Samenvatting; Linear Algebra, a modern introduction.

Samenvatting Lineaire Algebra
Zie schrift voor voorbeelden en formules

1.1 Geometrie en algebra van vectoren
Vectoren in het vlak
- Een vector bestaat uit 2 punten ofwel AB, we noemen A het initiële punt of de staart
en B het terminale punt of de kop.
- Zie 1 voor een voorbeeld van een vector.
- Vectoren kunnen zowel als rijvectoren en als kolomvectoren geschreven worden, zie
2
- De volgorde maakt uit bij vectoren, een vector omgedraaid is niet hetzelfde, zie 3.
- De vector [0,0] noemen we de nulvector (zero vector)
- Het aantal componenten van de vector bepaalt in welke dimensie de vector gezien
kan worden, dit wordt opgeschreven met een R voor de real numbers. Zie 4
- We kunnen zeggen dat vectoren gelijk zijn wanneer ze dezelfde lengte en dezelfde
richting hebben.
- We spreken van de standaard positie wanneer een vector zijn staart in de oorsprong
begint.
- Een vector is niets anders dan een verplaatsing, deze kan dus op iedere plek in een
grafiek beginnen en ook verplaatst worden naar een plek om daar te beginnen. Dit
wordt gedaan door translatie. Zie voorbeeld 1.1 in het boek voor translatie.

Nieuwe vectoren van oude
- Vaak willen we vectoren elkaar laten opvolgen, in dat geval kan je de vectoren bij
elkaar optellen dit noemen we vector addition. Zie 5.
- Deze manier van optellen noemen we ook wel de kop-staart methode.
- Het is ook mogelijk om de vectoren te transleren naar hun standaard positie om
daarna de parallellogram methode te gebruiken, deze werkt hetzelfde als de kop-
staartmethode.
- Een andere methode die toe te passen is op vectoren is scalar multiplication of wel
scalair vermenigvuldiging. Zie 6
- We spreken dan van een geschaalde versie van de vector die is vermenigvuldigd.
- Twee vectoren zijn vermenigvuldigen van elkaar alleen als ze parallel aan elkaar zijn.
- Het is ook mogelijk om vectoren van elkaar af te trekken. Dit heet vector subtraction.
Zie 7

Vectoren in de derde dimensie (R^3)
- Om over de derde dimensie na te denken moet je in stapjes denken. De derde
dimensie zie je terug bij 4. Je beweegt eerst ten opzichte van de X-as, daarna ten
opzichte van de Y-as en als laatste ten opzichte van de Z-as.
- Zie ook figuur 1.16 in het boek

Vectoren in de n-de dimensie (R^n)
- Vectoren kunnen in iedere dimensie bestaan.

, - Vectoren in een hele grote dimensie worden vaan gezien als een soort array, hierbij
kan het i-de element gepakt worden voor de operaties die we eerder gezien hebben.
- In grotere diminesies is het belangrijk om in de gaten te houden of alle regels nog wel
gelden.
o Zo hebben we bijvoorbeeld de regel van commutativiteit, zie 8, dit geldt niet
altijd bij hele grote dimensies, dit krijgen we verder nog.
- De volgende regels zijn belangrijk om te onthouden.




Lineaire combinaties en coördinaten
- Een lineaire combinatie kan gemaakt worden uit verschillende vectoren om zo een
coördinaat van een bepaald punt te bepalen.
- Neem bijvoorbeeld de formule w = -u +2v, we kunnen het punt w berekenen door -u
stapjes te zetten en daarna 2 * v stapjes te zetten.

1.2 Lengte en Hoek: Het Dot Product
Het Dot Product
- Het dot product van 2 vectoren wordt gegeven door de formule te zien in 9.
- Het is alleen mogelijk om het dot product te berekenen als beide vectoren in
dezelfde dimensie zitten.
- Tijdens het berekenen van het dot product kan nog steeds gebruik gemaakt worden
van de bovenstaande regels, die worden hierdoor niet aangetast.

Lengte
- Om de lengte van een vector te berekenen hebben we een speciale notatie, zie 10.
- We gebruiken hiervoor de formule van Pythagoras.
- Een belangrijke vorm van een vector is de unit vector deze vector heeft dezelfde
richting maar een lengte van 1.
- Als we spreken van de unit vector vinden dan wordt er vaak gevraagd om de vector
te normaliseren. Zie example 1.19 in het boek voor een voorbeeld om te
normaliseren.
- Er zijn twee regels die gelden bij het berekenen van de lengte, zie 11.
- De eerste formule is de Cauchy-Schwarz Inequality en de tweede heet de Triangle
Inequality.

, Hoeken
- We kunnen het dot product ook heel goed gebruiken om een hoek tussen twee
vectoren te berekenen.
- De formule om een hoek te berekenen zie je in 12.
- Dit werkt ook bij vectoren in een grotere dimensie.
- Misschien is deze weer handig:




Orthogonale vectoren
- Twee vectoren die loodrecht op elkaar staan worden Orthogonale vectoren
genoemd.
- We leiden hieruit dat als het dot product van twee vectoren gelijk is aan 0 dat dan
deze twee vectoren orthogonaal zijn. Zie 13

Projecties
- Om een afstand te berekenen vanaf een punt tot de lijn kan het handig zijn om een
projectie te gebruiken.
- De projectie van v op u is gedefinieerd in 14.
- Dit is natuurlijk alleen mogelijk als de vector u niet gelijk is aan de nulvector.

1.3 Lijnen en Vlakken
Lijnen in R^2 en R^3
- De normale formule van een lijn in de tweede dimensie is te vinden in 15.
- Deze formule is om te schrijven naar de vorm te vinden in 16. Deze formule kan
gebruikt worden om de richtingscoëfficiënt van een lijn te vinden. Deze is gelijk aan
het getal voor de x.
- De vector n wordt aangegeven als normaalvector. Dit is de vector die loodrecht op
de gegeven vector staat.
- Hierdoor komen we op de normaalvorm, hiermee wordt de normaalvector
berekend. Te zien in 17. We zagen in 1.2 al dat als het dot product gelijk is aan 0 dat
dan de vector loodrecht staat op de gegeven vector.
- Een formule om aan te geven wat voor stappen een punt moet doorlopen om de
vector te bewandelen staat aangegeven in 18.
o Deze formule noemen we een vectorvoorstelling.
o In deze vorm is de d een richtingsvector.
- De normaalvorm wordt ook gebruikt voor een normaalvorm van een vergelijking op
de lijn. Hier hoort een andere formule bij, te vinden in 19.

Vlakken in R^3
- De voorgaande formules (generale vorm, normaalvorm, vectorvoorstelling) voor R^3
zijn iets uitgebreider en te zien in 20.