Hoofdstuk 1: Inverse dynamica
Kinematica: beschrijving van beweging (positie, snelheid) + geometrie
Kinetica: oorzaken van beweging (krachten, momenten, Newton)
Energetica: relatie tussen arbeid en kinetische energie, en andere vormen van energie (chemisch, warmte)
Voorwaartse dynamica: krachten opgeven, beweging uitrekenen; wat gaat er gebeuren in de toekomst (gegeven
‘input’ krachten); bekend kinetica en onbekend kinematica
Inverse dynamica: beweging meten, krachten uitrekenen; wat gebeurt er nu in termen van kracht?; bekend
kinematica en berekenen kinetica. Berekenen van spierkrachten en gewrichtskrachten uit gemeten beweging
Bij een gemeten beweging zijn de hoek, hoeksnelheid en hoekversnelling bekend maar ook de positie, snelheid en
versnelling van het massamiddelpunt
Stappen:
1. Kiezen van een innertiaal (newtoniaans) assenstelsel: een assenstelsel dat gebonden is aan het
oppervlak van de aarde (stilstaat) of met constante snelheid beweegt tov oppervlak. Uit dit assenstelsel
blijkt dat de wetten van Newton waar blijken.
2. Bepalen van een rigid body (‘niet’ vervormbaar) of non-rigid body (vervormbaar). Het lichaam is een
aaneenschakeling van rigid bodies.
3. Freebody: schets van het mechanisch systeem, met alle externe krachten erin getekend, die (kunnen)
werken vanuit de omgeving op het lichaam. Doorloop de randen van je vrij lichaam om zeker te weten
dat je geen contactpunten mist. Als er een contactpunt is, is er ook een kracht.
Kinematica: Gemiddelde snelheid & versnelling
Zie dat v integraal wordt geschreven als r en je deelt door de tijd. Dus vgemiddeld is afgeleide van r, hier is dat
verandering van r gedeeld door de tijdsverandering (T). Eigenlijk staat er dus delta r / delta T
Kinematica: relatieve beweging
‘Moment’ van een kracht
Het moment van een kracht veroorzaakt een verandering van angulaire massabeweging.
De vector M is het uitwendig product van een armvector van het draaipunt naar een punt op de werklijn van de
kracht, met de krachtvector.
De grootte is de loodrechte afstand van de werklijn naar het draaipunt, maal de grootte van de krachtvector.
De richting is loodrecht op het vlak opgespannen door de armvector en de krachtvector
een vector van het draaipunt d naar een willekeurig punt p op de werklijn van de
krachtvector dus vandaar vector p - vector d
,Translatoire bewegingsvergelijking
Translatoire bewegingsvergelijking gaat over translatoire massabeweging: in een rechte lijn, niet cirkelbeweging.
➔ Het lineair momentum of impuls van een (punt)massa is gelijk aan de massa maal de snelheid van het
massamiddelpunt
< eenheid kg*m/s >
➔ Totale lineaire momentum van een lichaam dat uit meerdere puntmassa’s bestaat gelijk is aan de som
van de lineaire momenta van elke puntmassa
> impulsvergelijking <
➔ De tijdsintegraal van de som van alle krachten, de krachtstoot, op een (punt)massa, is gelijk aan de
verandering van het lineair momentum van dat lichaam ten opzichte van draaipunt O:
➔ Bovenstaande vergelijking differentiëren naar de tijd geeft: som van de krachten (afgeleide van integraal
van de krachtensom) is gelijk aan de afgeleide van de impuls is de massa (is een constante, dus
afgeleide is hetzelfde) maal de versnelling (want dat is afgeleide van de snelheid) van het
massamiddelpunt. Dus de som van de krachten is gelijk aan de snelheid van verandering van het lineair
momentum (a=delta v/delta t = verandering van de snelheid binnen een bepaalde tijd) voor een
(punt)massa
> instantane translatoire bewegingsvergelijking < | < afgeleide impulsvergelijking >
➢ De instatoire translatoire bewegingsvergelijking is de afgeleide van de impulsvergelijking en geeft de
krachtenvergelijking weer bij een translatiebeweging
Newton’s wetten specifiek voor lineair momentum (translatoire beweging)
Som van de krachten is gelijk aan de afgeleide van het lineair momentum (afgeleide van p is m*a)
1e wet van Newton: Als de som van alle externe krachten 0 is, verandert het lineair momentum niet
(massatraagheid).
2e wet van Newton: De som van alle externe krachten is gelijk aan de snelheid van de verandering van het lineair
momentum, met andere woorden: de som is gelijk aan tijdsafgeleide van het lineair momentum (m*a, vandaar 2e
wet)
Rotatoire bewegingsvergelijking
HET ANGULAIR MOMENTUM 1 PUNTMASSA
Rotatoire bewegingsvergelijking gaat over rotatoire massabeweging: draaiing, rotering in een cirkel.
➔ Het angulair momentum of impulsmoment van een puntmassa ten opzichte van een draaipunt, is gelijk
aan het ‘moment van het lineair momentum of impuls’ van een puntmassa. Dit is gelijk aan het
uitwendig product van de armvector van het draaipunt naar het massamiddelpunt en het lineair
momentum/impuls.
,loodrechte afstand draaipunt naar lijn die passeert door snelheidsvector * grootte van lineair momentumvector*
eenheidsvector die het papier uitgaat, z-richting)
De richting is loodrecht op het vlak opgespannen door de armvector en de snelheidsvector
➔ Zodra er maar één kracht op werkt is het angulair momentum of impulsmoment ook gelijk aan het
integraal van armvector maal deze ene kracht
van integraal naar niet integraal, dus afgeleide van F en
die is p (zie hierboven bij translatoir)
➔ Bovenstaande vergelijking differentiëren naar de tijd geeft: het moment van een kracht gelijk is het
moment van de massa maal de versnelling (want ipv r*F is het r*m*a) voor een puntmassa. Hier ook
weer uitwendig product
matlab notatie: r*dot(m,a)
➔ De tijdsintegraal van de som van momenten ten opzichte van draaipunt O van een puntmassa, de
momentstoot, op een vrijlichaam, is gelijk aan de verandering van het angulair momentum, ⃗ H/O, van
dat lichaam ten opzichte van draaipunt O:
ANGULAIR MOMENTUM VAN MEERDERE PUNTMASSA’S
Onderstaande is 1 puntmassa: is het draaipunt een random punt, nog niet het massamiddelpunt
➔ Als een vrijlichaam bestaat uit meerdere (punt)massa’s tellen de angulair momenta op
< impulsmomentvergelijking >
ANGULAIR MOMENTUM VAN EEN AANTAL PUNTMASSA’S VERBONDEN IN EEN RIGID BODY TEN OPZICHTE
VAN HET MASSAMIDDELPUNT VAN HET RIGID BODY (= punt dat meebeweegt met rigid body)
in een rigid body (onvervormbaar) veranderen de onderlinge afstanden tussen punten niet en maakt elk punt ten
opzichte van het massamiddelpunt eenzelfde cirkelbeweging (rotatie met vaste straal r).
➔ Voor cirkelbewegingen geldt dat de snelheidsvector gelijk is aan het uitwendig product van de
hoeksnelheid ω van het freebody (vector alleen in z-richting) met de armvector
➔ Zodra we bovenstaande vergelijking voor de snelheidsvector invullen in de impulsmomentvergelijking
(voor het impuls) met het massamiddelpunt als draaipunt. Krijgen we het tijdsintegraal van de som
momenten ten opzichte van het massamiddelpunt dat gelijk is aan de delta
massa*armvector*hoeksnelheid, is gelijk aan verandering van het traagheidsmoment. De scalaire term
Σmiri/c^2 herkennen we als het traagheidsmoment J/c.
< vorm impulsmomentvergelijking >
➔ Bovenstaande vergelijking kunnen we dan weer gaan differentiëren naar de tijd (afgeleide van de
impulsmomentvergelijking). Dit levert: som van alle momenten is gelijk aan het
traagheidsmoment*hoekversnelling van het rigid body
< instantane rotatoire bewegingsvergelijking > | < afgeleide impulsmomentvergelijking > J/c
is namelijk een constante en de afgeleide van hoeksnelheid is hoekversnelling
➢ De instatoire rotatoire bewegingsvergelijking is de afgeleide van de impulsmomentvergelijking en geeft
de momentvergelijking weer bij een rotatiebeweging
HET ANGULAIR MOMENTUM VAN EEN RIGID BODY TEN OPZICHTE VAN EEN VAST PUNT O (punt dat NIET
meebeweegt met het rigid body)
, Het angulair momentum van een rigid body ten opzichte van een punt O is gelijk aan het angulair momentum
ten opzichte van het eigen massamiddelpunt plus het angulair momentum ten opzichte van punt O.
Het angulair momentum van lichaam t.o.v punt O is gelijk aan angulair moment t.o.v van c plus momentum van
het lineair momentum
Er geldt:
➔ of
Deze vergelijking kan gedifferentieerd worden naar de tijd, omdat J/c constant is voor een rigide lichaam in 2D:
➔
Het is nu ook mogelijk om het angulair momentum van lichamen te definiëren die bestaan uit meerdere rigide
lichamen keten van segmenten ten opzichte van een punt O, of ten opzichte van het eigen massamiddelpunt
➔ Som van alle angulaire momenta van elk deellichaam ten opzichte van O
Rotatoire versie van impulsvergelijking: impulsmomentvergelijking
Impulsvergelijking: integraal van de kracht = verandering van lineair moment/impuls
Impulsmomentvergelijking: integraal van het moment van kracht = verandering van impulsmoment
impulsmomentvergelijking: tijdsintegraal van de momentensom = verandering van impulsmoment
Stellingen
We beschouwen de beweging van een puntmassa m in een inertiaal assenstelsel xOy. Het angulair momentum
van m is altijd uitgedrukt ten opzichte van de oorsprong van dit assenstelsel.
1) Als de som van krachten op m gelijk is aan nul, zal het angulair momentum van m t.o.v. O constant zijn.
WAAR, 1e wet van Newton zegt dat als krachtensom 0 is, het lineair momentum niet verandert. De r (van formule
angulair momentum r*p) is de loodrechte afstand van een lijn naar een draaipunt en zal dan ook nooit
veranderen, omdat het lineair momentum constant is wat betekent dat de snelheid ook niet verandert. Dus
stelling is waar.
2) Als het angulair momentum van m t.o.v. O constant is, dan is het lineair momentum van m ook constant.
Kinematica: beschrijving van beweging (positie, snelheid) + geometrie
Kinetica: oorzaken van beweging (krachten, momenten, Newton)
Energetica: relatie tussen arbeid en kinetische energie, en andere vormen van energie (chemisch, warmte)
Voorwaartse dynamica: krachten opgeven, beweging uitrekenen; wat gaat er gebeuren in de toekomst (gegeven
‘input’ krachten); bekend kinetica en onbekend kinematica
Inverse dynamica: beweging meten, krachten uitrekenen; wat gebeurt er nu in termen van kracht?; bekend
kinematica en berekenen kinetica. Berekenen van spierkrachten en gewrichtskrachten uit gemeten beweging
Bij een gemeten beweging zijn de hoek, hoeksnelheid en hoekversnelling bekend maar ook de positie, snelheid en
versnelling van het massamiddelpunt
Stappen:
1. Kiezen van een innertiaal (newtoniaans) assenstelsel: een assenstelsel dat gebonden is aan het
oppervlak van de aarde (stilstaat) of met constante snelheid beweegt tov oppervlak. Uit dit assenstelsel
blijkt dat de wetten van Newton waar blijken.
2. Bepalen van een rigid body (‘niet’ vervormbaar) of non-rigid body (vervormbaar). Het lichaam is een
aaneenschakeling van rigid bodies.
3. Freebody: schets van het mechanisch systeem, met alle externe krachten erin getekend, die (kunnen)
werken vanuit de omgeving op het lichaam. Doorloop de randen van je vrij lichaam om zeker te weten
dat je geen contactpunten mist. Als er een contactpunt is, is er ook een kracht.
Kinematica: Gemiddelde snelheid & versnelling
Zie dat v integraal wordt geschreven als r en je deelt door de tijd. Dus vgemiddeld is afgeleide van r, hier is dat
verandering van r gedeeld door de tijdsverandering (T). Eigenlijk staat er dus delta r / delta T
Kinematica: relatieve beweging
‘Moment’ van een kracht
Het moment van een kracht veroorzaakt een verandering van angulaire massabeweging.
De vector M is het uitwendig product van een armvector van het draaipunt naar een punt op de werklijn van de
kracht, met de krachtvector.
De grootte is de loodrechte afstand van de werklijn naar het draaipunt, maal de grootte van de krachtvector.
De richting is loodrecht op het vlak opgespannen door de armvector en de krachtvector
een vector van het draaipunt d naar een willekeurig punt p op de werklijn van de
krachtvector dus vandaar vector p - vector d
,Translatoire bewegingsvergelijking
Translatoire bewegingsvergelijking gaat over translatoire massabeweging: in een rechte lijn, niet cirkelbeweging.
➔ Het lineair momentum of impuls van een (punt)massa is gelijk aan de massa maal de snelheid van het
massamiddelpunt
< eenheid kg*m/s >
➔ Totale lineaire momentum van een lichaam dat uit meerdere puntmassa’s bestaat gelijk is aan de som
van de lineaire momenta van elke puntmassa
> impulsvergelijking <
➔ De tijdsintegraal van de som van alle krachten, de krachtstoot, op een (punt)massa, is gelijk aan de
verandering van het lineair momentum van dat lichaam ten opzichte van draaipunt O:
➔ Bovenstaande vergelijking differentiëren naar de tijd geeft: som van de krachten (afgeleide van integraal
van de krachtensom) is gelijk aan de afgeleide van de impuls is de massa (is een constante, dus
afgeleide is hetzelfde) maal de versnelling (want dat is afgeleide van de snelheid) van het
massamiddelpunt. Dus de som van de krachten is gelijk aan de snelheid van verandering van het lineair
momentum (a=delta v/delta t = verandering van de snelheid binnen een bepaalde tijd) voor een
(punt)massa
> instantane translatoire bewegingsvergelijking < | < afgeleide impulsvergelijking >
➢ De instatoire translatoire bewegingsvergelijking is de afgeleide van de impulsvergelijking en geeft de
krachtenvergelijking weer bij een translatiebeweging
Newton’s wetten specifiek voor lineair momentum (translatoire beweging)
Som van de krachten is gelijk aan de afgeleide van het lineair momentum (afgeleide van p is m*a)
1e wet van Newton: Als de som van alle externe krachten 0 is, verandert het lineair momentum niet
(massatraagheid).
2e wet van Newton: De som van alle externe krachten is gelijk aan de snelheid van de verandering van het lineair
momentum, met andere woorden: de som is gelijk aan tijdsafgeleide van het lineair momentum (m*a, vandaar 2e
wet)
Rotatoire bewegingsvergelijking
HET ANGULAIR MOMENTUM 1 PUNTMASSA
Rotatoire bewegingsvergelijking gaat over rotatoire massabeweging: draaiing, rotering in een cirkel.
➔ Het angulair momentum of impulsmoment van een puntmassa ten opzichte van een draaipunt, is gelijk
aan het ‘moment van het lineair momentum of impuls’ van een puntmassa. Dit is gelijk aan het
uitwendig product van de armvector van het draaipunt naar het massamiddelpunt en het lineair
momentum/impuls.
,loodrechte afstand draaipunt naar lijn die passeert door snelheidsvector * grootte van lineair momentumvector*
eenheidsvector die het papier uitgaat, z-richting)
De richting is loodrecht op het vlak opgespannen door de armvector en de snelheidsvector
➔ Zodra er maar één kracht op werkt is het angulair momentum of impulsmoment ook gelijk aan het
integraal van armvector maal deze ene kracht
van integraal naar niet integraal, dus afgeleide van F en
die is p (zie hierboven bij translatoir)
➔ Bovenstaande vergelijking differentiëren naar de tijd geeft: het moment van een kracht gelijk is het
moment van de massa maal de versnelling (want ipv r*F is het r*m*a) voor een puntmassa. Hier ook
weer uitwendig product
matlab notatie: r*dot(m,a)
➔ De tijdsintegraal van de som van momenten ten opzichte van draaipunt O van een puntmassa, de
momentstoot, op een vrijlichaam, is gelijk aan de verandering van het angulair momentum, ⃗ H/O, van
dat lichaam ten opzichte van draaipunt O:
ANGULAIR MOMENTUM VAN MEERDERE PUNTMASSA’S
Onderstaande is 1 puntmassa: is het draaipunt een random punt, nog niet het massamiddelpunt
➔ Als een vrijlichaam bestaat uit meerdere (punt)massa’s tellen de angulair momenta op
< impulsmomentvergelijking >
ANGULAIR MOMENTUM VAN EEN AANTAL PUNTMASSA’S VERBONDEN IN EEN RIGID BODY TEN OPZICHTE
VAN HET MASSAMIDDELPUNT VAN HET RIGID BODY (= punt dat meebeweegt met rigid body)
in een rigid body (onvervormbaar) veranderen de onderlinge afstanden tussen punten niet en maakt elk punt ten
opzichte van het massamiddelpunt eenzelfde cirkelbeweging (rotatie met vaste straal r).
➔ Voor cirkelbewegingen geldt dat de snelheidsvector gelijk is aan het uitwendig product van de
hoeksnelheid ω van het freebody (vector alleen in z-richting) met de armvector
➔ Zodra we bovenstaande vergelijking voor de snelheidsvector invullen in de impulsmomentvergelijking
(voor het impuls) met het massamiddelpunt als draaipunt. Krijgen we het tijdsintegraal van de som
momenten ten opzichte van het massamiddelpunt dat gelijk is aan de delta
massa*armvector*hoeksnelheid, is gelijk aan verandering van het traagheidsmoment. De scalaire term
Σmiri/c^2 herkennen we als het traagheidsmoment J/c.
< vorm impulsmomentvergelijking >
➔ Bovenstaande vergelijking kunnen we dan weer gaan differentiëren naar de tijd (afgeleide van de
impulsmomentvergelijking). Dit levert: som van alle momenten is gelijk aan het
traagheidsmoment*hoekversnelling van het rigid body
< instantane rotatoire bewegingsvergelijking > | < afgeleide impulsmomentvergelijking > J/c
is namelijk een constante en de afgeleide van hoeksnelheid is hoekversnelling
➢ De instatoire rotatoire bewegingsvergelijking is de afgeleide van de impulsmomentvergelijking en geeft
de momentvergelijking weer bij een rotatiebeweging
HET ANGULAIR MOMENTUM VAN EEN RIGID BODY TEN OPZICHTE VAN EEN VAST PUNT O (punt dat NIET
meebeweegt met het rigid body)
, Het angulair momentum van een rigid body ten opzichte van een punt O is gelijk aan het angulair momentum
ten opzichte van het eigen massamiddelpunt plus het angulair momentum ten opzichte van punt O.
Het angulair momentum van lichaam t.o.v punt O is gelijk aan angulair moment t.o.v van c plus momentum van
het lineair momentum
Er geldt:
➔ of
Deze vergelijking kan gedifferentieerd worden naar de tijd, omdat J/c constant is voor een rigide lichaam in 2D:
➔
Het is nu ook mogelijk om het angulair momentum van lichamen te definiëren die bestaan uit meerdere rigide
lichamen keten van segmenten ten opzichte van een punt O, of ten opzichte van het eigen massamiddelpunt
➔ Som van alle angulaire momenta van elk deellichaam ten opzichte van O
Rotatoire versie van impulsvergelijking: impulsmomentvergelijking
Impulsvergelijking: integraal van de kracht = verandering van lineair moment/impuls
Impulsmomentvergelijking: integraal van het moment van kracht = verandering van impulsmoment
impulsmomentvergelijking: tijdsintegraal van de momentensom = verandering van impulsmoment
Stellingen
We beschouwen de beweging van een puntmassa m in een inertiaal assenstelsel xOy. Het angulair momentum
van m is altijd uitgedrukt ten opzichte van de oorsprong van dit assenstelsel.
1) Als de som van krachten op m gelijk is aan nul, zal het angulair momentum van m t.o.v. O constant zijn.
WAAR, 1e wet van Newton zegt dat als krachtensom 0 is, het lineair momentum niet verandert. De r (van formule
angulair momentum r*p) is de loodrechte afstand van een lijn naar een draaipunt en zal dan ook nooit
veranderen, omdat het lineair momentum constant is wat betekent dat de snelheid ook niet verandert. Dus
stelling is waar.
2) Als het angulair momentum van m t.o.v. O constant is, dan is het lineair momentum van m ook constant.
