Een z-toets (of z-test) is een statistische toets die kijkt of een steekproefgemiddelde (het
gemiddelde uit jouw steekproef) logisch/plausibel is als je het vergelijkt met het
populatiegemiddelde (het echte gemiddelde van de hele populatie).
→ Met andere woorden: je checkt of jouw steekproef niet te ver afwijkt van wat je zou
verwachten als je het populatiegemiddelde kent.
Voorwaarden z-toets:
→ Je weet het populatiegemiddelde (µ).
→ Je weet de variantie of standaarddeviatie (σ) van de populatie.
De populatievariantie (σ²) of populatiestandaarddeviatie (σ): dit zegt hoeveel spreiding er
is rond dat populatiegemiddelde.
→ Gemiddelde = 100.
→ Sommige mensen zitten rond 95, anderen 110, sommigen 70 of 130.
→ De standaarddeviatie (σ) vertelt hoe groot die spreiding gemiddeld is.
→ Als σ = 15 → de meeste mensen zitten tussen 85 en 115 (100 ± 15).
variantie zegt iets over hoe sterk de waarden verspreid liggen rond het gemiddelden
→ variantie klein → de meeste waarden liggen dicht bij het gemiddelde.
→ variantie groot → de waarden liggen veel verder uit elkaar (Hoe hoger de variantie, hoe
minder “gelijk” de groep is.)
De z-toets wordt niet vaak gebruikt omdat meestal het populatiegemiddelde (en variantie)
juist onbekend is, daarom dat we steekproeven nemen.
! De t-verdeling wordt gebruikt zodra de standaarddeviatie in de populatie onbekend is.
→ Je gebruikt dan dus je steekproef om een schatting te maken van die standaarddeviatie.
→ Omdat je een schatting gebruikt (en dus extra onzekerheid hebt), kun je niet meer de
z-verdeling gebruiken, Daarom gebruik je de t-verdeling, die rekening houdt met deze extra
onzekerheid.
t-waarde is de uitkomst van een t-toets (t-test). Het vertelt je hoe groot het verschil is tussen
groepen of metingen, in verhouding tot de variatie in de data.
T-verdeling is anders dan Z-verdeling (normale verdeling) want:
→ De normale verdeling gebruik je als je de echte standaarddeviatie van de populatie (σ)
kent.
→ Maar meestal ken je σ (standaard deviatie) niet → je schat hem met de
steekproefstandaarddeviatie (s).
→ Die schatting is minder precies, vooral als je een kleine steekproef hebt.
→ Daardoor heeft de t-verdeling dikkere staarten: er is meer kans op extreme waarden,
omdat we extra onzekerheid hebben over de spreiding.
Wat gebeurt er als de steekproef groter wordt?
→ Hoe groter n is, hoe beter je steekproef s lijkt op de echte σ (standaard deviatie)
→ Met veel data is de schatting van de standaarddeviatie heel nauwkeurig → de extra
onzekerheid verdwijnt.
→ Daardoor wordt de t-verdeling steeds smaller in de staarten en steeds meer gelijk aan de
normale verdeling.
,Bij een één-steekproef t-toets bereken je altijd het gemiddelde uit je data.
Daardoor verlies je 1 vrijheidsgraad.
Dus: 𝑑𝑓 = 𝑛 − 1
Wat de p-waarde eigenlijk doet:
Het stelt de vraag:
→ “Als het echte gemiddelde écht 78,2 is, hoe vaak zou ik in een steekproef per toeval een
uitkomst krijgen die óók minstens 2,8 kg van 78,2 afligt (dus 81,0 of meer, of 75,4 of
minder)?”
→ Dus niet alleen 81 precies, maar elke uitkomst die minstens net zo extreem afwijkt als
81,0 dat doet.
→ Je krijgt nooit exact 78,2 terug in je steekproef (er is altijd wat variatie). De p-waarde kijkt
niet naar één getal, maar naar de kans dat je een even groot of groter verschil zou zien puur
door toeval.
→ De p-waarde vertelt je hoe waarschijnlijk jouw gevonden resultaat (of iets extremer, zoals
een verschil dat je hebt gevonden) is, als de nulhypothese (H₀) waar is.
One-sample t-test
De one-sample t-test beantwoordt de vraag: Is het verschil tussen het gemiddelde in de
steekproef en het verwachte gemiddelde (in de populatie) groter dan we op basis van kans
zouden verwachten?
→ Je hebt een steekproefgemiddelde (bijv. van 30 studenten) en je wilt weten: Is dit
gemiddelde echt anders dan een bepaald verwacht populatiegemiddelde (µ₀), of kan het
gewoon toeval zijn?
→ vb:
→ Het populatiegemiddelde IQ is 100.
→ Jij neemt een steekproef van 25 studenten en vindt een gemiddelde
van 108.
→ Vraag: Is 108 echt hoger dan 100, of zou dit verschil (108–100 = 8
punten) gewoon door toeval kunnen ontstaan?
Gepaarde t-toets / Paired (dependent) sample t-toets
De gepaarde t-toets wordt gebruikt als je steekproeven niet onafhankelijk zijn, bijvoorbeeld
omdat je dezelfde persoon twee keer meet (voor- en nameting, twee koffiemerken
laat beoordelen) of omdat je broers en zussen met elkaar vergelijkt (kinderen uit een
gezin).
→ Je wilt weten: Is het gevonden verschil in mijn steekproef gewoon toeval, of is het
groot genoeg dat we mogen aannemen dat het verschil ook echt in de hele populatie
bestaat
→ DUS: Een gepaarde t-toets kijkt of het gemiddelde verschil tussen twee afhankelijke
metingen (bijv. voor-na) groter is dan je op basis van toeval zou verwachten.
T-toets voor onafhankelijke steekproeven / Two-sample t-test / Independent samples
t-test
→ vraag: Is het verschil dat we zien tussen de twee groepen gewoon toeval, of laat het zien
dat er in de hele populatie echt een verschil bestaat
→ Je hebt twee groepen die onafhankelijk van elkaar zijn (bijv. mannen vs. vrouwen, groep
A vs. groep B).
,→ Je vergelijkt hun gemiddelden en vraagt: Is het verschil dat ik zie gewoon toeval, of is het
groot genoeg dat het ook in de populatie waarschijnlijk bestaat?
→ het test of het verschil in gemiddelden significant is.
2 belangrijke punten:
1. Onafhankelijkheid (De groepen mogen elkaar niet beïnvloeden.)
→ Voorbeeld: als iemand in groep A zit, kan die persoon niet ook in groep B zitten.
2. Gelijke varianties (spreiding)
→ Een aanname bij de t-toets is dat de spreiding in beide groepen ongeveer hetzelfde is.
→ Spreiding = hoe ver de waarden binnen een groep uit elkaar liggen.
Met Sp berekenen met deze formule →
Sp is het zelfde als sdx1-x2
Bij homogene varianties gebruik je de gepoolde variantie” (pooled variance) — dat is een
soort gemiddelde van de twee spreidingen.
Als de spreiding in de twee groepen (heterogene varianties) niet gelijk is, dan gebruik je de
Welch’s t-test (onderstaande formule)
Vrijheidsgraden bereken je hier met:
Levene’s test (check van die aanname)
→ SPSS doet automatisch de Levene’s test om te kijken of de varianties gelijk zijn
→ Nulhypothese (H₀): de varianties in beide groepen zijn gelijk in de populatie.
→ Uitkomst = p-waarde:
→ p > 0,05 → H₀ niet verwerpen → varianties kun je als gelijk aannemen → gebruik in
SPSS de regel “equal variances assumed”.
→ p < 0,05 → H₀ verwerpen → varianties ongelijk → gebruik in SPSS de regel “equal
variances not assumed”.
, Hoorcollege 1: Introductie
Observationeel onderzoek: je bestuurt of observeert bepaalde kenmerken van mensen in
een populatie in hun natuurlijke setting. Je doet dus helemaal niks!
Verschillende onderzoekdesigns:
- transversaal (of cross-sectioneel)
→ heeft voordelen het is heel snel, je voert het op 1 moment uit waardoor het efficiënt
en relatief goedkoop is.
→ transversaal onderzoek wordt het vaakst gebruikt op prevalentie te bepalen
→ Ongeschikt voor oorzaak gevolg omdat je niet weet wat er vooraf ging. Je weet
niet of armoede vooraf ging van hiv of at hiv vooraf ging van armoede.
- Prospectief cohortonderzoek (groep mensen met 1 gemeenschappelijk kenmerk)
→ Heel belangrijk is hier dat je alleen participanten selecteert die de uitkomsten niet
hebben. Je wilt kijken wat het risico is om bepaalde uitkomst hebben. Als bepaalde
mensen de uitkomst al hebben heeft het geen zin meer.
→ voordeel heel goed oorzaak-gevolg zien & je hebt weinig selectieproblemen (dat
komt omdat niemand de uitkomst nog heeft)
→ Nadeel: duurt heel lang om uit te voeren & het is heel duur & gevoelig voor
selectieve uitval
- case-control onderzoek: selecteert cases en daarbij controles onderzocht. Je zoekt
bv longpatiënten bij longpoli in het ziekenhuis. Je hebt ze dan al in je onderzoek, je
kan hier al heel snel de mensen vinden die je nodig hebt voor je onderzoek
- → je vraagt aan de cases in de tijd terug
Recall bias: afhankelijk van herinnering. Dit kan een probleem zijn bij een onderzoek omdat
mensen zich soms beter voor doen. (zeggen bv dat ze maar 2 shotjes namen ipv 10)
gemiddelde uit jouw steekproef) logisch/plausibel is als je het vergelijkt met het
populatiegemiddelde (het echte gemiddelde van de hele populatie).
→ Met andere woorden: je checkt of jouw steekproef niet te ver afwijkt van wat je zou
verwachten als je het populatiegemiddelde kent.
Voorwaarden z-toets:
→ Je weet het populatiegemiddelde (µ).
→ Je weet de variantie of standaarddeviatie (σ) van de populatie.
De populatievariantie (σ²) of populatiestandaarddeviatie (σ): dit zegt hoeveel spreiding er
is rond dat populatiegemiddelde.
→ Gemiddelde = 100.
→ Sommige mensen zitten rond 95, anderen 110, sommigen 70 of 130.
→ De standaarddeviatie (σ) vertelt hoe groot die spreiding gemiddeld is.
→ Als σ = 15 → de meeste mensen zitten tussen 85 en 115 (100 ± 15).
variantie zegt iets over hoe sterk de waarden verspreid liggen rond het gemiddelden
→ variantie klein → de meeste waarden liggen dicht bij het gemiddelde.
→ variantie groot → de waarden liggen veel verder uit elkaar (Hoe hoger de variantie, hoe
minder “gelijk” de groep is.)
De z-toets wordt niet vaak gebruikt omdat meestal het populatiegemiddelde (en variantie)
juist onbekend is, daarom dat we steekproeven nemen.
! De t-verdeling wordt gebruikt zodra de standaarddeviatie in de populatie onbekend is.
→ Je gebruikt dan dus je steekproef om een schatting te maken van die standaarddeviatie.
→ Omdat je een schatting gebruikt (en dus extra onzekerheid hebt), kun je niet meer de
z-verdeling gebruiken, Daarom gebruik je de t-verdeling, die rekening houdt met deze extra
onzekerheid.
t-waarde is de uitkomst van een t-toets (t-test). Het vertelt je hoe groot het verschil is tussen
groepen of metingen, in verhouding tot de variatie in de data.
T-verdeling is anders dan Z-verdeling (normale verdeling) want:
→ De normale verdeling gebruik je als je de echte standaarddeviatie van de populatie (σ)
kent.
→ Maar meestal ken je σ (standaard deviatie) niet → je schat hem met de
steekproefstandaarddeviatie (s).
→ Die schatting is minder precies, vooral als je een kleine steekproef hebt.
→ Daardoor heeft de t-verdeling dikkere staarten: er is meer kans op extreme waarden,
omdat we extra onzekerheid hebben over de spreiding.
Wat gebeurt er als de steekproef groter wordt?
→ Hoe groter n is, hoe beter je steekproef s lijkt op de echte σ (standaard deviatie)
→ Met veel data is de schatting van de standaarddeviatie heel nauwkeurig → de extra
onzekerheid verdwijnt.
→ Daardoor wordt de t-verdeling steeds smaller in de staarten en steeds meer gelijk aan de
normale verdeling.
,Bij een één-steekproef t-toets bereken je altijd het gemiddelde uit je data.
Daardoor verlies je 1 vrijheidsgraad.
Dus: 𝑑𝑓 = 𝑛 − 1
Wat de p-waarde eigenlijk doet:
Het stelt de vraag:
→ “Als het echte gemiddelde écht 78,2 is, hoe vaak zou ik in een steekproef per toeval een
uitkomst krijgen die óók minstens 2,8 kg van 78,2 afligt (dus 81,0 of meer, of 75,4 of
minder)?”
→ Dus niet alleen 81 precies, maar elke uitkomst die minstens net zo extreem afwijkt als
81,0 dat doet.
→ Je krijgt nooit exact 78,2 terug in je steekproef (er is altijd wat variatie). De p-waarde kijkt
niet naar één getal, maar naar de kans dat je een even groot of groter verschil zou zien puur
door toeval.
→ De p-waarde vertelt je hoe waarschijnlijk jouw gevonden resultaat (of iets extremer, zoals
een verschil dat je hebt gevonden) is, als de nulhypothese (H₀) waar is.
One-sample t-test
De one-sample t-test beantwoordt de vraag: Is het verschil tussen het gemiddelde in de
steekproef en het verwachte gemiddelde (in de populatie) groter dan we op basis van kans
zouden verwachten?
→ Je hebt een steekproefgemiddelde (bijv. van 30 studenten) en je wilt weten: Is dit
gemiddelde echt anders dan een bepaald verwacht populatiegemiddelde (µ₀), of kan het
gewoon toeval zijn?
→ vb:
→ Het populatiegemiddelde IQ is 100.
→ Jij neemt een steekproef van 25 studenten en vindt een gemiddelde
van 108.
→ Vraag: Is 108 echt hoger dan 100, of zou dit verschil (108–100 = 8
punten) gewoon door toeval kunnen ontstaan?
Gepaarde t-toets / Paired (dependent) sample t-toets
De gepaarde t-toets wordt gebruikt als je steekproeven niet onafhankelijk zijn, bijvoorbeeld
omdat je dezelfde persoon twee keer meet (voor- en nameting, twee koffiemerken
laat beoordelen) of omdat je broers en zussen met elkaar vergelijkt (kinderen uit een
gezin).
→ Je wilt weten: Is het gevonden verschil in mijn steekproef gewoon toeval, of is het
groot genoeg dat we mogen aannemen dat het verschil ook echt in de hele populatie
bestaat
→ DUS: Een gepaarde t-toets kijkt of het gemiddelde verschil tussen twee afhankelijke
metingen (bijv. voor-na) groter is dan je op basis van toeval zou verwachten.
T-toets voor onafhankelijke steekproeven / Two-sample t-test / Independent samples
t-test
→ vraag: Is het verschil dat we zien tussen de twee groepen gewoon toeval, of laat het zien
dat er in de hele populatie echt een verschil bestaat
→ Je hebt twee groepen die onafhankelijk van elkaar zijn (bijv. mannen vs. vrouwen, groep
A vs. groep B).
,→ Je vergelijkt hun gemiddelden en vraagt: Is het verschil dat ik zie gewoon toeval, of is het
groot genoeg dat het ook in de populatie waarschijnlijk bestaat?
→ het test of het verschil in gemiddelden significant is.
2 belangrijke punten:
1. Onafhankelijkheid (De groepen mogen elkaar niet beïnvloeden.)
→ Voorbeeld: als iemand in groep A zit, kan die persoon niet ook in groep B zitten.
2. Gelijke varianties (spreiding)
→ Een aanname bij de t-toets is dat de spreiding in beide groepen ongeveer hetzelfde is.
→ Spreiding = hoe ver de waarden binnen een groep uit elkaar liggen.
Met Sp berekenen met deze formule →
Sp is het zelfde als sdx1-x2
Bij homogene varianties gebruik je de gepoolde variantie” (pooled variance) — dat is een
soort gemiddelde van de twee spreidingen.
Als de spreiding in de twee groepen (heterogene varianties) niet gelijk is, dan gebruik je de
Welch’s t-test (onderstaande formule)
Vrijheidsgraden bereken je hier met:
Levene’s test (check van die aanname)
→ SPSS doet automatisch de Levene’s test om te kijken of de varianties gelijk zijn
→ Nulhypothese (H₀): de varianties in beide groepen zijn gelijk in de populatie.
→ Uitkomst = p-waarde:
→ p > 0,05 → H₀ niet verwerpen → varianties kun je als gelijk aannemen → gebruik in
SPSS de regel “equal variances assumed”.
→ p < 0,05 → H₀ verwerpen → varianties ongelijk → gebruik in SPSS de regel “equal
variances not assumed”.
, Hoorcollege 1: Introductie
Observationeel onderzoek: je bestuurt of observeert bepaalde kenmerken van mensen in
een populatie in hun natuurlijke setting. Je doet dus helemaal niks!
Verschillende onderzoekdesigns:
- transversaal (of cross-sectioneel)
→ heeft voordelen het is heel snel, je voert het op 1 moment uit waardoor het efficiënt
en relatief goedkoop is.
→ transversaal onderzoek wordt het vaakst gebruikt op prevalentie te bepalen
→ Ongeschikt voor oorzaak gevolg omdat je niet weet wat er vooraf ging. Je weet
niet of armoede vooraf ging van hiv of at hiv vooraf ging van armoede.
- Prospectief cohortonderzoek (groep mensen met 1 gemeenschappelijk kenmerk)
→ Heel belangrijk is hier dat je alleen participanten selecteert die de uitkomsten niet
hebben. Je wilt kijken wat het risico is om bepaalde uitkomst hebben. Als bepaalde
mensen de uitkomst al hebben heeft het geen zin meer.
→ voordeel heel goed oorzaak-gevolg zien & je hebt weinig selectieproblemen (dat
komt omdat niemand de uitkomst nog heeft)
→ Nadeel: duurt heel lang om uit te voeren & het is heel duur & gevoelig voor
selectieve uitval
- case-control onderzoek: selecteert cases en daarbij controles onderzocht. Je zoekt
bv longpatiënten bij longpoli in het ziekenhuis. Je hebt ze dan al in je onderzoek, je
kan hier al heel snel de mensen vinden die je nodig hebt voor je onderzoek
- → je vraagt aan de cases in de tijd terug
Recall bias: afhankelijk van herinnering. Dit kan een probleem zijn bij een onderzoek omdat
mensen zich soms beter voor doen. (zeggen bv dat ze maar 2 shotjes namen ipv 10)
