STEREOMETRIE SAMENVATTING
, INHOUDSOPGAVE
Verschillende ruimtefiguren........................................................................................................................ 3
Parallelprojectie ......................................................................................................................................... 4
Notaties ..................................................................................................................................................... 4
Constructie................................................................................................................................................. 5
Doorsnede ................................................................................................................................................. 5
Onderlinge ligging van vlakken.................................................................................................................... 7
Drievlakkenstelling ............................................................................................................................................... 7
Grondlijnconstructie ................................................................................................................................... 8
Doorsnedes met evenwijdigheid ........................................................................................................................ 10
Constructie onder voorwaarden ................................................................................................................ 13
Kortste afstand......................................................................................................................................... 17
Hoeken .................................................................................................................................................... 19
Hoek tussen twee vlakken .................................................................................................................................. 22
Middelloodvlak en bissectricevlakken ....................................................................................................... 23
Middelloodvlak ................................................................................................................................................... 23
Bissectricevlak .................................................................................................................................................... 24
Bissectriceloodvlak ............................................................................................................................................. 25
2
, VERSCHILLENDE RUIMTEFIGUREN
Bij stereometrie komt het tekenen in ruimtelijke figuren aan bod. Daarbij leer je snijpunten, snijlijnen,
doorsneden, etc. Dit construeren we in kubussen, piramides en prisma’s.
Kubus Piramide Prisma
(grondvlak kan variëren) (grondvlak kan variëren)
Viervlak Piramide Prisma
(grondvlak kan variëren) (grondvlak kan variëren)
Regelmatig viervlak
(elke zijde is een gelijkzijdige driehoek)
Bij elke constructie dient vermeld te worden op het tentamen hoe en in welke volgorde handelingen
zijn uitgevoerd.
3
, PARALLELPROJECTIE
We moeten werken op papier en daarmee moeten we ruimtelijke figuren projecteren op een plat
vlak. Bij zo’n parallelprojectie gelden de volgende eigenschappen:
• De verhouding van lijnstukken blijft behouden.
o Zo is bijvoorbeeld de helft van BC ook echt de helft.
• Evenwijdigheid van lijnen blijft behouden.
o Zo zijn bijvoorbeeld AB, EF, DC en HG evenwijdig.
• Lengte van lijnstukken blijft in de parallelprojectie niet
behouden. Dat gaat om alle lijnstukken die niet in het vlak
van tekening liggen.
o AD, EH, BC en FG zijn niet even lang getekend als dat ze in werkelijkheid zijn.
• De grootte van hoeken blijft niet behouden.
• Alles wat in ‘het vlak van tekening’ valt blijft gelijk aan het origineel.
o Het vlak van tekening is het platte vlak van het papier. Hier zijn dat ABFE en DCGH.
NOTATIES
Er zijn verschillende notaties afgesproken.
Hoofdletter Een punt (punt A)
Kleine letter Een lijn (lijn l)
Griekse letter Een vlak (vlak α)
Twee hoofdletters Een oneindig lange lijn door deze twee punten (AB)
Drie hoofdletters Een onbegrensd vlak waar deze punten in liggen (ABC)
Kleine letter (Griekse letter, Griekse letter) De snijlijn (kleine letter) van twee vlakken
Kleine letter (drie hoofdletters, drie hoofdletters) De snijlijn (kleine letter) van twee vlakken
Hoofdletter (kleine/Griekse letter, kleine/Griekse letter) Snijpunt S van een lijn/vlak met een lijn/vlak
4
, CONSTRUCTIE
Bij deze tekening is de opdracht: construeer S(EP, ABC).
Daarin zien we dat dit snijpunt dus niet letterlijk in ABCD
hoeft te liggen. Met het vlak ABC wordt het onbegrensde
grondvlak bedoeld. Daarmee mogen we AB oneindig ver
doortrekken.
Bij deze tekening is de opdracht: construeer s(ABC, BCG).
Daarin zien we dat lijn s een lijn is die veel langer
doorloopt dan de kubus. Ook is deze snijlijn een ribbe
van de kubus (maar dan veel langer).
Een snijpunt is te construeren als er twee lijnen in hetzelfde vlak gevonden zijn. Daarbij kan het handig
zijn om een hulpvlak te maken om een lijn. In een kubus is dat vaak verticaal en in een piramide is dat
een vlak door de top.
DOORSNEDE
Een doorsnede is een vlak, ofwel veelhoek, door een aantal gegeven punten die de bestaande figuur
doorsnijdt. De buitenste lijnen van de veelhoeken lopen over de buitenste vlakken van het figuur.
Hierbij moeten twee punten van de doorsnede altijd in hetzelfde vlak liggen.
Voorbeeld: construeer de doorsnede van de kubus met het
vlak door de punten P, Q en R.
Omdat het hier om een kubus gaat kan je de doorsnede
tekenen met behulp van evenwijdige lijnen.
Allereerst liggen P en Q al in hetzelfde vlak, waardoor we de
lijn PQ mogen tekenen. Het voor- en achtervlak van de kubus
lopen evenwijdig en daarom trekken we ook een lijn door R,
evenwijdig aan PQ. Deze lijn snijdt CG in het punt S.
5
, Nu liggen de punten Q en S in hetzelfde vlak (BCG),
waardoor die ook verbonden mogen worden. Dit is het
rechterzijvlak, die evenwijdig is met het linkerzijvlak.
Daardoor kunnen we een lijn door P trekken die
evenwijdig is aan QS. Deze lijn snijdt EH in punt T.
Tot slot kunnen we RT verbinden, omdat deze nu in
hetzelfde vlak liggen (het bovenvlak).
De doorsnede is klaar.
6
, INHOUDSOPGAVE
Verschillende ruimtefiguren........................................................................................................................ 3
Parallelprojectie ......................................................................................................................................... 4
Notaties ..................................................................................................................................................... 4
Constructie................................................................................................................................................. 5
Doorsnede ................................................................................................................................................. 5
Onderlinge ligging van vlakken.................................................................................................................... 7
Drievlakkenstelling ............................................................................................................................................... 7
Grondlijnconstructie ................................................................................................................................... 8
Doorsnedes met evenwijdigheid ........................................................................................................................ 10
Constructie onder voorwaarden ................................................................................................................ 13
Kortste afstand......................................................................................................................................... 17
Hoeken .................................................................................................................................................... 19
Hoek tussen twee vlakken .................................................................................................................................. 22
Middelloodvlak en bissectricevlakken ....................................................................................................... 23
Middelloodvlak ................................................................................................................................................... 23
Bissectricevlak .................................................................................................................................................... 24
Bissectriceloodvlak ............................................................................................................................................. 25
2
, VERSCHILLENDE RUIMTEFIGUREN
Bij stereometrie komt het tekenen in ruimtelijke figuren aan bod. Daarbij leer je snijpunten, snijlijnen,
doorsneden, etc. Dit construeren we in kubussen, piramides en prisma’s.
Kubus Piramide Prisma
(grondvlak kan variëren) (grondvlak kan variëren)
Viervlak Piramide Prisma
(grondvlak kan variëren) (grondvlak kan variëren)
Regelmatig viervlak
(elke zijde is een gelijkzijdige driehoek)
Bij elke constructie dient vermeld te worden op het tentamen hoe en in welke volgorde handelingen
zijn uitgevoerd.
3
, PARALLELPROJECTIE
We moeten werken op papier en daarmee moeten we ruimtelijke figuren projecteren op een plat
vlak. Bij zo’n parallelprojectie gelden de volgende eigenschappen:
• De verhouding van lijnstukken blijft behouden.
o Zo is bijvoorbeeld de helft van BC ook echt de helft.
• Evenwijdigheid van lijnen blijft behouden.
o Zo zijn bijvoorbeeld AB, EF, DC en HG evenwijdig.
• Lengte van lijnstukken blijft in de parallelprojectie niet
behouden. Dat gaat om alle lijnstukken die niet in het vlak
van tekening liggen.
o AD, EH, BC en FG zijn niet even lang getekend als dat ze in werkelijkheid zijn.
• De grootte van hoeken blijft niet behouden.
• Alles wat in ‘het vlak van tekening’ valt blijft gelijk aan het origineel.
o Het vlak van tekening is het platte vlak van het papier. Hier zijn dat ABFE en DCGH.
NOTATIES
Er zijn verschillende notaties afgesproken.
Hoofdletter Een punt (punt A)
Kleine letter Een lijn (lijn l)
Griekse letter Een vlak (vlak α)
Twee hoofdletters Een oneindig lange lijn door deze twee punten (AB)
Drie hoofdletters Een onbegrensd vlak waar deze punten in liggen (ABC)
Kleine letter (Griekse letter, Griekse letter) De snijlijn (kleine letter) van twee vlakken
Kleine letter (drie hoofdletters, drie hoofdletters) De snijlijn (kleine letter) van twee vlakken
Hoofdletter (kleine/Griekse letter, kleine/Griekse letter) Snijpunt S van een lijn/vlak met een lijn/vlak
4
, CONSTRUCTIE
Bij deze tekening is de opdracht: construeer S(EP, ABC).
Daarin zien we dat dit snijpunt dus niet letterlijk in ABCD
hoeft te liggen. Met het vlak ABC wordt het onbegrensde
grondvlak bedoeld. Daarmee mogen we AB oneindig ver
doortrekken.
Bij deze tekening is de opdracht: construeer s(ABC, BCG).
Daarin zien we dat lijn s een lijn is die veel langer
doorloopt dan de kubus. Ook is deze snijlijn een ribbe
van de kubus (maar dan veel langer).
Een snijpunt is te construeren als er twee lijnen in hetzelfde vlak gevonden zijn. Daarbij kan het handig
zijn om een hulpvlak te maken om een lijn. In een kubus is dat vaak verticaal en in een piramide is dat
een vlak door de top.
DOORSNEDE
Een doorsnede is een vlak, ofwel veelhoek, door een aantal gegeven punten die de bestaande figuur
doorsnijdt. De buitenste lijnen van de veelhoeken lopen over de buitenste vlakken van het figuur.
Hierbij moeten twee punten van de doorsnede altijd in hetzelfde vlak liggen.
Voorbeeld: construeer de doorsnede van de kubus met het
vlak door de punten P, Q en R.
Omdat het hier om een kubus gaat kan je de doorsnede
tekenen met behulp van evenwijdige lijnen.
Allereerst liggen P en Q al in hetzelfde vlak, waardoor we de
lijn PQ mogen tekenen. Het voor- en achtervlak van de kubus
lopen evenwijdig en daarom trekken we ook een lijn door R,
evenwijdig aan PQ. Deze lijn snijdt CG in het punt S.
5
, Nu liggen de punten Q en S in hetzelfde vlak (BCG),
waardoor die ook verbonden mogen worden. Dit is het
rechterzijvlak, die evenwijdig is met het linkerzijvlak.
Daardoor kunnen we een lijn door P trekken die
evenwijdig is aan QS. Deze lijn snijdt EH in punt T.
Tot slot kunnen we RT verbinden, omdat deze nu in
hetzelfde vlak liggen (het bovenvlak).
De doorsnede is klaar.
6
