Summary Quantum Field Theory - Lecture Notes (2025) - Complete Theoretical Framework and Derivations

Quantum Field Theory: Notes
Mike Keizer
September 2024




1

,Contents
1 Introduction 5

2 Conventions 7
2.1 Gamma Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 QFT-Formalism 9
3.1 Classical Field Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Klein-Gordon Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 Second-Quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Green’s Functions 14
4.1 2-point Correlator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.2 Green’s Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 The Feynman Prescription . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.4 Feynman Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Time Evolution Pictures 21
5.1 The Schrödinger Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Time Evolution Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.3 The Heisenberg Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.4 The Interaction Picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Correlators 26
6.1 Correlators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.2 Wick’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
6.3 Zero-Point Energy of Interacting Vaccuum . . . . . . . . . . . 32

7 Feynman Diagrams 34
7.1 Non-Interacting Field Feynman Diagram . . . . . . . . . . . . 34
7.2 Vacuum Feynman Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.3 Interacting Fields Feynman Diagram . . . . . . . . . . . . . . 36
7.4 Connected Diagrams . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.5 Interaction Vacuum Feynman Diagram . . . . . . . . . . . . . 40
7.6 The Feynman Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41




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,8 Decay 42
8.1 S-matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
8.2 LSZ Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8.3 Fermi’s Golden Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

9 Path Integrals 51
9.1 Derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9.2 Computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9.3 Perturbation Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9.4 Analogy QFT and Statistical Mechanics . . . . . . . . . . . . 57
9.5 Path Integral in d-dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

10 QFT in Higher Dimensions 60
10.1 d-Dimensional Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
10.2 d-Dimensional Second Quantization . . . . . . . . . . . . . . . 62
10.3 d-Dimensional Propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

11 Observables 67
11.1 Fermi’s Golden Rule Revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
11.2 Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
11.3 Two-Body Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

12 Particle Exchange 76
12.1 The Optical Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
12.2 Intermezzo: Revisiting Feynman Diagrams . . . . . . . . . . . 79
12.3 Yukawa Theory (Real Fields) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
12.4 Yukawa Theory (Complex Fields) . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12.5 Mandelstam Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

13 Symmetries 87
13.1 Universality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
13.2 Noether’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
13.3 Ward Identities (IN MAINTENANCE!) . . . . . . . . . . . . . 90

14 The Lorentz Group 92
14.1 Group Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
14.2 Lorentz Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
14.3 The Lorentz Group . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
14.4 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3

, 14.5 Weyl Spinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
14.6 Manipulating Spinor Indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

15 Dirac Equation 103
15.1 Parity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
15.2 Lagrangians for Spinor Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
15.3 The Dirac Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
15.4 The Dirac Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
15.5 The Quantized Dirac Field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
15.6 Back to the Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117




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