Samenvatting Verzamelingenleer
Inhoud
Deel 1: Verzamelingen............................................................................................................................2
4. Verzamelingen................................................................................................................................2
5. Vorming van verzamelingen...........................................................................................................2
Mogelijke tentamenvragen............................................................................................................2
6. Deelverzameling en gelijkheid van verzamelingen.........................................................................3
7. Machtsverzamelingen.....................................................................................................................3
Mogelijke tentamenvraag...............................................................................................................3
8. Verzamelingenalgebra en venndiagrammen..................................................................................4
9. Bewijzen.........................................................................................................................................5
9.1 Twee hulpstellingen..................................................................................................................5
9.2 Het bewijs van een implicatie...................................................................................................5
9.3 Het bewijs van een equivalentie...............................................................................................6
10. Relaties.........................................................................................................................................7
11. Reflexieve, symmetrische en transitieve relaties..........................................................................7
12. Equivalentierelatie........................................................................................................................8
13. Functies........................................................................................................................................9
13.1 Functies...................................................................................................................................9
13.2 Injectief, surjectief en bijectief.............................................................................................10
Deel 2: Oneindig...................................................................................................................................11
14. De paradox van Russell...............................................................................................................11
15. Gelijkmachtigheid en oneindig...................................................................................................11
16. Het Hilbert Hotel.........................................................................................................................12
17. Een definitie van oneindige verzamelingen................................................................................12
18. Aftelbaar en overaftelbaar..........................................................................................................12
1
, Deel 1: Verzamelingen
4. Verzamelingen
Verzameling
1. Notatie : x ∈ A
Uitspraak x is een element van
2. Notatie : x ∉ A
Uitspraak x is geen element van
5. Vorming van verzamelingen
Verzameling vormen door opsomming
1. Met behulp van accolades worden alle elementen opgenoemd tot één geheel.
Elementen mogen hierbij vaker in één opsomming genoemd worden.
N= { 0 ,1 , 2 ,3 , … }
A={ 0 , 1, 1 ,1 , 2 ,2 , 3 , … }
Basisverzamelingen
1. ∅ : Lege verzameling
2. N : Natuurlijke getallen
3. Z : Gehele getallen
4. Q : Rationale getallen
5. R : Reële getallen
6. C : Complexe getallen
Verzameling vormen vanuit door selectie
1. { x ∈ A|eigenschap(x )}
x ∈ A Verzameling
Eigenschap (x) eigenschap van een
verzameling
Verzamelingen vormen vanuit een bewerking
1. { f ( x )| x ∈ A }
Aaneengesloten verzameling in ℝ: Intervallen
1. Gesloten interval:
[ a , b ]= { x ∈ R| a≤ x ≤ b }
2. Open interval:
¿ a , b> ¿ { x ∈ R|a < x< b }
3. Halfopen of halfgesloten interval:
¿
¿ a , b ¿={ x ∈ R|a< x ≤ b }
4. Intervallen zonder begin- en eindpunt hebben altijd een ∞ binnen de haakjes
5. Singleton: verzameling met één element
6. Doubleton: verzameling met twee elementen
7. Tripleton: verzameling met drie elementen
8. Etc.
Mogelijke tentamenvragen
Laat zien dat deze stelling klopt: { a ∈ Z|∃b ∈ N : a+2 b<3 }
o Om dit op te lossen moet je voor alle a één b zien te vinden
Schrijf deze bewerking op als een selectie: Voorbeeld {2 x∨xϵ N }
2
Inhoud
Deel 1: Verzamelingen............................................................................................................................2
4. Verzamelingen................................................................................................................................2
5. Vorming van verzamelingen...........................................................................................................2
Mogelijke tentamenvragen............................................................................................................2
6. Deelverzameling en gelijkheid van verzamelingen.........................................................................3
7. Machtsverzamelingen.....................................................................................................................3
Mogelijke tentamenvraag...............................................................................................................3
8. Verzamelingenalgebra en venndiagrammen..................................................................................4
9. Bewijzen.........................................................................................................................................5
9.1 Twee hulpstellingen..................................................................................................................5
9.2 Het bewijs van een implicatie...................................................................................................5
9.3 Het bewijs van een equivalentie...............................................................................................6
10. Relaties.........................................................................................................................................7
11. Reflexieve, symmetrische en transitieve relaties..........................................................................7
12. Equivalentierelatie........................................................................................................................8
13. Functies........................................................................................................................................9
13.1 Functies...................................................................................................................................9
13.2 Injectief, surjectief en bijectief.............................................................................................10
Deel 2: Oneindig...................................................................................................................................11
14. De paradox van Russell...............................................................................................................11
15. Gelijkmachtigheid en oneindig...................................................................................................11
16. Het Hilbert Hotel.........................................................................................................................12
17. Een definitie van oneindige verzamelingen................................................................................12
18. Aftelbaar en overaftelbaar..........................................................................................................12
1
, Deel 1: Verzamelingen
4. Verzamelingen
Verzameling
1. Notatie : x ∈ A
Uitspraak x is een element van
2. Notatie : x ∉ A
Uitspraak x is geen element van
5. Vorming van verzamelingen
Verzameling vormen door opsomming
1. Met behulp van accolades worden alle elementen opgenoemd tot één geheel.
Elementen mogen hierbij vaker in één opsomming genoemd worden.
N= { 0 ,1 , 2 ,3 , … }
A={ 0 , 1, 1 ,1 , 2 ,2 , 3 , … }
Basisverzamelingen
1. ∅ : Lege verzameling
2. N : Natuurlijke getallen
3. Z : Gehele getallen
4. Q : Rationale getallen
5. R : Reële getallen
6. C : Complexe getallen
Verzameling vormen vanuit door selectie
1. { x ∈ A|eigenschap(x )}
x ∈ A Verzameling
Eigenschap (x) eigenschap van een
verzameling
Verzamelingen vormen vanuit een bewerking
1. { f ( x )| x ∈ A }
Aaneengesloten verzameling in ℝ: Intervallen
1. Gesloten interval:
[ a , b ]= { x ∈ R| a≤ x ≤ b }
2. Open interval:
¿ a , b> ¿ { x ∈ R|a < x< b }
3. Halfopen of halfgesloten interval:
¿
¿ a , b ¿={ x ∈ R|a< x ≤ b }
4. Intervallen zonder begin- en eindpunt hebben altijd een ∞ binnen de haakjes
5. Singleton: verzameling met één element
6. Doubleton: verzameling met twee elementen
7. Tripleton: verzameling met drie elementen
8. Etc.
Mogelijke tentamenvragen
Laat zien dat deze stelling klopt: { a ∈ Z|∃b ∈ N : a+2 b<3 }
o Om dit op te lossen moet je voor alle a één b zien te vinden
Schrijf deze bewerking op als een selectie: Voorbeeld {2 x∨xϵ N }
2
