Bewegingsanalyse 2
H1: inleiding concepten
Vectoren in 2D en 3D
Vector: bestaat uit grootte en richting van een lijnsegment
- Kan mate van verandering van een eenheid (grootte of richting) aangeven
- Notatie:
o ⃗v =v x ⃗e x+ v y ⃗ey + vz ⃗
ez
o ⃗v =⟨ v x , v y , v z ⟩
- Grootte vector ⃗v is de lengte van de lijn van de vector, kan berekend worden:
√
o ‖⃗v‖= v 2x + v2y + v 2z
Plaatsvectoren en vectoren tussen punten
Plaatsvector: vector tussen de oorsprong O = (0,0,0) en een punt P = (px,py,pz) en wordt gedefinieerd
met behulp van de coördinaten van P:
- ⃗ OP= ⟨ x p , y p , z p ⟩
Vectoren tussen punten: willekeurig punt A = (ax,ay,az) en ander willekeurig punt B = (bx,by,bz) wordt
als volgt bepaald:
- ⃗ AB= ⟨ b x −ax , b y −a y , b z−a z ⟩
Rekenen met vectoren: som, verschil en vermenigvuldigen
⃗ ⟨ d x ,d y , d z ⟩ wordt berekend door:
- Som van vector c⃗ = ⟨ c x , c y , c z ⟩ en d=
o ⃗ ⟨ c x + d x , c y + d y , c z +d z ⟩
c⃗ + d=
- ⃗ ⟨ d x ,d y , d z ⟩ wordt berekend door:
Verschil van vector c⃗ = ⟨ c x , c y , c z ⟩ en d=
o c⃗ − ⃗ d=⟨ c x −d x , c y −d y , c z−d z ⟩
- Scalaire vermenigvuldiging: vector ⃗p wordt vermenigvuldigd met een constante k :
o k ⃗p= ⟨ kp x , kp y , kp z ⟩
o Lengte van de vector veranderd (niet de richting)
Rekenen met vectoren: inwendig product en kruisproduct
⃗ ⟨ d x ,d y , d z ⟩ en is
Inwendig product: vermenigvuldiging tussen twee vectoren c⃗ = ⟨ c x , c y , c z ⟩ en d=
een scalaire eenheid
d=c x d x +c y d y +c z d z=‖⃗c‖‖d⃗‖cos θ
- c⃗ ∙ ⃗
,Kruisproduct: vermenigvuldiging tussen twee vectoren met als uitkomst een derde vector
- Vector staat loodrecht op vlak dat gevormd wordt door eerste en tweede vector
- Richting kan bepaald worden met rechterhandregel
⃗ ⟨ c y d z−d y c z ,−c x d z +d x c z , c x d y −d x c y ⟩
- c⃗ × d=
- Grootte kruisproduct berekenen:
o ‖⃗c × ⃗ d‖=‖⃗c‖‖d⃗‖sin θ
Coördinatenstelsels
Cartertisch coördinatenstelsel: coördinaten van punten zijn loodrechte projecties van dat punt op de
overeenkomstige assen
Polar coördinatenstelsel: coördinaten van punten zijn de afstand vanaf de oorsprong en de hoek die
de lijn vanaf het punt naar de oorsprong maakt met het horizontale vlak
2D situatie:
3D situatie:
Vrijheidsgraden
Vrijheidsgraden (DoF): aantal coördinaten dat nodig is om een beweging in een of meerdere
dimensies compleet te beschrijven
Bewegingen van een puntmassa
- In het platte vlak (2D): 2 DoF
- In de ruimte (3D): 3 DoF
Bewegingen van een starlichaam
- In het platte vlak (2D): 3 DoF
- In de ruimte (3D): 6 DoF
, Als een aantal starre lichamen door een aantal gewrichten gekoppeld zijn, spreken we over een
systeem van starre lichamen. De vrijheidsgraden van zo’n systeem van nb starre lichamen gekoppeld
door een naar keuze gekozen aantal gewrichten kunnen door de volgende vergelijking worden
berekend:
- In 2D: DoFs=3∗nb −nc
- In 3D: DoFs=6∗n b−nc
nb = aantal lichamen
n c = aantal beperkingen van de koppeling gewrichten
- In 2D: n c=3∗w−f
- In 3D: n c=6∗w−f
w = aantal koppelingen gewrichten
f = som van de vrijheidsgraden van alle koppeling gewrichten
Globale en lokale assenstelsels
Globaal assenstelsel (XY): verbonden met de vaste wereld (links)
Lokaal assenstelsel (xy): verbonden met het bewegend object (rechts)
is de hoekverandering van het lokale assenstelsel in het globale assenstelsel, in het lokale
assenstelsel blijft de positie van elk punt p i op het object constant
Foutpropagatie
Stel dat grootheid z door de variabelen x,y,… is beschreven (z = f(x,y,…). Elke variabele heeft een
bekende absolute fout x, y, etc. Dit is een onnauwkeurigheid vanwege beperkingen van de
meetinstrumenten. Om de fout z te bepalen gebruiken we de foutpropagatieformule, met k
onafhankelijke variabelen:
| | | | | |
k
∂f ∂f ∂f
- Δz= Δx+ Δy +…=∑ Δw i
∂x ∂y i=1 ∂ wi
o w i is een willekeurige variabele
∂f ∂f
o , , …zijn partiële afgeleiden en | | is de absolute waarde
∂ x ∂ dy
Berekenen partiële afgeleiden:
1. Geef aan naar welke variabelen je wil differentiëren
2. Beschouw de overige variabelen als constanten
H1: inleiding concepten
Vectoren in 2D en 3D
Vector: bestaat uit grootte en richting van een lijnsegment
- Kan mate van verandering van een eenheid (grootte of richting) aangeven
- Notatie:
o ⃗v =v x ⃗e x+ v y ⃗ey + vz ⃗
ez
o ⃗v =⟨ v x , v y , v z ⟩
- Grootte vector ⃗v is de lengte van de lijn van de vector, kan berekend worden:
√
o ‖⃗v‖= v 2x + v2y + v 2z
Plaatsvectoren en vectoren tussen punten
Plaatsvector: vector tussen de oorsprong O = (0,0,0) en een punt P = (px,py,pz) en wordt gedefinieerd
met behulp van de coördinaten van P:
- ⃗ OP= ⟨ x p , y p , z p ⟩
Vectoren tussen punten: willekeurig punt A = (ax,ay,az) en ander willekeurig punt B = (bx,by,bz) wordt
als volgt bepaald:
- ⃗ AB= ⟨ b x −ax , b y −a y , b z−a z ⟩
Rekenen met vectoren: som, verschil en vermenigvuldigen
⃗ ⟨ d x ,d y , d z ⟩ wordt berekend door:
- Som van vector c⃗ = ⟨ c x , c y , c z ⟩ en d=
o ⃗ ⟨ c x + d x , c y + d y , c z +d z ⟩
c⃗ + d=
- ⃗ ⟨ d x ,d y , d z ⟩ wordt berekend door:
Verschil van vector c⃗ = ⟨ c x , c y , c z ⟩ en d=
o c⃗ − ⃗ d=⟨ c x −d x , c y −d y , c z−d z ⟩
- Scalaire vermenigvuldiging: vector ⃗p wordt vermenigvuldigd met een constante k :
o k ⃗p= ⟨ kp x , kp y , kp z ⟩
o Lengte van de vector veranderd (niet de richting)
Rekenen met vectoren: inwendig product en kruisproduct
⃗ ⟨ d x ,d y , d z ⟩ en is
Inwendig product: vermenigvuldiging tussen twee vectoren c⃗ = ⟨ c x , c y , c z ⟩ en d=
een scalaire eenheid
d=c x d x +c y d y +c z d z=‖⃗c‖‖d⃗‖cos θ
- c⃗ ∙ ⃗
,Kruisproduct: vermenigvuldiging tussen twee vectoren met als uitkomst een derde vector
- Vector staat loodrecht op vlak dat gevormd wordt door eerste en tweede vector
- Richting kan bepaald worden met rechterhandregel
⃗ ⟨ c y d z−d y c z ,−c x d z +d x c z , c x d y −d x c y ⟩
- c⃗ × d=
- Grootte kruisproduct berekenen:
o ‖⃗c × ⃗ d‖=‖⃗c‖‖d⃗‖sin θ
Coördinatenstelsels
Cartertisch coördinatenstelsel: coördinaten van punten zijn loodrechte projecties van dat punt op de
overeenkomstige assen
Polar coördinatenstelsel: coördinaten van punten zijn de afstand vanaf de oorsprong en de hoek die
de lijn vanaf het punt naar de oorsprong maakt met het horizontale vlak
2D situatie:
3D situatie:
Vrijheidsgraden
Vrijheidsgraden (DoF): aantal coördinaten dat nodig is om een beweging in een of meerdere
dimensies compleet te beschrijven
Bewegingen van een puntmassa
- In het platte vlak (2D): 2 DoF
- In de ruimte (3D): 3 DoF
Bewegingen van een starlichaam
- In het platte vlak (2D): 3 DoF
- In de ruimte (3D): 6 DoF
, Als een aantal starre lichamen door een aantal gewrichten gekoppeld zijn, spreken we over een
systeem van starre lichamen. De vrijheidsgraden van zo’n systeem van nb starre lichamen gekoppeld
door een naar keuze gekozen aantal gewrichten kunnen door de volgende vergelijking worden
berekend:
- In 2D: DoFs=3∗nb −nc
- In 3D: DoFs=6∗n b−nc
nb = aantal lichamen
n c = aantal beperkingen van de koppeling gewrichten
- In 2D: n c=3∗w−f
- In 3D: n c=6∗w−f
w = aantal koppelingen gewrichten
f = som van de vrijheidsgraden van alle koppeling gewrichten
Globale en lokale assenstelsels
Globaal assenstelsel (XY): verbonden met de vaste wereld (links)
Lokaal assenstelsel (xy): verbonden met het bewegend object (rechts)
is de hoekverandering van het lokale assenstelsel in het globale assenstelsel, in het lokale
assenstelsel blijft de positie van elk punt p i op het object constant
Foutpropagatie
Stel dat grootheid z door de variabelen x,y,… is beschreven (z = f(x,y,…). Elke variabele heeft een
bekende absolute fout x, y, etc. Dit is een onnauwkeurigheid vanwege beperkingen van de
meetinstrumenten. Om de fout z te bepalen gebruiken we de foutpropagatieformule, met k
onafhankelijke variabelen:
| | | | | |
k
∂f ∂f ∂f
- Δz= Δx+ Δy +…=∑ Δw i
∂x ∂y i=1 ∂ wi
o w i is een willekeurige variabele
∂f ∂f
o , , …zijn partiële afgeleiden en | | is de absolute waarde
∂ x ∂ dy
Berekenen partiële afgeleiden:
1. Geef aan naar welke variabelen je wil differentiëren
2. Beschouw de overige variabelen als constanten
