Kurzklausur 1 bis Folie 21 am 03 . 05 .
E-UMGEBUNGEN Mengen
-Umgebungen sind Intervalle (Mengen) ,
welche entweder offen oder geschlossen sein können .
Offen :
Zahlenstrahl (Beispiel in R
·E A
A
I
a + E
irgendeine
Zahl
-
Intervall
offizielle
Definition :
Un(a) =
(keR/-à(s) -> Intervallschreibweise :
(a-Ex , a+ a)
-
Abstandsfuktion
abgeschlossen
:
Zahlenstrahl (Beispiel in R
a a + E
0 a
-
E
irgendeine
Zahl
2) E)
,
offizielle · Ha(a) =
(xeRF - a =
Intervallschreibweise : (a -E a +
-
Definition
Intervall
M
genevell gilt sind
Umgebungen offene Intervalle Normalfall
:
im (im
e-
R2 das
im sind
E-Umgebungen innere von Kreisen
M3 das innere
im sind
E-Umgebungen von
Kugeln
Menge
E radius
=
von
des
a
Kreises
E E
&
E
A
DER
Topologische Eigenschaften von
Mengen
:
Ein Punkt ED heißt innerer Punkt D, Denthalten ist
-Umgebung
a wenn eine die
~ . von es von ä
gibt, ganz in .
heißt offen, jeder Punkt Punkt ist
Bedingung
2 .
D wenn von D ein innerer .
:
Teil des Randes gehört zul
~kein
3 .
Ein Vektor E .
R" .
heißt Randpunkt
.
von D, wenn die
E-Umgebung Pa(b) von 5 mindestens einen Punkt aus D und mindestens einen Punkt
nicht aus D enthällt Die .
Menge aller Randpunkte heißt Rand
enthält
heißtabgeschlossen wennsiealle Randpunkte
4 .
ihre
Bedingung eine
-> ,
heißtbeschränkt wenns stehen
5 .
es
, könnte , a l te
unendlich großen
Menge enthalten sind (bei Megen geht das nicht
D heißt kompakt, beschränkt und ist
6 .
wenn D
abgeschlossen .
Beispiele
{(x y)(x 03 {(x y)/x y , y303
+
my 221 Dz
=
Dn =
, +
y
,
yz ny
,
für offen
bedingung für abgeschlossen bedingung
-
& ·
~ abgeschlossen
Komp
-
und h
ach
- >
⑫ X
~ offen (keine Randpunktel
-
, NIVEAUMENGEN Und PARTIELLE FUNKTIONEN
"Parabel Becher"
Z
E
f(x y) ,
=
x + y2
liegende" Partielle Funktion "fixieren
Il
In der Ebene Parabel :
:
eines Punkten laufen lassen
von nur einer
2
Beispiel :
/(f(n y) ,
=
n + y2 Variablen
23
=
2) {(x y)(x + y
- der "fixirte" Punkt
(r ,
ein
=
Nz =
Nn 13
z
=
E(x y) x2 ,
+ y =
gelassen f(x)
hat die Funktion :
=x -1
3x Gerade
-Tz
13
2
N =
{(x y))
, +2 +
y =
- Einheitskreis
Die sind die auf die X-Y-Ebene projizierten "Kreise"
Y
Niveaumengen
Beispiel Nirlaumengen berechnen und Skizzieren :
-
f(x y) ,
= n -
x
42 ,
z
=
0
, z
=
1
x
, =
2
1
Y
~ Einheitskreis
1 mit r = 1
z = 0 No
=
E(x y)ER(o , = z
= f(x, y)
+x
42E) x
-
=> 0 1 -
x2 + 1
1
= - =
=>
No
=
{(x y)ER),
+2 +
y
=
13
REIHEN UND FOLGEN wiederholung
unedliche
Zahlenfolge
:
heißt
Eine
Zahlenfolge
·
Lunedlich vielen) unedliche
Anordnung von Zahlen .
->
an, 82, 03
Satz von Bolzano-Weierstraß :
&
ol
konvergent :
zahlenfolge nähert sich einem Bestimmten Wert (z . B
. 0,
+ an
Beispiel
:
an
= läuft
gegen
S
divergent :
Zahlenfolge wird immer größer oder kleiner
Beispiel an n
.
3
: =
Grenzwerte berechnen Beispiel :
B
~
2
2) binomische Formel b) .(a+b)
ar
himn
b2
=
-
(n + (a
-
-
I
: -
+
.
1 3.
&
=
n +
1
. (n+ 2
-
n)
. (4+2+n)
+
1a - b) la
n +
1
. (n+ 2
-
n- +
n)
=
(n + 2 +
n+n k+ 2 = neue darstellg
2
.
=
gefunden"
=
n + 2 + n
-
lim
-
2
n + 1 1 muss weiter gekürzt werden
n +
(n + 2 + n) ↓ &
2 . n
.(1 + )
=2 .
N ·
1 + = -
N ·
1 + .
2 n +
=> =
n -
(1 +
2
+ N
n .. +
+ n . (n + +1) 1 +
2
+ 1
z
Grenzwertbetrachtung :
geht 2
3
2 n
. +
->
gegen grenzwert =
lim
:
-
n
1 +
2
+ 1
·geht gegen
#li 5x -> O
5 5
5 => lim =
6 +
-
d
höchste
O
Merke :
wenn Potenz gleich ist, sind die Zahlen davor die Grenzwerte
E-UMGEBUNGEN Mengen
-Umgebungen sind Intervalle (Mengen) ,
welche entweder offen oder geschlossen sein können .
Offen :
Zahlenstrahl (Beispiel in R
·E A
A
I
a + E
irgendeine
Zahl
-
Intervall
offizielle
Definition :
Un(a) =
(keR/-à(s) -> Intervallschreibweise :
(a-Ex , a+ a)
-
Abstandsfuktion
abgeschlossen
:
Zahlenstrahl (Beispiel in R
a a + E
0 a
-
E
irgendeine
Zahl
2) E)
,
offizielle · Ha(a) =
(xeRF - a =
Intervallschreibweise : (a -E a +
-
Definition
Intervall
M
genevell gilt sind
Umgebungen offene Intervalle Normalfall
:
im (im
e-
R2 das
im sind
E-Umgebungen innere von Kreisen
M3 das innere
im sind
E-Umgebungen von
Kugeln
Menge
E radius
=
von
des
a
Kreises
E E
&
E
A
DER
Topologische Eigenschaften von
Mengen
:
Ein Punkt ED heißt innerer Punkt D, Denthalten ist
-Umgebung
a wenn eine die
~ . von es von ä
gibt, ganz in .
heißt offen, jeder Punkt Punkt ist
Bedingung
2 .
D wenn von D ein innerer .
:
Teil des Randes gehört zul
~kein
3 .
Ein Vektor E .
R" .
heißt Randpunkt
.
von D, wenn die
E-Umgebung Pa(b) von 5 mindestens einen Punkt aus D und mindestens einen Punkt
nicht aus D enthällt Die .
Menge aller Randpunkte heißt Rand
enthält
heißtabgeschlossen wennsiealle Randpunkte
4 .
ihre
Bedingung eine
-> ,
heißtbeschränkt wenns stehen
5 .
es
, könnte , a l te
unendlich großen
Menge enthalten sind (bei Megen geht das nicht
D heißt kompakt, beschränkt und ist
6 .
wenn D
abgeschlossen .
Beispiele
{(x y)(x 03 {(x y)/x y , y303
+
my 221 Dz
=
Dn =
, +
y
,
yz ny
,
für offen
bedingung für abgeschlossen bedingung
-
& ·
~ abgeschlossen
Komp
-
und h
ach
- >
⑫ X
~ offen (keine Randpunktel
-
, NIVEAUMENGEN Und PARTIELLE FUNKTIONEN
"Parabel Becher"
Z
E
f(x y) ,
=
x + y2
liegende" Partielle Funktion "fixieren
Il
In der Ebene Parabel :
:
eines Punkten laufen lassen
von nur einer
2
Beispiel :
/(f(n y) ,
=
n + y2 Variablen
23
=
2) {(x y)(x + y
- der "fixirte" Punkt
(r ,
ein
=
Nz =
Nn 13
z
=
E(x y) x2 ,
+ y =
gelassen f(x)
hat die Funktion :
=x -1
3x Gerade
-Tz
13
2
N =
{(x y))
, +2 +
y =
- Einheitskreis
Die sind die auf die X-Y-Ebene projizierten "Kreise"
Y
Niveaumengen
Beispiel Nirlaumengen berechnen und Skizzieren :
-
f(x y) ,
= n -
x
42 ,
z
=
0
, z
=
1
x
, =
2
1
Y
~ Einheitskreis
1 mit r = 1
z = 0 No
=
E(x y)ER(o , = z
= f(x, y)
+x
42E) x
-
=> 0 1 -
x2 + 1
1
= - =
=>
No
=
{(x y)ER),
+2 +
y
=
13
REIHEN UND FOLGEN wiederholung
unedliche
Zahlenfolge
:
heißt
Eine
Zahlenfolge
·
Lunedlich vielen) unedliche
Anordnung von Zahlen .
->
an, 82, 03
Satz von Bolzano-Weierstraß :
&
ol
konvergent :
zahlenfolge nähert sich einem Bestimmten Wert (z . B
. 0,
+ an
Beispiel
:
an
= läuft
gegen
S
divergent :
Zahlenfolge wird immer größer oder kleiner
Beispiel an n
.
3
: =
Grenzwerte berechnen Beispiel :
B
~
2
2) binomische Formel b) .(a+b)
ar
himn
b2
=
-
(n + (a
-
-
I
: -
+
.
1 3.
&
=
n +
1
. (n+ 2
-
n)
. (4+2+n)
+
1a - b) la
n +
1
. (n+ 2
-
n- +
n)
=
(n + 2 +
n+n k+ 2 = neue darstellg
2
.
=
gefunden"
=
n + 2 + n
-
lim
-
2
n + 1 1 muss weiter gekürzt werden
n +
(n + 2 + n) ↓ &
2 . n
.(1 + )
=2 .
N ·
1 + = -
N ·
1 + .
2 n +
=> =
n -
(1 +
2
+ N
n .. +
+ n . (n + +1) 1 +
2
+ 1
z
Grenzwertbetrachtung :
geht 2
3
2 n
. +
->
gegen grenzwert =
lim
:
-
n
1 +
2
+ 1
·geht gegen
#li 5x -> O
5 5
5 => lim =
6 +
-
d
höchste
O
Merke :
wenn Potenz gleich ist, sind die Zahlen davor die Grenzwerte
