nebenbedingung
-
-




aber g(x y) 2x +
2y
=


,
:
=




Für umrandet werden
Beispiel Fläche soll
leingezäunt)
eine ist -
unser X .
y gegeben sie
:




·
umrandung
->
das Maximum ist dann erreicht, wenn der Flächeninhalt größtmöglich ist mit dem Umfang U =

100


A Maximalstelle 251 25 . 25 625
Fläche => (x y) (25;
=
:

, =




↳ 25+ 25 + 25 + 25 =
100
D


Nebenbedingungen

Wichtig :
grad(f(x, +I) =

0 funktioniert für Extrema unter NB nicht

M ist
aber :
Die NB-Menge häufig kompakt (sie ist automatisch abgeschlossen) .
Ist M kompakt, so


existiert auf jeden Fall ein Minimum und ein Maximum unter Nebenbedingungen .




Methoden zum bestimmen der Extrema unter
Nebenbedingungen
:




1 .
Methode
:


EINSETZEN :


Ziel ist es die NB nach einer Variablen aufzulösen :




An unserem Beispiel :
f(x, y) =

xy g(x y)
,
= 2x +
2y
-
100
=
0

100 2=
=> y = =
50 -
X
-



=> f(x 50
, x) x(50 x) 50x -
nurnach eine
variable
- -
= =


in

2
-



->
f(x) =
50 -
2x
=

0 => + = 25 => f(x ,
50 -
x) =

625 Maximum

2 Methode PARAMETRISIERUNG DER NEBENBEDINGUNG
:



.
:




f(x y) xxy , NB g(x y) x y2 1 0
=



, = :

, =
+ -




↳ hat parametrisierung :




U( =
( ! =
= f(x=cos(t)+ sin(t) -
Ableitung =o Setzen ~




&
maxt
Vl

fl(t)

es
sin(t)+cos(t)
-

=




I
-


T




( => f(x) =


(4) =- -
-
mi 1

V2
-




& (E) -2
E
Einsetzen :

((f ,) =




(E) +
=


f - ,
-


E) =
-


Vz darf gefolgert werden, weil Miste kompakt .




Maximalstelle Maximum Minimalstelle Minimum



Nachteil sowohl Methode anwendbar
:
Methode 1, als auch z sind nur
bedingt
=> Methode :
3
LAGRAGE MultiPLIKATOREN

Der Satz von
Lagrage besagt
:
gradf(x ... n) =

Mi
-gradgn(x . . .
n)
+
-gradge(x ... n) ...
+
An -gradgn ( ... n)
Außerdem :

gradgn( ,
...n ) ...

gradgn(x , ...n
) sind linear
unabhängige Vektoren

An einem "etwas längerem" Beispiel erklärt :




(E)
&
prüfen
1 .

Unabhängigkeit :




R gradgn(x z)
linear
unabhängig für
z)1
,
y,
außer
=




f: ex ,y ,
z) = ((x /
y, =

x2+yz 22-
+
= = o


wird
wy x=0 von B1
ausgeschlossen
(0)
mit NBn x2 y2
=




g(x y ,
z) 0
=


+ 1
=
: -
,



gradge(x y ,z) , =
=>
linear
unabhängig
NB2 z)
92(x ,y ,
x 0
- z
= =
:




2 Grad f(x z) +Satz von
. von y,
,
Lagro

gradf(z ,
y
, z) =




() =
(2) +
(4) /An und i sind für uns nebensächlich :


wir wollen +, y,
z
bestimmen



Fall
1




aufstellen NB
:




Gleichungen und einsetzen
MoglicheKanitate
3 in
ein


3
:




NBr:
.




y dann xEn = F
I
=



2x
=
: = 2


. 11 .
x +
dz
0,




I
:

= 2 4yEy 0 oder An
NBz : wenn x
=


En , dann z =


In, weil z =x (1: ;
0
1) 11 (1; :



0
-1)
2y
-



1
=




#I: 2z =
-
Mz

Mögliche Kandidaten
1
3
= 1 einsetzen :


2x = 2x + 1z 12 =

0
für Extrema :




0
# z
=

+ = 0 y21 y = + -
Co, 1, 0(0; - 1, 0

, Aus det Matrix
Vorlesungsnotizen 28 . 04 bestimmen jener
bedingungen
:




vom der .
Von können

indem (Determinantenmethode)
abgelesen werden man =o setzt .




det
I I O -
= 4xy
-



(4yz
-


Gxy) =
-Gyz 11-4yz = 0 =y=0 oder z
=

0




In B einsetzen :
Falln :



y
= 0 - NBn: x 1 +
=
1 11NB2 z = En
=( ,01);( 1
,
0,
-
1)

Fall
2
:
zo >
NBny Ey Il NB x Co ,, d
,




Co, n,
d
4 . in Funktion F einsetzen :




f(n q) , = +
1
21 f(-1 , ,
0
-1) =
(1 + -
11 =
2


f(0 , 1
, d) =
1 1
f(0 , 1
, d) =
1

Mist kompakt = Maximum von f,
m ist :
2



angenommen an den Stellen (1 ,01) (1 (-1 , 0,
-
1)

Minimum Stellen Co , 1 ,0 11 (0, -1 0
von ist angenommen den ,
1




f,
M an
:




Notiz zu Methode :
3

Spezialfall Für Nur Eine Nebenbedingung :




Sobald es nur eine
Nebenbedingung g(x) = 0 gibt :

gilt grad fläl =



gradg(al
->
Variante mit Matrix kann ebenfalls verwendet werden allerdings mussen Streichmatritzen gebildet

werden, von jenen die Determinanten =
o gesetzt werden .




EXTREMA Auf GEBIETEN MIT RAND
->

Tropologische Eigenschafften von
Mengen
~ zeichen für "mit
wiederholen .




Rand"

generell gilt :
D =

[Cx y) ,
ER IgCx yl ,
So oftmals kompakt - hat ein Minimum und ein Maximum


Beispielrechnung :
D =
{(x ,y)(x +
y =

13 g(x y) , = x+y2 -
n =
0
(abgeschlossener Einheitskreis ,
f(x y)
, =
x .
y

=>
Gesucht ist das Minimum und Maximum von f
auf D(g(x y) , (existiert da D
kompakt ist)

~ . Suche nach kandidaten im inneren von D (übliche "Gradientenmethode" wie in KK1 Kapit)

grad f(x y) , =
(y) =



(8) x =


y
=

0 Kandidat im inneren :

(a , 0
2 . Suche nach Kandidaten auf dem Rand M = (D =
Ex , y)/x+y =
13 x =
y = 0 wird
ausgeschlossen
=> NB
:

g(x y) , = x2+ y2 -
1 =
0
gradg(xy) =
(5) + (0) FlxyEM -
Lagrage Multiplikation
-> geht nicht




2y)
1
4
E
2x
R Fallz
:

y
.



Fall
=

-> + 1
2x 2x =
1
: :
= =


0,
+ =




.



x
=
x -




4
Fall 1
:
x =

0


Fall 2
:




3 . Maximum und Minimum berechnen :




Thin =
Max
Max Min
Kandidaten y)
(z F) El &r
--
(x,
(0 , 0 , F ,
-



I



f(x, y) ↑I
O . *


Zweidimensionales Integral und Volumen


Maß einer
Menge
:
MV :
n =n
Länge Il M: =z Fläche Il M3 :
n = 3 Volumen


wiederholung Mathe n
:




Integralrechnung :
~z auf anderer Seite auch




!
↓
Y
wie eine Fläche mit Rechtecken und
=>


f
Quadraten ausgefüllt wird, so wird ein Körper
Integralrechnung
:




würfeln
ausgefüllt
1
zweidimensional mit und Quadern .




*
Y



Feldx a
=
F(b) -
F(a) x
>(f(x ,
y, (z) dx
dy(dz)
-> gibt kein klaren Satz
Stammfuktion)