Zusammenfassung Lernzettel Elementare Funktionen und Wirtschaftsmathematik

Elementare Funktionen
1) BEGRIFF DER FUNKTION
→ EINDEUTIGKEIT

nigrunaeagen =
-spezielle Form einer Zuordnungsvorschrift
↳ jedem Element ×x einer Ausgangsmenge ¥ wird
genau ein Element " . einer Zielmenge .
zugeordnet
-kann auf bestimmtes Intervall beschränkt sein
"" "" y
= unabhängige Veränderliche/ unabhängige Variable
„÷ '

¥.
=abhängige Veränderliche/ abhängige Variable
(waagerechte Achse) = Abszisse
(senkrechte Achse) = Ordinate

REGELFALL: Urbildmenge und Wertebereich sind die reellen Zahlen oder Teilmengen davon (Intervalle)




E:
Funktionale Zusammenhänge sind deterministisch, d.h. einem x wird immer derselbe Funktionswert f(x) zugeordnet.
Statistische Zusammenhänge sind nicht deterministisch, d.h. zufallsabhängig können verschiedene Werte zugeordnet werden



1) Tabellarisch: Alle möglichen Wertepaare (x, y) werden einzeln angegeben
-bei einfach gestrickten Funktionen
-unbrauchbar für Praxis
2)Analytisch: Darstellung der Funktion als mathematischer Ausdruck (Berechnungsvorschrift)
3)Graphisch: Funktionskurve in zweidimensionalem Koordinatensystem


→ Einteilung des Koordinatenbereichs in 4 Quadranten




0
Ökonomische Funktionen sind oft nur im
ersten Quadranten sinnvoll definiert (z.B.
Kostenfunktionen) oder im ersten und vierten
Quadranten (z.B. Gewinnfunktion: negativer
Gewinn= Verlust

, „ Beschränktheit obere

Nach oben beschränkt: reelle Konstante
¥

|
Nach unten beschränkt: reelle Konstante .

Nach oben UND unten beschränkte Funktion= beschränkt (z.B. Sinuskurve)
Unterschied zwischen mathematisch sinnvollem und ökonomisch
.


g. sinnvollem Definitions- und Wertebereich EY

Symmetrie
Achsensymmetrie: f(-x)=f(x) → gerade Punktsymmetrie: f(-x)=-f(x) → ungerade
Graph geht durch Spiegelung an der y-Achse in sich Graph geht durch Spiegelung am Koordinatenursprung in sich
selbst über selbst über




"
FEE .
:* :



ftp.flxkyo = „Limes/Grenzwert von f für x gegen x gleich y “
° °




O
Nähern sich die Werte x der unabhängigen Variable dem Wert x , so nähern sich die Werte f(x) der abhängigen Variable
dem Wert y . Man sagt auch: Konvergiert x gegen x , so konvergiert f(x) gegen y . Dies gilt unabhängig davon, wie sich
die x-Werte an x annähern.

Rechtsseitige oder Linksseitige Konvergenz= spezielle Konvergenz
(x-Werte streben nur von einer Seite gegen x ) 0




Rechtsseitiger Grenzwert: öflxk EIGEN Linksseitiger Grenzwert: ¥3 öftxk
>
FH)
XLXO



Stetigkeit
„Stetig im Punkt x “, wenn die Funktion dort ohne abzusetzen durchgezeichnet werden kann →
° ¥5.EC#-fCXo)

Wichtig
-Funktion muss im Punkt x definiert und der Eine Funktion heißt stetig, wenn sie in jedem
Funktionswert dort endlich sein -
• < f- (Xo) Punkt des Definitionsbereiches stetig ist und
-Grenzwert hängt nicht davon ab, wie sich x dieser Definitionsbereich keine Lücken aufweist
der Stelle xo annähert

, Verhalten
1.6
Asymptotisches
Asymptoten= Einfache Funktionen, zumeist Geraden, denen sich eine gegebene Funktion annähert
Asymptotik durch Geraden
1) Hat die Funktion eine Polstelle, bildet die senkrecht durch die Definitionslücke verlaufende Gerade eine senkrechte Asymptote
2) Nähert sich die Funktion für einem festen Wert, gilt also HEIKEL oder Fake , so
ist die horizontal durch den Wert c verlaufende Gerade eine waagrechte Asymptote
3) Nähert sich die Funktion für einer Geradengleichung des Typs y=m.x+b, so ist dies eine gerade Asymptote
mit beschränkter Steigung ungleich Null




.vn
Extremste
*

Lokales Maximum an Stelle x , wenn es eine Umgebung U von x gibt, sodass für alle x=x in U gilt: f(x)<f(x )
i:
Lokales Minimum an Stelle x , wenn es eine Umgebung U von x :gibt, sodass für alle x=x in U gilt: f(x)>f(x ) :
(Lokal= in einem bestimmten Bereich)

"



Nur bei Unstetigkeit können Maxima
nebeneinander liegen




Globale Extrema und Randextrema einer Funktion

globales
lokales Maximim
Maximum




lokales globales
Rand- Minimum Minimum
minimum