Statistiek II
Week 1
Stappen
1. Verwachtingen opstellen in de vorm van hypothesen
2. Kiezen geschikte maat en bereken resultaat voor de steekproef
3. Toetsen hoe toevallig het steekproef resultaat is wanneer we ervan uitgaan dat de
nulhypothese waar is
4. Conclusie trekken → geeft het steekproef resultaat aanleiding om de verwachtingen, de
nulhypothese, over de populatie bij te stellen?
Statistiek 1:
- One sample t-toets: één steekproefgemiddelde
- Paired-samples t-toets = voor- en nameting in één groep (t-toets voor afhankelijke steekproeven)
Statistiek 2:
Stel je bent geïnteresseerd in het verschil in gemiddelde recidive tussen twee groepen daders, de ene
groep daders heeft een vrijheidsstraf gekregen en de andere groep elektronische detectie. Er is geen
sprake van een voor- en nameting want je vergelijkt twee verschillende groepen, ook wel
onafhankelijke steekproef genoemd. De scores in de ene groep en de scores in de andere groep zijn
afkomstig van verschillende personen en daarom onafhankelijk van elkaar. We gaan ervan uit dat
beide groepen als aselecte steekproef uit de populatie van daders zijn getrokken. Het vergelijken van
de twee groepen op basis van het gemiddelde vraagt dus om een andere t-toets dan die van
statistiek 1. Je gebruikt hier de independent samples t-toets.
Onafhankelijke steekproeven kun je op twee manieren selecteren:
1. Uit één populatie
2. Uit twee populaties
1. Onafhankelijke steekproeven uit één populatie:
- Trek steekproef (n personen)
- Verdeel proefpersonen at random over twee groepen
- Geef elke groep zijn eigen interventie
- Meet het gemiddelde voor elke groep
- Toets het verschil tussen de gemiddelden
,Wat betekend nu een eventueel verschil?
Een eventueel verschil in het gemiddelde aantal recidive delicten in beide groepen kan groot zijn,
klein zijn of totaal afwezig zijn. Het verschil kan positief of negatief zijn. Maar wanneer is het verschil
significant? Significant betekend dat het verschil in gemiddelden niet beschouwd wordt als een
toevalligheid, wat je bij kleine verschillen logischerwijs eerder zou doen → het verschil is substantieel
genoeg om toe te wijzen aan de condities. Het verschil is dan een effect van de interventie; door de
random toewijzing zijn er geen andere kenmerken die met de toewijzing aan de twee groepen
samenhangen.
2. Onafhankelijke steekproeven uit twee populaties:
- Trek 2 steekproeven, één uit elke populatie
- Meet het gemiddelde voor elke groep
- Toets het verschil tussen de gemiddelden
Voorbeeld: we trekken een steekproef vrouwen uit de Nederlandse vrouwelijke bevolking en een
steekproef mannen uit de Nederlandse mannelijke bevolking. Als je dan vervolgens voor iedereen
het aantal politiecontacten tussen de leeftijd 12 en 18 jaar telt, kunnen we het gemiddelde aantal
politiecontacten tussen de twee groepen vergelijken. De verwachting is hierbij dat mannen
gemiddeld meer delicten plegen dan vrouwen. Met de t-toets voor onafhankelijke steekproeven
kunnen we toetsen of het verschil significant is.
Ook hier geldt dat significant betekend dat het verschil in de gemiddelde niet wordt beschouwd als
een toevalligheid, maar dat het verschil substantieel genoeg is om het toe te schrijven aan de
verschillende populaties. Bij een significant verschil concluderen we dus dat de
populatiegemiddelden, die we dus eigenlijk niet kennen maar waarvan de steekproefgemiddelden
een schatting zijn, verschillen.
Assumpties bij de independent samples t-toets:
(als één van deze voorwaardes geschonden wordt kunnen we de resultaten niet zomaar
interpreteren, de resultaten van de t-toets zijn dan niet betrouwbaar)
1. De twee steekproeven zijn onafhankelijk van elkaar getrokken (of de steekproef is willekeurig
verdeeld over de twee groepen), dus belangrijk dat de scores van de ene steekproef de andere
scores niet beïnvloed hebben (independent samples)
2. Er moet sprake zijn van een vergelijkbare spreiding van scores rondom het steekproefgemiddelde
in beide steekproeven, de varianties van de twee populaties waaruit de steekproeven komen zijn
gelijk → homogeniteit van variantie (homogeneity of variance) (equal variances assumed)
, Samengevat zijn er dus drie varianten van de t-toets:
Stappen bij independent samples t-toets
1. Nulhypothese: verschil tussen populatiegemiddelden is onbekend, we gaan uit van de
nulhypothese dat µ1-µ2=0
2. Toetsstatistiek: het verschil tussen gemiddelden omgezet in ‘standaard’ toetsstatistiek t-score
→ een t-score van 0 is nooit aanleiding om te twijfelen over de nulhypothese, want deze ligt precies
in het midden van de verdeling en betekend simpelweg dat de steekproefgemiddelden gelijk zijn aan
elkaar
3. Kritieke waarde: is het verschil tussen µ1-µ2 en 0 significant? Hoe groot verschil is genoeg om de
nulhypothese te verwerpen? (afhankelijk van α)
4. Beslissing: bij een significant verschil, hiervan is sprake wanneer de t-score van stap 2 de kritieke
waarde in stap 3 overschrijdt, veronderstellen we dat de steekproefgemiddelden echt verschillend
zijn
1. H0: µ1=µ2 ofwel H0: µ1-µ2=0
H1:µ1≠µ2 ofwel H1: µ1-µ2≠0
2.
- Onder de nulhypothese H0: µ1=µ2 valt (µ1-µ2) weg, aangezien het verwachte verschil tussen de
populatiegemiddelden onder de nulhypothese 0 is
- Voor de standaardfout gelden twee verschillende procedures:
• Equal variances assumed
• Equal variances not assumed
Equal variances assumed
Als σ21 en σ22 gelijk zijn: exacte t-verdeling
→ dan maken we gebruik van de gepoolde schatter van de varianties
Week 1
Stappen
1. Verwachtingen opstellen in de vorm van hypothesen
2. Kiezen geschikte maat en bereken resultaat voor de steekproef
3. Toetsen hoe toevallig het steekproef resultaat is wanneer we ervan uitgaan dat de
nulhypothese waar is
4. Conclusie trekken → geeft het steekproef resultaat aanleiding om de verwachtingen, de
nulhypothese, over de populatie bij te stellen?
Statistiek 1:
- One sample t-toets: één steekproefgemiddelde
- Paired-samples t-toets = voor- en nameting in één groep (t-toets voor afhankelijke steekproeven)
Statistiek 2:
Stel je bent geïnteresseerd in het verschil in gemiddelde recidive tussen twee groepen daders, de ene
groep daders heeft een vrijheidsstraf gekregen en de andere groep elektronische detectie. Er is geen
sprake van een voor- en nameting want je vergelijkt twee verschillende groepen, ook wel
onafhankelijke steekproef genoemd. De scores in de ene groep en de scores in de andere groep zijn
afkomstig van verschillende personen en daarom onafhankelijk van elkaar. We gaan ervan uit dat
beide groepen als aselecte steekproef uit de populatie van daders zijn getrokken. Het vergelijken van
de twee groepen op basis van het gemiddelde vraagt dus om een andere t-toets dan die van
statistiek 1. Je gebruikt hier de independent samples t-toets.
Onafhankelijke steekproeven kun je op twee manieren selecteren:
1. Uit één populatie
2. Uit twee populaties
1. Onafhankelijke steekproeven uit één populatie:
- Trek steekproef (n personen)
- Verdeel proefpersonen at random over twee groepen
- Geef elke groep zijn eigen interventie
- Meet het gemiddelde voor elke groep
- Toets het verschil tussen de gemiddelden
,Wat betekend nu een eventueel verschil?
Een eventueel verschil in het gemiddelde aantal recidive delicten in beide groepen kan groot zijn,
klein zijn of totaal afwezig zijn. Het verschil kan positief of negatief zijn. Maar wanneer is het verschil
significant? Significant betekend dat het verschil in gemiddelden niet beschouwd wordt als een
toevalligheid, wat je bij kleine verschillen logischerwijs eerder zou doen → het verschil is substantieel
genoeg om toe te wijzen aan de condities. Het verschil is dan een effect van de interventie; door de
random toewijzing zijn er geen andere kenmerken die met de toewijzing aan de twee groepen
samenhangen.
2. Onafhankelijke steekproeven uit twee populaties:
- Trek 2 steekproeven, één uit elke populatie
- Meet het gemiddelde voor elke groep
- Toets het verschil tussen de gemiddelden
Voorbeeld: we trekken een steekproef vrouwen uit de Nederlandse vrouwelijke bevolking en een
steekproef mannen uit de Nederlandse mannelijke bevolking. Als je dan vervolgens voor iedereen
het aantal politiecontacten tussen de leeftijd 12 en 18 jaar telt, kunnen we het gemiddelde aantal
politiecontacten tussen de twee groepen vergelijken. De verwachting is hierbij dat mannen
gemiddeld meer delicten plegen dan vrouwen. Met de t-toets voor onafhankelijke steekproeven
kunnen we toetsen of het verschil significant is.
Ook hier geldt dat significant betekend dat het verschil in de gemiddelde niet wordt beschouwd als
een toevalligheid, maar dat het verschil substantieel genoeg is om het toe te schrijven aan de
verschillende populaties. Bij een significant verschil concluderen we dus dat de
populatiegemiddelden, die we dus eigenlijk niet kennen maar waarvan de steekproefgemiddelden
een schatting zijn, verschillen.
Assumpties bij de independent samples t-toets:
(als één van deze voorwaardes geschonden wordt kunnen we de resultaten niet zomaar
interpreteren, de resultaten van de t-toets zijn dan niet betrouwbaar)
1. De twee steekproeven zijn onafhankelijk van elkaar getrokken (of de steekproef is willekeurig
verdeeld over de twee groepen), dus belangrijk dat de scores van de ene steekproef de andere
scores niet beïnvloed hebben (independent samples)
2. Er moet sprake zijn van een vergelijkbare spreiding van scores rondom het steekproefgemiddelde
in beide steekproeven, de varianties van de twee populaties waaruit de steekproeven komen zijn
gelijk → homogeniteit van variantie (homogeneity of variance) (equal variances assumed)
, Samengevat zijn er dus drie varianten van de t-toets:
Stappen bij independent samples t-toets
1. Nulhypothese: verschil tussen populatiegemiddelden is onbekend, we gaan uit van de
nulhypothese dat µ1-µ2=0
2. Toetsstatistiek: het verschil tussen gemiddelden omgezet in ‘standaard’ toetsstatistiek t-score
→ een t-score van 0 is nooit aanleiding om te twijfelen over de nulhypothese, want deze ligt precies
in het midden van de verdeling en betekend simpelweg dat de steekproefgemiddelden gelijk zijn aan
elkaar
3. Kritieke waarde: is het verschil tussen µ1-µ2 en 0 significant? Hoe groot verschil is genoeg om de
nulhypothese te verwerpen? (afhankelijk van α)
4. Beslissing: bij een significant verschil, hiervan is sprake wanneer de t-score van stap 2 de kritieke
waarde in stap 3 overschrijdt, veronderstellen we dat de steekproefgemiddelden echt verschillend
zijn
1. H0: µ1=µ2 ofwel H0: µ1-µ2=0
H1:µ1≠µ2 ofwel H1: µ1-µ2≠0
2.
- Onder de nulhypothese H0: µ1=µ2 valt (µ1-µ2) weg, aangezien het verwachte verschil tussen de
populatiegemiddelden onder de nulhypothese 0 is
- Voor de standaardfout gelden twee verschillende procedures:
• Equal variances assumed
• Equal variances not assumed
Equal variances assumed
Als σ21 en σ22 gelijk zijn: exacte t-verdeling
→ dan maken we gebruik van de gepoolde schatter van de varianties
