Zusammenfassung Mathe für Ings 2 -LUH SoSe 2023 (Themenunterteilung in Kurzklausuren)

Mathe für Ingenieure ||




Leibniz Universität Hannover
SoSe 2023
Marlene J. V. Fait

, Basics
ABLEITUNGSREGELN :




Konstanten

f(x) =
5
f(x) =
0


f(x) =

n f(x) =
0



Potenzregel
:




3
f(x) =
x3 f((x) =
3
x2
.
(f(x) =
x f(x)
=
1xo =
1
1
. = 1


n -
1
f(x) =
xM f(x) = n

-
X




Faktorregel
2
f(x) x5 f'(x)
5


= 3
.
= 3

. x


1
f(x)
-




f(x) =
a
.y =

anx
3
5 + f(x) 3x2
f(x) =
-

=
=




Summenregel
f(x) x2 5x3 f(x) 2x 15x2 + 0

3 Jeder Teil wird für sich
abgeleitet
-



+
=
= -
7




f(x) =
x
-
ax b f'(x) =n am
Produktregel :




3x +5
f(x) = +3 -
f(x) =
? + +3 .
5x4
V

f(x) =
u(x). (x) + u(x .x)


Quotientenregel 2
5



-
(27 + 3) 5x4
.




+ 34
f(x) =
2x
u(x) =
2x +
3 ((x) = 2 f'(x) =
(7512
x 5
v(x) = +5 u(x) = 5x4
U(x) u(x). (x) -
u(x)ox)
f(x) =




v(x) f'(x) +




uz

Kettenregel
:




3
f(x) = ( x + 113((n) = 13(() = 382f(x) =
3



-(-x+ 112 -(2x) wird bei "ineinander verketteten" Funktionen

. (1 x42
angewandt
-

= 6x
u(x) =
- x2 + 1 v(x) = -
2x .




allgemeine Form : f'(x) =

4'(u(x)) -


(x) Generell gilt :



häufig bei
klammern;
·
e-Funktionen ·
Wurzeln; Trigeometrischen Funk

ZUM AUSWENDIOLERNEN :




y
=

In(x) y' = *
=
ax y'
a
In(a)
Y
=




ex ex

Y
=
y' =




Y
=
a log() y' = xYna
y
=

In(x) y' =
E
1

y sin(x) y' cos(x) xz
arcsin(x) y/
=


1
Y
=
= - -




1

y cos(x) x' -

sin(x) arccos(x y'
y
= =
=
=


1 -
xz


cos()
Sin,
=




y
-




tan(x)
= 1

y
=




y
=
arctan(x) y' =
1 + xz

1

y
=
Sinh(x) y' = cosh(x)
y
=
asinh(x) y1 =




1 + X2
1

y cash(x)
y1 sinh(x) =

acosh(x) y1
y
= = =


1 + X2



y tanh(x) 1 =
cna(x) =

atanh(x) y"
1


y +2
= =


1 -




MATRIXMULTIPLIKATION
N
m




n k a .
h i a + e
. + em
+ +
cij k
.
b . b




a b c m
-


i 2 d .
n d .k l
.




+ + f-m
N i
fy + e +
e


&




defjm
-

,ALLGEMEINE INTEGRATIONS-AUFLEITUNGSREGELN


Ja dx (Konstantel ->
ax + C


Su dx -> 1 x + C




Sax
3
N A n +1
dx -> 1X + C
n +

Allgemeine Regel
15x3 du -> 5
9 + 1
+ + c = xac =
Exc


Se




1
dx ->
e" + c




at
Sa
X
+ c
ex ->
In(a)
x


97x
7

Auswendig
+ C
di ->
in(7) + 46 zum lernen




SIn(x) dx ->
x - In(x) -

x + C




Scos(x) dx
->
Sin(x) +C



Ssir(x) dx -> -

cos(x) + c



Scos( dx
-> = (cos(x)sin(x) +x + C




QUADRATISCHE Ergänzung
An einem Beispiel :




x2 + 14x 38 I x2 14x "Ergänzung" + 38




.
= + - =
+
y

Schritt
n
:
durch z teilen = x2 +
2
.
7x
+38

-"
x 72 72
Schnitt Quotient
Ergänzen +
"Quotient", Quotient" + 7x + + 38
2
-
:

2
= .




rückwärts =(x 7)2 72
+38 7)2 n
Schritt (x
-




Binomische Formel
3 +
-
= +
:




ÜBERSICHT PARAMETERDARSTELLUNG Polarkoordinaten

drei
Allgemein gilt Kurve Parameter Fläche Zwei Parameter Körper Parameter
:




ein
;




;
:
:
:




R2
Spezielle Kurven im :




1 . Strecke P
.
P · K(t) =
Pr + t .(Pz-P) te[0 , 1)
2 . Funktion y
=
f(x) · K(t) =


(E(t) t , >(to t .
] ,




R :Cos4,
R

3 . Kreis im R x y = :K(1) =

+(0 ,24)


) = R
a . R

. cos(f)
R2 * (f) :K(1) =



E(0 ,24)
Ellipse
+
4 .
(

.
im b R

-sin(e),




Spezielle Flächen im R3
1 .
Ebene von Pr, Pz
,
P3
: t)
F(s , =
Prts .(Pz-Pr) +E .(P3-Pr) site R
,



2 .
Funktion zf(xy) :
F(k , u) = V,
U
, Ve Df

R cos (t)
<+ 2
R (zER) F( ,z)
3 .
Zylindermantel =



,
: =
P sin (l) ,
E(0 , 24] ,
zER
2 -




4 . Oberfläche einer Kugel :


+y2+zR :
F(C ,B) = PR: ( cos (B 2
E(0 ,21]

R .
Sin (B) BE(- , )
KOMPLEX KONJUGIERT

1(m z O
= axb (komplex)




B e


-
b
1 . "
(komplex Konjugiert)

, Kurzklausur 1 bis Folie 21 am 03 . 05 .




E-UMGEBUNGEN Mengen

-Umgebungen sind Intervalle (Mengen) ,
welche entweder offen oder geschlossen sein können .




Offen :




Zahlenstrahl (Beispiel in R
·E A
A
I
a + E

irgendeine
Zahl


-
Intervall
offizielle
Definition :

Un(a) =

(keR/-à(s) -> Intervallschreibweise :
(a-Ex , a+ a)

-
Abstandsfuktion
abgeschlossen
:




Zahlenstrahl (Beispiel in R
a a + E
0 a
-

E
irgendeine
Zahl


2) E)
,

offizielle · Ha(a) =
(xeRF - a =

Intervallschreibweise : (a -E a +
-
Definition
Intervall


M
genevell gilt sind
Umgebungen offene Intervalle Normalfall
:



im (im
e-




R2 das
im sind
E-Umgebungen innere von Kreisen

M3 das innere
im sind
E-Umgebungen von
Kugeln
Menge
E radius
=
von
des
a
Kreises
E E
&

E
A




DER
Topologische Eigenschaften von
Mengen
:




Ein Punkt ED heißt innerer Punkt D, Denthalten ist
-Umgebung
a wenn eine die
~ . von es von ä
gibt, ganz in .




heißt offen, jeder Punkt Punkt ist
Bedingung
2 .
D wenn von D ein innerer .
:

Teil des Randes gehört zul
~kein



3 .
Ein Vektor E .
R" .
heißt Randpunkt
.
von D, wenn die
E-Umgebung Pa(b) von 5 mindestens einen Punkt aus D und mindestens einen Punkt


nicht aus D enthällt Die .
Menge aller Randpunkte heißt Rand


enthält
heißtabgeschlossen wennsiealle Randpunkte
4 .
ihre
Bedingung eine
-> ,




heißtbeschränkt wenns stehen
5 .
es

, könnte , a l te
unendlich großen
Menge enthalten sind (bei Megen geht das nicht

D heißt kompakt, beschränkt und ist
6 .
wenn D
abgeschlossen .




Beispiele

{(x y)(x 03 {(x y)/x y , y303
+
my 221 Dz
=


Dn =
, +
y
,
yz ny
,


für offen
bedingung für abgeschlossen bedingung




-
& ·
~ abgeschlossen
Komp
-
und h
ach




- >
⑫ X
~ offen (keine Randpunktel




-

,NIVEAUMENGEN Und PARTIELLE FUNKTIONEN
"Parabel Becher"
Z




E
f(x y) ,
=
x + y2

liegende" Partielle Funktion "fixieren
Il
In der Ebene Parabel :


:


eines Punkten laufen lassen
von nur einer
2
Beispiel :

/(f(n y) ,
=


n + y2 Variablen
23
=
2) {(x y)(x + y
- der "fixirte" Punkt
(r ,



ein
=
Nz =




Nn 13
z
=
E(x y) x2 ,
+ y =




gelassen f(x)
hat die Funktion :
=x -1
3x Gerade
-Tz

13
2
N =
{(x y))
, +2 +
y =
- Einheitskreis
Die sind die auf die X-Y-Ebene projizierten "Kreise"
Y
Niveaumengen



Beispiel Nirlaumengen berechnen und Skizzieren :




-

f(x y) ,
= n -
x
42 ,
z
=

0
, z
=

1
x
, =
2
1
Y
~ Einheitskreis
1 mit r = 1
z = 0 No
=
E(x y)ER(o , = z
= f(x, y)
+x
42E) x
-
=> 0 1 -
x2 + 1
1
= - =




=>
No
=


{(x y)ER),
+2 +
y
=


13



REIHEN UND FOLGEN wiederholung
unedliche
Zahlenfolge
:




heißt
Eine
Zahlenfolge
·


Lunedlich vielen) unedliche
Anordnung von Zahlen .




->
an, 82, 03

Satz von Bolzano-Weierstraß :

&




ol
konvergent :




zahlenfolge nähert sich einem Bestimmten Wert (z . B
. 0,
+ an



Beispiel
:




an
= läuft
gegen
S

divergent :

Zahlenfolge wird immer größer oder kleiner

Beispiel an n
.
3
: =




Grenzwerte berechnen Beispiel :




B
~
2
2) binomische Formel b) .(a+b)
ar

himn
b2
=

-
(n + (a
-
-



I
: -



+
.
1 3.




&




=
n +
1




. (n+ 2
-
n)
. (4+2+n)
+
1a - b) la

n +
1




. (n+ 2
-
n- +



n)
=


(n + 2 +




n+n k+ 2 = neue darstellg
2
.
=



gefunden"
=



n + 2 + n

-
lim
-
2


n + 1 1 muss weiter gekürzt werden
n +
(n + 2 + n) ↓ &




2 . n

.(1 + )
=2 .

N ·
1 + = -
N ·
1 + .
2 n +
=> =

n -

(1 +
2
+ N
n .. +
+ n . (n + +1) 1 +
2
+ 1
z

Grenzwertbetrachtung :




geht 2

3
2 n
. +
->
gegen grenzwert =
lim
:




-
n
1 +
2
+ 1
·geht gegen


#li 5x -> O


5 5
5 => lim =




6 +

-
d
höchste
O

Merke :
wenn Potenz gleich ist, sind die Zahlen davor die Grenzwerte

, GRENZWERTE MIT MEHREREN VARIABLEN :




Falln : die Funktion ist stetig :




-> werte einsetzen



3,
+
2.
2x
Beispiel
3y
+
aus der Zentralübung on :
lim
-
=




(7 y(t(2,
,
-

1) 4x -

3 2




Fall :

2



gegen Ö gehen :




·

wie auch im Zweidimensionalen müssen wir die Grenzwerte aus verschiedenen Richtungen kommend testen
-> Grenzwert muss aus allen
Richtungen der gleiche sein .




-




lyz Sexy

-Richtung
, , 01
Beispiel aus der
Zentralübung On
( =
:


0

L
y 0

-Richtung
=




X- und
:

:




. y ausy-Richtung 0
Gyf(0 y)
2 0
. o :
+


T
,
=
=




=8
+ =


1 2
3 yz
↑
.
.

O

.y=
+
( f(x ,d) . 0
.
2
x
2
=

=

02
3xz -
z




Diagonale Richtungen :




2
2
2x2
fo((x x)
x
1
=
=



+2
=
1 ,
3x2 2x2
=




-




- o kein
=
0 +1 Grenzwert .




STELIGKEIT FUNKTIONEN MEHREREN VARIABLEN
-




VON MIT

Stetik :
Emaf(N) =


1(Xk) =>
f konnvertiert mit lim - Eine Funktion ist dann stetig, wenn der Graph a



Funktion im Definitionsbereich nahtlos gezeichnet werden kann .




Für Funktionen wird bestimmt
zwei gilt :




Stetigkeit am Punkt des
übergangs/Schnittpunktsl
->
"man kann die beiden Funktionen" durchzeichnen"
-> Grenzwert von links =
grenzwert von rechts


Beispiel im 12



S
x2 ein
f(x) 4
5

x2
-




35
1x23 4
-
=

+
x fz
=




+
16
= 5-
stetig
1
-




v xc3 ein
5



,
k
=



-
+
x+3

Klassen
stetiger Funktionen :




·



Summen, Produkte und Quotienten (wenn der Nenner + o istl stetiger Funktionen sind
stetig .




,

Polynomfunktionen Polynomfunktion f(x-xa) +Xzxz" 5x ,x
·

sind Beispiel x
stetig einer
:
=
: -




Hintereinanderausführung stetiger
·


Funktionen sind
stetig :

f(x y) ,
=




sinkxy
ER
Wurzeln
·


sind stetig

Stetigkeiten im
Mehrachsigen Vektorraum :




Beispiel aus
Zentratübung on :




E +yz
(x , y) # 0


f( y) , =




(x ,y) 0
=




was wissen wir ?




y2
·
2
+ =

0 nur wenn und =
y
↳
damit
Nullpunkt nicht wird, "2 Schritt" mit
der
ausgeschlossen wurde er im .



reingenommen
~
o(x y) ,
=



(0 , 0)
-
-> D(f) = R2
0)
=>

(0) +yz =
0
F 0
=
10 ,



->
Nicht
Stetig