Zusammenfassung der ersten Lerneinheit des Moduls Mathematische Kryptologie

Lerneinheit 01
Mathematische Kryptologie April 2022
Zusammenfassung


Inhaltsverzeichnis
1 Definitionen 1

2 Teilt-Relation 2

3 Menge der Primzahlen 2

4 Algebraische Strukturen 3
4.1 Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4.2 Halbgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.3 Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.4 Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.5 Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

5 Zahlensysteme 5
5.1 Dezimalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.2 Dualsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.3 Hexadezimalsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.4 Zahlensysteme umrechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.4.1 Dezimalsystem in Dualsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
5.4.2 Hexadezimalsystem und Dualsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6




1 Definitionen

Mengen
natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3, . . .}

natürliche Zahlen mit Null N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}
ganze Zahlen Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
Primzahlen P = {2, 3, 5, 7, 11, . . .}


Symbole
für alle ∀
es existiert ∃
es existiert genau eins ∃1

daraus folgt ⇒
gdw. , genau dann wenn ⇔
a teilt b a|b




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Mathematische Kryptologie April 2022
Zusammenfassung


2 Teilt-Relation
a, b ∈ Z
a | b :⇔ ∃ k ∈ Z : b = k · a


a teilt b, genau dann wenn b ein Vielaches von a ist.
Es existiert ein k aus den ganzen Zahlen für das gilt: k multipliziert mit a ergibt b




3 Menge der Primzahlen
P = {p ∈ N : p > 1, k | p ⇒ (k = 1 ∨ k = p)}


Die Menge der Primzahlen enthält alle Zahlen aus den natürlichen Zahlen, die größer als 1
sind und für die gilt:

wenn k, p teilt: dann muss k gleich 1 oder die Zahl selbst sein.




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