Primer Control d’Àlgebra Lineal Grau d’Enginyeria Quı́mica
Grup T1 Grau d’Enginyeria de Materials
3 d’Octubre 2016 Universitat de Barcelona
1. (2 punts) Calcula el rang de la matriu A i el determinant de B:
2 3 −4 1 −1 −3 −1
1 2 −3 , B = 2 −1 −4
1
A= 3 −1
.
5 3 4 −2 6
−1 4 −9 2 −2 −5 1
2. (2 punts) Resol el sistema següent:
2x + y + z + 3t = 5
3x + 2y − z + 5t = 7
3. Considera el sistema d’equacions lineals
kx + y + z = 1
x + ky − z = −1
x + ky + z = 2
on k és un nombre real.
(a) (2 punts) Discuteix el sistema segons els valors de k. És a dir, digues per
a quins valors de k el sistema és incompatible, per a quins és compatible
indeterminat i per a quins és compatible determinat.
(b) (2 punts) Per al valor k = −1, troba les solucions del sistema.
4. En aquest exercici a, b, c i d representen nombres reals tots ells diferents de 0.
(a) (1 punt) Calcula la inversa de la matriu
a 0 0 0
0 b 0 0
,
0 0 c 0
0 0 0 d
(b) (1 punt) Calcula el determinant de la matriu
a b c d
0 b c d
0 0 c d .
0 0 0 d
,Segon Control d’Àlgebra Lineal Grau d’Enginyeria Quı́mica
Grup T1 Grau d’Enginyeria de Materials
2 de desembre de 2016 Universitat de Barcelona
1. Sigui f l’endomorfisme de R3 definit per:
f (x, y, z) = (−4x + 6y + 3z, 2y, −6x + 6y + 5z).
(a) (1 punt) Calcula la matriu de f en la base canònica de R3 .
(b) (1 punt) Calcula el polinomi caracterı́stic de f .
(c) (1 punt) Calcula els valors propis de f i la seva multiplicitat.
(d) (2 punts) Per a cada valor propi, calcula una base de vectors propis asso-
ciats.
(e) (1 punt) Digues si f diagonalitza. En cas afirmatiu, dóna una base de R3
en què f diagonalitzi i la matriu de f en aquesta base.
2. (2 punts) Sigui g : R2 → R2 l’aplicació lineal donada per
g(x, y) = (2x + y, −x + 3y).
Siguin B i B 0 les bases de R2 següents:
B = {(−1, 2), (3, 1)}, B 0 = {(1, 1), (1, 2)}.
Calcula M (g, B, B 0 ), la matriu de g en les bases B a la sortida i B 0 a l’arribada.
3. (a) (1 punt) Expressa en forma polar els tres nombres complexos següents:
1 + i, −1 + i, (1 + i) · (−1 + i).
(b) (1 punt) Dóna un exemple de nombre complex que tingui mòdul 1 i part
imaginària negativa.
, Parcial d’Àlgebra Lineal Grau d’Enginyeria Quı́mica
Grups M1 i T1 Grau d’Enginyeria de Materials
3 de novembre 2016 Universitat de Barcelona
Feu problemes diferents en fulls diferents. Poseu el nom a tots els fulls que entregueu.
1. (1 punt) Digues si els conjunts següents són subespai vectorial de R3 , tot justificant
el perquè:
F = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + 2z = 1}.
G = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + 2xz = 0}.
2. Siguin F i G els subespais de R4 següents:
F = h(1, 0, 1, 2), (2, 1, 1, 0), (−4, −3, −1, 4)i,
G = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x − 3y + z − t = 0, x + y + z + t = 0}.
(a) (0.5 punts) Calcula una base de F .
(b) (1 punt) Calcula una base de F ∩ G.
(c) (1 punt) Calcula la dimensió de F + G.
3. Sigui B una base de R3 formada per vectors v1 , v2 i v3 . Definim:
w1 = v1 ; w2 = v1 + v2 ; w3 = 2v1 + v2 ,
(a) (1 punt) Els vectors w1 , w2 , w3 formen una base de R3 ? Per què?
(b) (1 punt) En cas afirmatiu, calcula la matriu del canvi de base de {w1 , w2 , w3 } a
base {v1 , v2 , v3 }. En cas negatiu, dóna un vector w30 tal que {w1 , w2 , w30 } sigui
base de R3 .
4. Dóna un exemple de:
(a) (0.5 punts) Una aplicació f : R2 −→ R2 que no sigui lineal.
(b) (0.5 punts) Dos subespais vectorials F i G de R3 tals que dim(F + G) = 3.
(c) (0.5 punts) Un sistema d’equacions les solucions del qual formin un subespai
vectorial de R4 de dimensió 3.
(d) (0.5 punts) Tres vectors de R5 linealment dependents.
Justifica les respostes.
5. Sigui f : R3 −→ R3 l’aplicació lineal definida per
f (x, y, z) = (2x + y + z, x + 2y, 3x + 6y + z).
(a) (0.5 punts) Calcula la matriu de f en la base canònica de R3 .
(b) (1 punt) Calcula la dimensió i una base de la imatge de f . És f exhaustiva?
(c) (1 punt) Calcula el nucli de f . És f injectiva?
Grup T1 Grau d’Enginyeria de Materials
3 d’Octubre 2016 Universitat de Barcelona
1. (2 punts) Calcula el rang de la matriu A i el determinant de B:
2 3 −4 1 −1 −3 −1
1 2 −3 , B = 2 −1 −4
1
A= 3 −1
.
5 3 4 −2 6
−1 4 −9 2 −2 −5 1
2. (2 punts) Resol el sistema següent:
2x + y + z + 3t = 5
3x + 2y − z + 5t = 7
3. Considera el sistema d’equacions lineals
kx + y + z = 1
x + ky − z = −1
x + ky + z = 2
on k és un nombre real.
(a) (2 punts) Discuteix el sistema segons els valors de k. És a dir, digues per
a quins valors de k el sistema és incompatible, per a quins és compatible
indeterminat i per a quins és compatible determinat.
(b) (2 punts) Per al valor k = −1, troba les solucions del sistema.
4. En aquest exercici a, b, c i d representen nombres reals tots ells diferents de 0.
(a) (1 punt) Calcula la inversa de la matriu
a 0 0 0
0 b 0 0
,
0 0 c 0
0 0 0 d
(b) (1 punt) Calcula el determinant de la matriu
a b c d
0 b c d
0 0 c d .
0 0 0 d
,Segon Control d’Àlgebra Lineal Grau d’Enginyeria Quı́mica
Grup T1 Grau d’Enginyeria de Materials
2 de desembre de 2016 Universitat de Barcelona
1. Sigui f l’endomorfisme de R3 definit per:
f (x, y, z) = (−4x + 6y + 3z, 2y, −6x + 6y + 5z).
(a) (1 punt) Calcula la matriu de f en la base canònica de R3 .
(b) (1 punt) Calcula el polinomi caracterı́stic de f .
(c) (1 punt) Calcula els valors propis de f i la seva multiplicitat.
(d) (2 punts) Per a cada valor propi, calcula una base de vectors propis asso-
ciats.
(e) (1 punt) Digues si f diagonalitza. En cas afirmatiu, dóna una base de R3
en què f diagonalitzi i la matriu de f en aquesta base.
2. (2 punts) Sigui g : R2 → R2 l’aplicació lineal donada per
g(x, y) = (2x + y, −x + 3y).
Siguin B i B 0 les bases de R2 següents:
B = {(−1, 2), (3, 1)}, B 0 = {(1, 1), (1, 2)}.
Calcula M (g, B, B 0 ), la matriu de g en les bases B a la sortida i B 0 a l’arribada.
3. (a) (1 punt) Expressa en forma polar els tres nombres complexos següents:
1 + i, −1 + i, (1 + i) · (−1 + i).
(b) (1 punt) Dóna un exemple de nombre complex que tingui mòdul 1 i part
imaginària negativa.
, Parcial d’Àlgebra Lineal Grau d’Enginyeria Quı́mica
Grups M1 i T1 Grau d’Enginyeria de Materials
3 de novembre 2016 Universitat de Barcelona
Feu problemes diferents en fulls diferents. Poseu el nom a tots els fulls que entregueu.
1. (1 punt) Digues si els conjunts següents són subespai vectorial de R3 , tot justificant
el perquè:
F = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + 2z = 1}.
G = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y + 2xz = 0}.
2. Siguin F i G els subespais de R4 següents:
F = h(1, 0, 1, 2), (2, 1, 1, 0), (−4, −3, −1, 4)i,
G = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x − 3y + z − t = 0, x + y + z + t = 0}.
(a) (0.5 punts) Calcula una base de F .
(b) (1 punt) Calcula una base de F ∩ G.
(c) (1 punt) Calcula la dimensió de F + G.
3. Sigui B una base de R3 formada per vectors v1 , v2 i v3 . Definim:
w1 = v1 ; w2 = v1 + v2 ; w3 = 2v1 + v2 ,
(a) (1 punt) Els vectors w1 , w2 , w3 formen una base de R3 ? Per què?
(b) (1 punt) En cas afirmatiu, calcula la matriu del canvi de base de {w1 , w2 , w3 } a
base {v1 , v2 , v3 }. En cas negatiu, dóna un vector w30 tal que {w1 , w2 , w30 } sigui
base de R3 .
4. Dóna un exemple de:
(a) (0.5 punts) Una aplicació f : R2 −→ R2 que no sigui lineal.
(b) (0.5 punts) Dos subespais vectorials F i G de R3 tals que dim(F + G) = 3.
(c) (0.5 punts) Un sistema d’equacions les solucions del qual formin un subespai
vectorial de R4 de dimensió 3.
(d) (0.5 punts) Tres vectors de R5 linealment dependents.
Justifica les respostes.
5. Sigui f : R3 −→ R3 l’aplicació lineal definida per
f (x, y, z) = (2x + y + z, x + 2y, 3x + 6y + z).
(a) (0.5 punts) Calcula la matriu de f en la base canònica de R3 .
(b) (1 punt) Calcula la dimensió i una base de la imatge de f . És f exhaustiva?
(c) (1 punt) Calcula el nucli de f . És f injectiva?
