METRISCHE RÄUME
NPR MIERTE VEKTORRÄUME d-
„(
DIFFERENZIERBARFETT )
x.mg#.-. na. nas.ni*a. in0Ä÷:ijwfyÄy⇐ „
stetig >
zg.n.g.ggepig.nennayqagw.gqga.gg
=
-
( M d) ,
-
f: ✗ →
Y . . .
fünf f) f- ( KiTa ) [ 0,0 )
÷÷÷÷:
'
Metrik MXM Ein )
Stetig Norm II II
÷:÷÷÷÷÷:÷÷÷÷:÷÷÷÷;;:
d : →
. . .
, wenn
= : ✓ →
dcx , y ) 0 < ✗ y GI Stetig wenn FE > 070>0 Ya c- ✗ :
11×11=0 < × 0
Io f%+N;¥Y"
= = "
•
.
= - . -
,
f total differenzierbar JA linear 0 mit A- FA)
.
:
wenn =
-
, „
"" " "" " "" " "
" " "" " " " " ×
„„ „ „„ „„ „
„ „„„ „
„ yay , , ← „ ✗ „ „
.
.
DU % Ü <✗ }
RICHTUNGS ABLEITUNG dvfcx ) ⇐ ¥ FCX + tv ) / f- o ( Tff ) v3
)
JA
=
MIKE > 0 On Bean 0} M I I ( ✗ neu )
③(✗ y)
= → × ,
Bahn U # ( MW ) # c-
y linear
c- : : xn
}
: =
,
: =
:
✗ →
und beschränkt
↳ f
)
gygogpifaywy.nu (
UU du bei differenzierbar < dvfcx ) fix ) AA )
int U Ix } × > ✓
=
I U
: = =
U Umgebung von *
= =
c-
DEMO
„ „ „ „ „ „„ „ „„ „ „„
fK-ixitpji-xn-faforHA.tl
⇐
„ „ „„ „ „ ¥70
.
BEK) =
[ YEM I day ) < E } NORM „ PARTIELLE ABLEITUNG (× )
a u a " (a) „„
angspunueu.nu →
÷ ←
=D = > A unbeschränkt
„„ „ ABM (n)
<
„„ „ „„ „ „„ „ „ „ „„ „„ „ „ „„
.
„ „ „ „ „ „
„
fYA)abgesü% !
" "
„ „ „
bei f :# →
☐ stetig on Karo)
| (0^-440) ""
- - -
.
Jacobi Matrix If Go)
" " "" " " " " " "" ÷ "
-
" "" "
"
:=
" " " " "" " " -
"
" "" " "
„ „„ „ „ „„
Und ABGESCHLOSSEN ⇐ Kopieren , Asean ,
„„„„=qg.¥,qgy
-
FETTEN REGEL
U BESCHRÄNKT ] CERIV-x.yc-U.dk/,y)c-CMZUSaMenh. , A
Jgof (✗ ) Ig ( FAO) ) ] (x )
.
for Ui offen ✗ →
Y linear =
f-
)
: :
o
wenn
[mit
¢
£
< A Lipschitz stetig
Chun Uns Uz ( y (t ) ) D. ✓ ( H) ) j (t )
-
¢!! )
M # •
,
=
oder ✓ =
y
/ I. II )
"
In ( K für UEK
" < A stetig bei × of
gilt
-
_
:
✗
•
, "" " ←
wegzugn .
, wenn × .
, ← × , µ < „ „ „ „ an ,
abgeschlossen ← µ,
"" ,
kompakt < Igel ( [ 0,1]) yco) a) in X ° "
=
:
ny =p
und beschränkt Normen sind äquivalent ,
, < Infernal , in µ
„ nom , an , * „ „ „ g. „ „ papa grauen , „„☐ na , zu
„„ „„ „ „„ „„ „ „ „ „„
g. . . . .
fi
Gebiet offene f Monoton
!
" " Menge +
Banach raum streng [✗ } und
f beschränkt
'
Ne
"
f :[a Nivea Linien Rl / f) (
stetig y] c-
=
• = > :-.
>
f injektiv
,
=
ist vollst nom Vektorraum
KOMPAKTHEIT S ARGUMENT Ist U zsh .
und . -
ihrer Tangente TG ) :
-
-
yoi-ytx.la/-xo)=yo+Y-o(x- xD
f- ( ✗ ) ist kompakt lstf ✗ : →
Ysietig " '
Punkt ( xoxo )
kompakt
•
n
„ „ „„ „
f auf X
gleich Stetig d.h. JCERI ttet
•
1- stetig fcyct) ) (
!!;]!!!!!!!
.
:
± es
=
mit =
meinte
"
" "
Supremums
:
¥
•
> MAX / MIN auf f in ZWS ! 3- fcz )
Folge konvergiert ))
Yt DHfK [ (t ) >
>
= =
Cauchy > I < 0
d- " "A- supthn-y.li } fgurjek.fi ✓
= =
.
-
.
c- :
.
= >
DEMO
,
. .
-
.
TAYLOR APPROXIMATION
:*:*:*
<
alle diffbar
* fidiffbar und alle Oif
Steig stetig partiell
• = > .
⇐„÷;__(
.
/ RPG a) |
=
= > ( im /
< •
¥:b Ip (
z.it#xp+(1-z&:f(y)-fCx)--TfCz ) (
"
a) FA ) UM
analytisch JIE [ 0,1 ] )
=
=
reel wenn × , ✗ c-
×
y
„
, : -
" "
f
" :
Taylor polynom von : ☒ →
Rt AERI E zwischen und y
Verbindungsstrecke
um
✗
TGI-tca-dnfcalx-ai-I.cn?f(a)(x-aYt--.-L-:OnkfCa)Cx-at
SATZ-vonSCHWARZ-i.didjfcx7-djdifGMits.vn
I nations vektor it ( z.B .
K -2 -
:
Oxxf , dxyf , dyxf Oyyf ) ,
( UN ) fcacuiv ) bcu.ir ) ) HESSE MATRIX Stetigkeit durch z.B AfA ) Hall ⇐ 11×-011 C L stetig !
-
gegeben
- .
wenn
g
= -
, .
,
„„„„„„„„„„„÷;y¥;g;§¥„
Hesse Matrix
gesucht f Taylor
„„g„„„„„„„„„„„„„,„„„)
und →
neues in „ „„ „ „„ „ „ a
einsetzen und Ön ablesen ! f- (A) =
A
"
→
f (A) (B)
'
= -
A
"
B A-
^
( × a
-
Hf ( f (A) MA f (A) (B) MB
→ '
g)
= =
a,
f (A) = ich (A) =
A →
f- (A) (B)
' =
B
DEMO
f- (A) AMA FCA ) (B) BMA + AM B
EXTREMA
= =
→
quadratische Form Qcv ) Qv > vtttv
„„„,„„„„„„„„„„„„„.„„_÷ „„„„„„µ„„„„.„„„„„.„„„„÷
=
< v, =
"× ) "✗ )
"
HZO
"
f- (A) =
ATA →
FCA ) ( B ) =
BTA + ATB
"> # " " " " "} >
}
Qcv )
" " :
°
Kv # 0
H> 0 0 ⇐ °
>
positiv detin ,it
< = >
•
positiv senide # nit
EW Ai vo n H :
zi > ☐ isoliertes MIN bei ✗ o
f-(A)
>
<
oh (A) FCA ) (B) [ h ' (A) ( B)]
=
( NA)
→ '
g
=
g
= -
<= > det ( A# ) =
O YA #
}
"
"
JE Beko ) KXOJ :-( A) fcxo )
definit H< 0
"
H
> 0 ✗ c- <
negativ
"
•
< = > Qcv ) < 0 ✓ =/ 0 = >
← 0
< = > EW Ai vo n H : 1- < 0
= >
isoliertes MAX bei ✗ o
negativ semi definit
indefinit
"
H 0
"
negativ } SATTELPUNKT INTEGRALRECHNUNG
D
=
nicht
<
positiv oder
Ö
•
" dt
IFA )
'
mit Xo stationär / kritisch bei TFAD-T-d.tn 3- Umgebung Vvonxo ,
in der f Extremum annimmt L FA ) : =
, × ) dt =
a
, „ dt
Mit Flt ,
x ) vektorwertig .
( ⇐ Rl
"
KONVEX ,
wenn V-xiyc-CV-t.COM ) :
c- × + ( 1- f) y c- (
for f
stetig auf U offen = >
¥f(×)=%¥F(t,×)dtf
f :( → ☒ KONVEX wenn × y c- ( Kf c- ( 0,1 ) f- ( Ex + (1 - f) y) E- tf ( x ) + ( 1- E) fly ) SATZ FUBINI ( F :[ c. d] [ ab ]
stetig )
: :
, , von ✗ →
☒
n
diwff-N-Y-t-y-TXH.ca
( strikt )
f :
y = # konvex . . .
HfG) 70 < f konvex auf U ,
d. h . lokales MIN globales MIN
[ ( IFA ,
t ) dt ) dx =
[([ Fcxitldx ) dt
) > o < f strikt konvex d. h höchstens ein MIN
parameter
abhängige Integrale
,
.
:
KH) hcx)
KURVEN INTEGRALE und VEKTOR FELDER
KALKÜL
⇐„„ „ „ „ „y÷÷÷÷÷;„ ①„⇐=÷a⇐
NABLA
/1
U23)
gerade Permutationen
-
?_?
von
DEMO
k
) (diffbar )
"
( Kurve c- C ( [to.tn] RI
" •
stückweise wenn
✗
=
Yi
y
-
g.IS?.EijkajDi-- |
Ms)
,
ungerade Permutationen
,
Eijk I
=
Levi Ceuta Tensor
von
-
(a ✗ b) c- mit
-
-
""
=
ßm⇐÷j
""" " " " ""
/ ¥ 11J (f) It
•
gleich)
"" " =
° sonst G- B
" mind zwei Indizes
((y )
- -
Länge dt
-
: =
FEE [ taten]
regulär j (t) # 0 a.ca b. ( b) o
•
wenn
, →
> b) = * =
Gradienten feld : f- =D = >
DX F =
0 Rotations frei !
C- Vektor feld FEÜTR "
R
"
) Rotations Geld F- DX E !
↳ auf .
. . um
parametrisieren : ,
→ axcyx c) =
b ( a c) -
( ( ab)
:
☐ •
F =
0
Divergenz frei
"" " "" it Gradienten Feld FA ) =p (× ,
}
① sct) bilden
"
" :
② nach tcs ) uniformen Einheit
sgeschw mit Eich Freiheit :
( nicht
eindeutige Potentiale)
„„=
.
wenn man ein Potential ①( x) =P
③ in
✗ A) einsetzen :
äwcniauene
0c-czu.ie)
findet
grad
( Oic)
Kurve mit
① = c Konstante
ft-X://t.j-at-fr-cnaFEII.sn?i-g.:PxE--Px
☐ . . -
„„
„
Kurven integral
( Ex Pe ) V9 .
.
Eichung ritt :
U - > ☒
,
↳
) F- ( r ) [t (Vektor potential)
" "
FELCR R konservativ d.h. § Fcr) dr
-
O Fct , ) drxr
z.B
-
/ , : = r
.
Oitj =
Dj Fi
+1£
edjm_ mD
=
U the Utt [ 0,1 ]
Eijk Eren
0A ) ¥ sternförmig Ja
:
Mit
U c-
:
: =
Fcr ) a r wenn c-
,
<= > F ist
unabhängig d. h { Flrldr =
Sjfcrldr
tianya.sar-oga.ro/gc.J-I!Fa=a!!EImr
weg ,
mit
✗
an =
g- an und zu> =
JG ) mit n : +
→
☒ stetig
t-a+4-t)-XE- = > Jede konvexe Menge ist
:
sierniörnig
⇐>
IMPLIZITE FUNKTIONEN => it
Ableitung
:
"
SCHRANKEN SATZ ( 4. Y ) LOKALE UMKEHRBARKEIT n
JIM-n-tdyfGID~JxfCXIYT-d.h.de#fx)--O,fregvl--ar-
'
FEC
Funktion f ☒ ✗ ßn ☒ regulär
Imp
t-T.si:0#.;-. . .i.F---s-:::.¥÷¥F
mnmT
,; # : →
HfG) -
ff) II C- Hf / /
'
Hy -
× ] FAO ) Vektorraum -
Isomorphismus . mit Nullstellen
Menge N : =
f( * yo ) / ,
f- ④ = 0 }
[ * ,]
→""
oder einfacher
II
wenn dyfcxoiyo) invertierbar ,
Many ] EIL Hf
'
Hf
'
Mit : =
G)
d.h.detCJycxoiyoD-V-ao.y.to
✓ ""
>
Joffe" "
9lb ""
9
✗°
=
und Fxcxo -107=0
Banachräumen ,
Abbildungen zw .
! Mit FA) offen und flv Difleonorphisrlus ggü
↳
auf konvexen sind L stetig
kompakten & ?
-
Mengen Existiert 10k¥ Auflösung nach "
(÷ ! ) §) §!
,
7 7<1
= >
z.B fcyw × z ) =
=
( %,#
es
4:14 M ist Kontraktion wenn
:
d. h f /✓ und f-
^
u differenzierbar ,
y
bijektiv
.
, ,
Ü (× )
→ eine ,
:
✓→
FEXIY) 0¥
.
V1 SO dass 0 =
tx y EM d ( ✗ ( x ) Ky ) ) < Idk Y)
→ d. h =
Y nach × z auflösen
dima )
/
:
y
dim (a)
, , ,
,
=
FIXPUNKTSATZ
Lösungswege yi geben
"
dann kann mehrere
Fixpunkt 3=419)
es „
4 besitzt eindeutigen
✗ ( ✗ n) →
{ Satz über
implizite Funktionen !
jede Folge
: =
sodass xn.in
?⃝
?⃝
?⃝ ?⃝ ?⃝
NPR MIERTE VEKTORRÄUME d-
„(
DIFFERENZIERBARFETT )
x.mg#.-. na. nas.ni*a. in0Ä÷:ijwfyÄy⇐ „
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-
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Metrik MXM Ein )
Stetig Norm II II
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, „
"" " "" " "" " "
" " "" " " " " ×
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„ „„„ „
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Chun Uns Uz ( y (t ) ) D. ✓ ( H) ) j (t )
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und beschränkt Normen sind äquivalent ,
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Gebiet offene f Monoton
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Banach raum streng [✗ } und
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"
f :[a Nivea Linien Rl / f) (
stetig y] c-
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f injektiv
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ist vollst nom Vektorraum
KOMPAKTHEIT S ARGUMENT Ist U zsh .
und . -
ihrer Tangente TG ) :
-
-
yoi-ytx.la/-xo)=yo+Y-o(x- xD
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Ysietig " '
Punkt ( xoxo )
kompakt
•
n
„ „ „„ „
f auf X
gleich Stetig d.h. JCERI ttet
•
1- stetig fcyct) ) (
!!;]!!!!!!!
.
:
± es
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meinte
"
" "
Supremums
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¥
•
> MAX / MIN auf f in ZWS ! 3- fcz )
Folge konvergiert ))
Yt DHfK [ (t ) >
>
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TAYLOR APPROXIMATION
:*:*:*
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alle diffbar
* fidiffbar und alle Oif
Steig stetig partiell
• = > .
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.
/ RPG a) |
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z.it#xp+(1-z&:f(y)-fCx)--TfCz ) (
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analytisch JIE [ 0,1 ] )
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Verbindungsstrecke
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I nations vektor it ( z.B .
K -2 -
:
Oxxf , dxyf , dyxf Oyyf ) ,
( UN ) fcacuiv ) bcu.ir ) ) HESSE MATRIX Stetigkeit durch z.B AfA ) Hall ⇐ 11×-011 C L stetig !
-
gegeben
- .
wenn
g
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, .
,
„„„„„„„„„„„÷;y¥;g;§¥„
Hesse Matrix
gesucht f Taylor
„„g„„„„„„„„„„„„„,„„„)
und →
neues in „ „„ „ „„ „ „ a
einsetzen und Ön ablesen ! f- (A) =
A
"
→
f (A) (B)
'
= -
A
"
B A-
^
( × a
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Hf ( f (A) MA f (A) (B) MB
→ '
g)
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a,
f (A) = ich (A) =
A →
f- (A) (B)
' =
B
DEMO
f- (A) AMA FCA ) (B) BMA + AM B
EXTREMA
= =
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quadratische Form Qcv ) Qv > vtttv
„„„,„„„„„„„„„„„„„.„„_÷ „„„„„„µ„„„„.„„„„„.„„„„÷
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"× ) "✗ )
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f- (A) =
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BTA + ATB
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zi > ☐ isoliertes MIN bei ✗ o
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JE Beko ) KXOJ :-( A) fcxo )
definit H< 0
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isoliertes MAX bei ✗ o
negativ semi definit
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"
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D
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positiv oder
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•
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mit Xo stationär / kritisch bei TFAD-T-d.tn 3- Umgebung Vvonxo ,
in der f Extremum annimmt L FA ) : =
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Mit Flt ,
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( ⇐ Rl
"
KONVEX ,
wenn V-xiyc-CV-t.COM ) :
c- × + ( 1- f) y c- (
for f
stetig auf U offen = >
¥f(×)=%¥F(t,×)dtf
f :( → ☒ KONVEX wenn × y c- ( Kf c- ( 0,1 ) f- ( Ex + (1 - f) y) E- tf ( x ) + ( 1- E) fly ) SATZ FUBINI ( F :[ c. d] [ ab ]
stetig )
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☒
n
diwff-N-Y-t-y-TXH.ca
( strikt )
f :
y = # konvex . . .
HfG) 70 < f konvex auf U ,
d. h . lokales MIN globales MIN
[ ( IFA ,
t ) dt ) dx =
[([ Fcxitldx ) dt
) > o < f strikt konvex d. h höchstens ein MIN
parameter
abhängige Integrale
,
.
:
KH) hcx)
KURVEN INTEGRALE und VEKTOR FELDER
KALKÜL
⇐„„ „ „ „ „y÷÷÷÷÷;„ ①„⇐=÷a⇐
NABLA
/1
U23)
gerade Permutationen
-
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von
DEMO
k
) (diffbar )
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( Kurve c- C ( [to.tn] RI
" •
stückweise wenn
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Yi
y
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Ms)
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Levi Ceuta Tensor
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ßm⇐÷j
""" " " " ""
/ ¥ 11J (f) It
•
gleich)
"" " =
° sonst G- B
" mind zwei Indizes
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-
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regulär j (t) # 0 a.ca b. ( b) o
•
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Gradienten feld : f- =D = >
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C- Vektor feld FEÜTR "
R
"
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↳ auf .
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→ axcyx c) =
b ( a c) -
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Divergenz frei
"" " "" it Gradienten Feld FA ) =p (× ,
}
① sct) bilden
"
" :
② nach tcs ) uniformen Einheit
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( nicht
eindeutige Potentiale)
„„=
.
wenn man ein Potential ①( x) =P
③ in
✗ A) einsetzen :
äwcniauene
0c-czu.ie)
findet
grad
( Oic)
Kurve mit
① = c Konstante
ft-X://t.j-at-fr-cnaFEII.sn?i-g.:PxE--Px
☐ . . -
„„
„
Kurven integral
( Ex Pe ) V9 .
.
Eichung ritt :
U - > ☒
,
↳
) F- ( r ) [t (Vektor potential)
" "
FELCR R konservativ d.h. § Fcr) dr
-
O Fct , ) drxr
z.B
-
/ , : = r
.
Oitj =
Dj Fi
+1£
edjm_ mD
=
U the Utt [ 0,1 ]
Eijk Eren
0A ) ¥ sternförmig Ja
:
Mit
U c-
:
: =
Fcr ) a r wenn c-
,
<= > F ist
unabhängig d. h { Flrldr =
Sjfcrldr
tianya.sar-oga.ro/gc.J-I!Fa=a!!EImr
weg ,
mit
✗
an =
g- an und zu> =
JG ) mit n : +
→
☒ stetig
t-a+4-t)-XE- = > Jede konvexe Menge ist
:
sierniörnig
⇐>
IMPLIZITE FUNKTIONEN => it
Ableitung
:
"
SCHRANKEN SATZ ( 4. Y ) LOKALE UMKEHRBARKEIT n
JIM-n-tdyfGID~JxfCXIYT-d.h.de#fx)--O,fregvl--ar-
'
FEC
Funktion f ☒ ✗ ßn ☒ regulär
Imp
t-T.si:0#.;-. . .i.F---s-:::.¥÷¥F
mnmT
,; # : →
HfG) -
ff) II C- Hf / /
'
Hy -
× ] FAO ) Vektorraum -
Isomorphismus . mit Nullstellen
Menge N : =
f( * yo ) / ,
f- ④ = 0 }
[ * ,]
→""
oder einfacher
II
wenn dyfcxoiyo) invertierbar ,
Many ] EIL Hf
'
Hf
'
Mit : =
G)
d.h.detCJycxoiyoD-V-ao.y.to
✓ ""
>
Joffe" "
9lb ""
9
✗°
=
und Fxcxo -107=0
Banachräumen ,
Abbildungen zw .
! Mit FA) offen und flv Difleonorphisrlus ggü
↳
auf konvexen sind L stetig
kompakten & ?
-
Mengen Existiert 10k¥ Auflösung nach "
(÷ ! ) §) §!
,
7 7<1
= >
z.B fcyw × z ) =
=
( %,#
es
4:14 M ist Kontraktion wenn
:
d. h f /✓ und f-
^
u differenzierbar ,
y
bijektiv
.
, ,
Ü (× )
→ eine ,
:
✓→
FEXIY) 0¥
.
V1 SO dass 0 =
tx y EM d ( ✗ ( x ) Ky ) ) < Idk Y)
→ d. h =
Y nach × z auflösen
dima )
/
:
y
dim (a)
, , ,
,
=
FIXPUNKTSATZ
Lösungswege yi geben
"
dann kann mehrere
Fixpunkt 3=419)
es „
4 besitzt eindeutigen
✗ ( ✗ n) →
{ Satz über
implizite Funktionen !
jede Folge
: =
sodass xn.in
?⃝
?⃝
?⃝ ?⃝ ?⃝
