, Geometriekalküle
December 2018
1 Homogene Koordinaten der Ebene
1.1 Punkte
Die Idee hinter homogenen Koordinaten ist es, die euklidische Ebene R2 in den
dreidimensionalen Raum R3 einzubetten - und zwar so, dass sie den Nullpunkt
nicht enthält. Dazu wird z auf das Niveau z = 1 gesetzt. Die Punkte der
entstehenden Ebene können injektiv den eindimensionalen Untervektorräumen,
die von Vektoren wie dem Schnittpunkt repräsentiert werden, des R3 zugeordnet
werden. Dabei kann die Menge der eindimensionalen Untervektoräume des R3
als
R3 \{(0,0,0)T }
P= R\{0}
dargestellt werden (also in Quotientenstruktur). Die Elemente von P sind
dann die Äquivalenzklassen [P ] = {λ · P : λ ∈ R/0}.
Die Zuordnung der eindimensionalen Untervektorräume zu den Punkten
(x, y)T der euklidischen Ebene ist
dann
durch die Abbildung
x
x
H : R2 → P; 7→ y
y
1
gegeben, die Homogenisierung genannt wird. Die Umkehrfunktion existiert
aufgrund der Injektivität und wird Dehomogenisierung genannt. Sie ist für
Vektoren (x, y, z)T mit z 6= 0 als
x
x
D : R 3 \{(x, y, 0) : x, y ∈ R} → R2 ; y 7→ z1 ·
y
z
definiert.
An dieser Stelle ergibt sich nun die Frage nach Vektoren der Form (x, y, 0)T .
Sie können nicht mit Punkten der euklidischen Ebene identifiziert werden. Aber
mittels der Äquivalenzklassen können wir eine andere Interpretation herleiten.
Sei
P (t) = (x · t, y · t, 1)T
ein Vektor, dem wir mittels D den Punkt (x · t, y · t)T der euklidischen Ebene
zuordnen können. Da in P skalare Vielfache identifiziert werden, gilt
2
,
x·t x
[P (t)] = y · t = y .
1 1/t
Wenn wir nun den Grenzwert für t → ∞ betrachten, entspricht das an-
schaulich der Situation, dass sich der Punkt P (t) auf einer Geraden in der
Ebene z = 1 immer weiter vom Ursprung entfernt, sozusagen im Grenzfall
ein unendlich ferner Punkt ist. Folglich repräsentieren alle Vektoren der Form
(x, y, 0)T unendlich weit entfernte Punkte, sogenannte Fernpunkte.
1.2 Geraden
Eine Gerade in der euklidischen Ebene kann durch eine Gleichung ax+by+c = 0
eindeutig festgelegt werden, wobei (a, b)T ∈ R2 \ (0, 0)T und c ∈ R gelten
muss, damit die Gleichung reelle Lösungen hat. Alle Punkte (x, y)T , die diese
Gleichung erfüllen, liegen auf der Geraden. Die Koeffizenten a, b und c bestim-
men die Gerade eindeutig, d.h. wir können jeder Gerade einen dreidimension-
alen Vektor zuornden.
Insgesamt erhalten wir die gleiche Quotientenstruktur wie bei den Punk-
ten. Die Menge der Geraden ist eine (von P disjunkte) Kopie der Menge der
Äquivalenzklassen.
R3 \{(0,0,0)T }
G= R\{0} .
Es gibt jedoch einen eindimensionalen Teilraum, dessen Vektoren keine In-
terpretation als reelle Gerade zulassen. Dies ist er Vektorraum, der von (0, 0, 1)T
aufgespannt wird. 1 = 0 entspricht keiner sinnvollen Geradengleichung. Diesem
Vektorraum wird im nächsten Abschnitt die sogenannte Ferngerade zugeordnet.
Bemerkung zum besseren Verständnis: Die Punkte (x, y)T einer Gerade in
der euklidischen Ebene entsprechen Punkten (x, y, 1)T im R3. . Es gibt un-
endlich viele Vektoren, die senkrecht auf diesen Vektoren/Punkten stehen, aber
nur einen Vektor (a, b, c)T , der auf allen Punkten der Gerade senkrecht steht.
Umgekehrt gibt es nur eine Gerade, die auf einem Vektor (a, b, c)T senkrecht
steht.
1.3 Inzidenz
Inzidenz erklärt, wann ein Punkt auf einer Geraen liegt. Wir betrachten zunächst
wieder die Situation in der euklidischen Ebene. Sei P = (x, y)T ein Punkt und
g eine Gerade. Ein Punkt P liegt genau dann auf g, wenn dieser die Geraden-
gleichung erfüllt, also +
x a
*
P liegt auf g ⇐⇒ y , b = 0,
1 c
wobei wir das Standardskalarprodukt verwenden. Also gilt:
[P ]I[g] ⇐⇒ hP, gi = 0
Die Inzidenzrelation I ist wohldefiniert, d.h. unabängig von der Wahl der
Repräsentanten.
3
, Beweis. Sei [P ] = [P 0 ] und [g] = [g 0 ] . Dann gibt es µ, λ ∈ R∗ mit P 0 = λ · P
und g 0 = µ·g. Ferner gilt für das Skalarprodukt hP 0 , g 0 i = hλ·P, µ·gi = λµ·hP, gi
Da λµ 6= 0 folgt hP 0 , g 0 i = 0 ⇐⇒ hP, gi = 0.
Merke: Auf jeder gewöhnlichen Gerade liegt genau ein unendlich ferner
Punkt. Die unendlich ferne Gerade l∞ = (0, 0, 1)T ist wiederum inzident zu
allen Punkten der Form (x, y, 0)T . Das Tripel (P, G, I) nennt man die reelle
projektive Ebene RP 2 .
1.4 Geometrische Operationen
Seien P , P 0 ∈ P zwei verschiedene Punkte der reellen projektiven Ebene, deren
Verbindungsgerade (Join) g wir suchen. Diese Gerade muss inzident mit beiden
Punkten sein, also muss der Vektor g senkrecht auf beiden Punkten stehen.
Da P und P 0 zwei linear unabhängige Vektoren sind, ist der eindimensionale
Untervektorraum g eindeutig bestimmt, nämlich g = P × P 0 ∈ G.
Die Berechnung des Schnittpunkts (Meet) zweier Geraden verläuft völlig
analog. Seien g, g 0 zwei verschiedene Geraden der reellen projektiven Ebene,
deren Schnittpunk P ∈ P wir bestimmen wollen. Dieser Punkt soll wiederm
gleichzeitig inzident zu beiden Geraden sein.
Wir müssen also keine linearen Gleichungssysteme mehr lösen, um den Schnittpunkt
zweier Geraden zu bestimmen, sondern nur ein Kreuzprodukt berechnen, genauso
um eine Verbindungsgerade zu berechnen.
Ein weiterer Vorteil von homogenen Koordinaten ist die Vereinheitlichung.
Beispielsweise bekommen wir als Verbindungsgerade zweier identischer Punkte
den Nullvektor, und nicht wie bei einem linearen Gleichungssystem eine nicht
eindeutige Lösung. (Der Nullvektor signalisiert eine degenerierte Situation.)
Nun zu den generischen Fällen, bei denen keine Degeneriertheiten auftreten.
Betrachten wir das Kreuzprodukt zweier Geraden in homogenen Koordi-
naten Die beiden Geraden sind genau dann parallel, wenn für die zugehörigen
homogenen Koordniaten
gilt
a1 a2
det = 0,
b1 b2
also die dritte Komponente des Kreuzproduktes 0 ist.
Dies bedeutet aber, dass die dritte Komponente des Kreuzproduktes ver-
schwindet, was soviel bedeutet, wie dass sie sich in einem Fernpunkt schneiden,
nämlich in dem Fernpunkt, der die Richtung der parallelen Geraden repräsentiert.
Die dritte Komponente des Kreuzproduktes verschindet ebenso, wenn wir
T
(a1 , b1 , c1 ) = (0, 0, 1)T , also als Ferngerade, setzen. Somit hat jede gewöhnliche
Gerade mit der Ferngerade genau einen Punkt (ihren Fernpunkt) zum Schnitt.
Sind die beiden Geraden hingegen endlich und nicht paralles, ist der Schnittpunkt
ein endlicher Punkt.
Analog können wir die verschiedenen Fälle von Verbindungsgeraden zweier
PUnkte studieren. Zwei endliche Punkte: gewöhnliche Verbindungsgerade. Ein
Fernpunkt: Die Gerade durch den endlichen Punkt in Richtung des Fernpunkts
als Verbindungsgerade. Zwei Fernpunkte: Ferngerade als Verbindungsgerade.
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December 2018
1 Homogene Koordinaten der Ebene
1.1 Punkte
Die Idee hinter homogenen Koordinaten ist es, die euklidische Ebene R2 in den
dreidimensionalen Raum R3 einzubetten - und zwar so, dass sie den Nullpunkt
nicht enthält. Dazu wird z auf das Niveau z = 1 gesetzt. Die Punkte der
entstehenden Ebene können injektiv den eindimensionalen Untervektorräumen,
die von Vektoren wie dem Schnittpunkt repräsentiert werden, des R3 zugeordnet
werden. Dabei kann die Menge der eindimensionalen Untervektoräume des R3
als
R3 \{(0,0,0)T }
P= R\{0}
dargestellt werden (also in Quotientenstruktur). Die Elemente von P sind
dann die Äquivalenzklassen [P ] = {λ · P : λ ∈ R/0}.
Die Zuordnung der eindimensionalen Untervektorräume zu den Punkten
(x, y)T der euklidischen Ebene ist
dann
durch die Abbildung
x
x
H : R2 → P; 7→ y
y
1
gegeben, die Homogenisierung genannt wird. Die Umkehrfunktion existiert
aufgrund der Injektivität und wird Dehomogenisierung genannt. Sie ist für
Vektoren (x, y, z)T mit z 6= 0 als
x
x
D : R 3 \{(x, y, 0) : x, y ∈ R} → R2 ; y 7→ z1 ·
y
z
definiert.
An dieser Stelle ergibt sich nun die Frage nach Vektoren der Form (x, y, 0)T .
Sie können nicht mit Punkten der euklidischen Ebene identifiziert werden. Aber
mittels der Äquivalenzklassen können wir eine andere Interpretation herleiten.
Sei
P (t) = (x · t, y · t, 1)T
ein Vektor, dem wir mittels D den Punkt (x · t, y · t)T der euklidischen Ebene
zuordnen können. Da in P skalare Vielfache identifiziert werden, gilt
2
,
x·t x
[P (t)] = y · t = y .
1 1/t
Wenn wir nun den Grenzwert für t → ∞ betrachten, entspricht das an-
schaulich der Situation, dass sich der Punkt P (t) auf einer Geraden in der
Ebene z = 1 immer weiter vom Ursprung entfernt, sozusagen im Grenzfall
ein unendlich ferner Punkt ist. Folglich repräsentieren alle Vektoren der Form
(x, y, 0)T unendlich weit entfernte Punkte, sogenannte Fernpunkte.
1.2 Geraden
Eine Gerade in der euklidischen Ebene kann durch eine Gleichung ax+by+c = 0
eindeutig festgelegt werden, wobei (a, b)T ∈ R2 \ (0, 0)T und c ∈ R gelten
muss, damit die Gleichung reelle Lösungen hat. Alle Punkte (x, y)T , die diese
Gleichung erfüllen, liegen auf der Geraden. Die Koeffizenten a, b und c bestim-
men die Gerade eindeutig, d.h. wir können jeder Gerade einen dreidimension-
alen Vektor zuornden.
Insgesamt erhalten wir die gleiche Quotientenstruktur wie bei den Punk-
ten. Die Menge der Geraden ist eine (von P disjunkte) Kopie der Menge der
Äquivalenzklassen.
R3 \{(0,0,0)T }
G= R\{0} .
Es gibt jedoch einen eindimensionalen Teilraum, dessen Vektoren keine In-
terpretation als reelle Gerade zulassen. Dies ist er Vektorraum, der von (0, 0, 1)T
aufgespannt wird. 1 = 0 entspricht keiner sinnvollen Geradengleichung. Diesem
Vektorraum wird im nächsten Abschnitt die sogenannte Ferngerade zugeordnet.
Bemerkung zum besseren Verständnis: Die Punkte (x, y)T einer Gerade in
der euklidischen Ebene entsprechen Punkten (x, y, 1)T im R3. . Es gibt un-
endlich viele Vektoren, die senkrecht auf diesen Vektoren/Punkten stehen, aber
nur einen Vektor (a, b, c)T , der auf allen Punkten der Gerade senkrecht steht.
Umgekehrt gibt es nur eine Gerade, die auf einem Vektor (a, b, c)T senkrecht
steht.
1.3 Inzidenz
Inzidenz erklärt, wann ein Punkt auf einer Geraen liegt. Wir betrachten zunächst
wieder die Situation in der euklidischen Ebene. Sei P = (x, y)T ein Punkt und
g eine Gerade. Ein Punkt P liegt genau dann auf g, wenn dieser die Geraden-
gleichung erfüllt, also +
x a
*
P liegt auf g ⇐⇒ y , b = 0,
1 c
wobei wir das Standardskalarprodukt verwenden. Also gilt:
[P ]I[g] ⇐⇒ hP, gi = 0
Die Inzidenzrelation I ist wohldefiniert, d.h. unabängig von der Wahl der
Repräsentanten.
3
, Beweis. Sei [P ] = [P 0 ] und [g] = [g 0 ] . Dann gibt es µ, λ ∈ R∗ mit P 0 = λ · P
und g 0 = µ·g. Ferner gilt für das Skalarprodukt hP 0 , g 0 i = hλ·P, µ·gi = λµ·hP, gi
Da λµ 6= 0 folgt hP 0 , g 0 i = 0 ⇐⇒ hP, gi = 0.
Merke: Auf jeder gewöhnlichen Gerade liegt genau ein unendlich ferner
Punkt. Die unendlich ferne Gerade l∞ = (0, 0, 1)T ist wiederum inzident zu
allen Punkten der Form (x, y, 0)T . Das Tripel (P, G, I) nennt man die reelle
projektive Ebene RP 2 .
1.4 Geometrische Operationen
Seien P , P 0 ∈ P zwei verschiedene Punkte der reellen projektiven Ebene, deren
Verbindungsgerade (Join) g wir suchen. Diese Gerade muss inzident mit beiden
Punkten sein, also muss der Vektor g senkrecht auf beiden Punkten stehen.
Da P und P 0 zwei linear unabhängige Vektoren sind, ist der eindimensionale
Untervektorraum g eindeutig bestimmt, nämlich g = P × P 0 ∈ G.
Die Berechnung des Schnittpunkts (Meet) zweier Geraden verläuft völlig
analog. Seien g, g 0 zwei verschiedene Geraden der reellen projektiven Ebene,
deren Schnittpunk P ∈ P wir bestimmen wollen. Dieser Punkt soll wiederm
gleichzeitig inzident zu beiden Geraden sein.
Wir müssen also keine linearen Gleichungssysteme mehr lösen, um den Schnittpunkt
zweier Geraden zu bestimmen, sondern nur ein Kreuzprodukt berechnen, genauso
um eine Verbindungsgerade zu berechnen.
Ein weiterer Vorteil von homogenen Koordinaten ist die Vereinheitlichung.
Beispielsweise bekommen wir als Verbindungsgerade zweier identischer Punkte
den Nullvektor, und nicht wie bei einem linearen Gleichungssystem eine nicht
eindeutige Lösung. (Der Nullvektor signalisiert eine degenerierte Situation.)
Nun zu den generischen Fällen, bei denen keine Degeneriertheiten auftreten.
Betrachten wir das Kreuzprodukt zweier Geraden in homogenen Koordi-
naten Die beiden Geraden sind genau dann parallel, wenn für die zugehörigen
homogenen Koordniaten
gilt
a1 a2
det = 0,
b1 b2
also die dritte Komponente des Kreuzproduktes 0 ist.
Dies bedeutet aber, dass die dritte Komponente des Kreuzproduktes ver-
schwindet, was soviel bedeutet, wie dass sie sich in einem Fernpunkt schneiden,
nämlich in dem Fernpunkt, der die Richtung der parallelen Geraden repräsentiert.
Die dritte Komponente des Kreuzproduktes verschindet ebenso, wenn wir
T
(a1 , b1 , c1 ) = (0, 0, 1)T , also als Ferngerade, setzen. Somit hat jede gewöhnliche
Gerade mit der Ferngerade genau einen Punkt (ihren Fernpunkt) zum Schnitt.
Sind die beiden Geraden hingegen endlich und nicht paralles, ist der Schnittpunkt
ein endlicher Punkt.
Analog können wir die verschiedenen Fälle von Verbindungsgeraden zweier
PUnkte studieren. Zwei endliche Punkte: gewöhnliche Verbindungsgerade. Ein
Fernpunkt: Die Gerade durch den endlichen Punkt in Richtung des Fernpunkts
als Verbindungsgerade. Zwei Fernpunkte: Ferngerade als Verbindungsgerade.
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