Forme quadratique
jeudi 20 octobre 2022 08:30
E, un espace euclidien
f, opérateur symétrique
Base orthonormées
X --> q(x) = x . f(x)
Ecriture matricielle : XTAX
XTAX=
=
=
Or A=AT
aij = aji
XTAX =
Une forme quadratique est un polynôme de degré 2 par rapport à ses variables x1,x2, …, xn
Réduction de la forme quadratique :
q(x) = XTAX or X=PX'
T
q(x)= (PX') A(PX')
= X'TPTAPX'
=X'TP-1APX'
q(x) = X'TA'X' et A' diagonale
A' est diagonale donc
Aij=0 si i≠j
q(x) =
Xi =PX' =P-1X =PTX
• q(x) est dite positive ssi les valeurs propres de A vérifient λi (supérieur ou égal) 0 pour tout i
q(x) est décomposable en une somme d'au plus n carres !
• q(x) est dite définie positive si q(x) >0 ==> n carrés !
Mathématique pour l'ingénieur Page 1
jeudi 20 octobre 2022 08:30
E, un espace euclidien
f, opérateur symétrique
Base orthonormées
X --> q(x) = x . f(x)
Ecriture matricielle : XTAX
XTAX=
=
=
Or A=AT
aij = aji
XTAX =
Une forme quadratique est un polynôme de degré 2 par rapport à ses variables x1,x2, …, xn
Réduction de la forme quadratique :
q(x) = XTAX or X=PX'
T
q(x)= (PX') A(PX')
= X'TPTAPX'
=X'TP-1APX'
q(x) = X'TA'X' et A' diagonale
A' est diagonale donc
Aij=0 si i≠j
q(x) =
Xi =PX' =P-1X =PTX
• q(x) est dite positive ssi les valeurs propres de A vérifient λi (supérieur ou égal) 0 pour tout i
q(x) est décomposable en une somme d'au plus n carres !
• q(x) est dite définie positive si q(x) >0 ==> n carrés !
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