Statistik / Teil III: Wahrscheinlichkeitsrechnung 61
Übersicht
Teil III: Wahrscheinlichkeitsrechnung
5. Wahrscheinlichkeitstheorie
5.1. Zufall und Zufallsereignis
5.2. Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeit
6. Wahrscheinlichkeitsverteilungen
6.1. Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion
6.2. Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
6.3. Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Aufgaben und Lösungen zu Teil III
, Statistik / Teil III: Wahrscheinlichkeitsrechnung 62
5. Wahrscheinlichkeitstheorie
5. Wahrscheinlichkeitstheorie
Mit den bisherigen Verfahren der univariaten Datenanalyse wurden wichtige Parameter vor-
gestellt, um eine vorliegende statistische Masse treffend und übersichtlich zu beschreiben.
Meist handelte es sich dabei um eine Stichprobe aus einer unbekannten Grundgesamtheit an
statistischen Einheiten.
Eine simple Übertragung der Stichprobenergebnisse auf die Gesamtheit ist allerdings nicht
zulässig. Für solche Schlussfolgerungen sind Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung
notwendig. Sollen nun die Ergebnisse aus einer Stichprobe auf die (unbekannte) Gesamtheit,
also Ergebnisse aus der Vergangenheit auf die Zukunft übertragen werden, muss der Einfluss
des Zufalls quantifiziert werden. Je größer der Zufallseinfluss ist, desto größer ist auch das
Risiko, mit einer Übertragung der Stichprobenergebnisse auf die Gesamtheit 'daneben' zu lie-
gen. Dieses Risiko lässt sich über die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten quantifizieren.
Es geht also in einem ersten Schritt darum, die Begrifflichkeiten Zufall, Zufallsexperiment und
Wahrscheinlichkeiten zu klären.
5.1. Zufall und Zufallsereignis
Sämtlichen Überlegungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie liegen sog. Zufallsexperimente zu-
grunde. Dabei handelt es sich um einen Versuch, der nicht vorhersehbaren Einflüssen unter-
liegt und unter gleichen Rahmenbedingungen beliebig oft wiederholt werden kann. Diese nicht
vorhersehbaren Einflüsse werden als Zufall bezeichnet.
Hierbei ist im Vorfeld zwar nicht das konkrete Versuchsergebnis bekannt, zumindest aber die
Menge aller möglichen Versuchsergebnisse ωi. Alle möglichen Versuchsergebnisse ωi eines
Zufallsexperiments werden zur Grund- oder Ergebnismenge Ω zusammengefasst.
Während ein Ergebnis ωi genau ein Element der gesamten Ergebnismenge darstellt, handelt
es sich bei einem Ereignis A um eine beliebige Teilmenge dieser Ergebnismenge:
A = {ωi mit i = 1, …, n} → A⊂Ω
Dabei können folgende Sonderfälle auftreten:
- Elementarereignis (Ereignis = Ergebnis), d.h. A = {ωi} ∈ Ω
- Sicheres Ereignis, d.h. A = S = Ω
- Unmögliches Ereignis, d.h. A = U = {}
Übersicht
Teil III: Wahrscheinlichkeitsrechnung
5. Wahrscheinlichkeitstheorie
5.1. Zufall und Zufallsereignis
5.2. Zufallsvariable und Wahrscheinlichkeit
6. Wahrscheinlichkeitsverteilungen
6.1. Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilungsfunktion
6.2. Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
6.3. Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Aufgaben und Lösungen zu Teil III
, Statistik / Teil III: Wahrscheinlichkeitsrechnung 62
5. Wahrscheinlichkeitstheorie
5. Wahrscheinlichkeitstheorie
Mit den bisherigen Verfahren der univariaten Datenanalyse wurden wichtige Parameter vor-
gestellt, um eine vorliegende statistische Masse treffend und übersichtlich zu beschreiben.
Meist handelte es sich dabei um eine Stichprobe aus einer unbekannten Grundgesamtheit an
statistischen Einheiten.
Eine simple Übertragung der Stichprobenergebnisse auf die Gesamtheit ist allerdings nicht
zulässig. Für solche Schlussfolgerungen sind Kenntnisse der Wahrscheinlichkeitsrechnung
notwendig. Sollen nun die Ergebnisse aus einer Stichprobe auf die (unbekannte) Gesamtheit,
also Ergebnisse aus der Vergangenheit auf die Zukunft übertragen werden, muss der Einfluss
des Zufalls quantifiziert werden. Je größer der Zufallseinfluss ist, desto größer ist auch das
Risiko, mit einer Übertragung der Stichprobenergebnisse auf die Gesamtheit 'daneben' zu lie-
gen. Dieses Risiko lässt sich über die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten quantifizieren.
Es geht also in einem ersten Schritt darum, die Begrifflichkeiten Zufall, Zufallsexperiment und
Wahrscheinlichkeiten zu klären.
5.1. Zufall und Zufallsereignis
Sämtlichen Überlegungen zur Wahrscheinlichkeitstheorie liegen sog. Zufallsexperimente zu-
grunde. Dabei handelt es sich um einen Versuch, der nicht vorhersehbaren Einflüssen unter-
liegt und unter gleichen Rahmenbedingungen beliebig oft wiederholt werden kann. Diese nicht
vorhersehbaren Einflüsse werden als Zufall bezeichnet.
Hierbei ist im Vorfeld zwar nicht das konkrete Versuchsergebnis bekannt, zumindest aber die
Menge aller möglichen Versuchsergebnisse ωi. Alle möglichen Versuchsergebnisse ωi eines
Zufallsexperiments werden zur Grund- oder Ergebnismenge Ω zusammengefasst.
Während ein Ergebnis ωi genau ein Element der gesamten Ergebnismenge darstellt, handelt
es sich bei einem Ereignis A um eine beliebige Teilmenge dieser Ergebnismenge:
A = {ωi mit i = 1, …, n} → A⊂Ω
Dabei können folgende Sonderfälle auftreten:
- Elementarereignis (Ereignis = Ergebnis), d.h. A = {ωi} ∈ Ω
- Sicheres Ereignis, d.h. A = S = Ω
- Unmögliches Ereignis, d.h. A = U = {}
