Wiskunde
Hoofdstuk 1: getallenkennis
1.1 functies van getallen
oefeningen in boek: G1,2, 3 P.11-13
Getallen vervullen afhankelijk van de context een verschillende functie waardoor
je ze anders moet interpreteren. Je gebruikt getallen om een hoeveelheid, een
rangorde, een code en een verhouding aan te duiden.
Getal als hoeveelheid
Het getal zegt hoeveel voorwerpen, dingen, mensen, … er zijn. Je gebruikt het
om een aantal van iets weer te geven.
Het aanduiden van een hoeveelheid noem je ook kardinatie. De gebruikte
getallen noem je dan kardinale getallen.
Getallen als rangorde
Het getal duid een bepaalde logische volgorde aan. Dat kan een volgorde zijn in
de ruimte of in de tijd. Hierbij moet ook duidelijk zijn waar de nummering begint
en in welke richting het verdergaat.
Dat benoem je met het begrip: ordinatie. Het ordeningsaspect duid je aan met
ordinale getallen: rangtelwoorden. Zoals 1ste, 2de, …
Getallen als code
Het getal drukt een unieke combinatie uit waarbij de cijfers los te begrijpen zijn
en als kenteken of label enkel betekenis hebben voor iedereen die weet wat de
code inhoudt. Een code bestaat uit cijfers maar kan ook uit letters bestaan of een
combinatie van beide.
Getal als verhouding
Het getal kan een verhouding uitdrukken: het ene deel verhoudt zich tot het
geheel. Dat geheel kun je op verschillende manieren uitdrukken: als breuk of als
procent.
1 op de 4 (of anders genoteerd ¼ van de) minderjarigen is te zwaar.
Het getal drukt geen absolute hoeveelheid uit en die is in deze gevallen ook niet
interessant. Wellicht zullen er bij 100 kinderen niet exact 25 te zwaar zijn, maar
gebruik je dat om een beeld te schetsen in de situatie. Om de exacte hoeveelheid
te bepalen heb je dus meer informatie nodig.
De waarde van het getal is ook afhankelijk van de gebruikte eenheid.
Wanneer het getal een verhouding uitdrukt tussen de te meten hoeveelheid en
de gebruikte eenheid, zoals bij 15 meter, 500 gram, 7 minuten, … dan spreek je
van een maatgetal. De gebruikte eenheid heet de maateenheid: cm, m, km, g,
kg, ton, ml, dl, l, u, min, …
Een getal als maatgetal is dus een speciaal geval van een getal als verhouding.
1.2 Talstelsels
Oefeningen in boek: G1,2,3 P.11-13 en G9 P.27-28
Wiskunde wijs 1
,Een Talstelsel (ook getallenstelsel of getallensysteem) is een wiskundig systeem
om getallen voor te stellen.
Er zijn 2 grote soorten getallensystemen:
- de additieve systemen
- positiesystemen.
Bij een zuiver additief systeem (komt van ‘addere’, Latijn voor ‘toevoegen’, maar
ook te herkennen in het Engels ‘to add’) bepaal je het getal door de waarden van
de symbolen op te tellen. De plaats van de symbolen speelt geen rol, ook de
onderlinge grootte niet. De gekozen symbolen stellen vaak machten van 10 voor
die zoveel keer als nodig herhaald worden.
- Het Egyptisch talstelsel waarbij hoeveelheden in hiërogliefde werden
genoteerd.
- De romeinse cijfers vormen ook een additief systeem maar er gelden nog
bijkomende regels.
Bij een positioneel stelsel, positiesysteem of positiestelsel bepaalt de plaats (de
positie) van een symbool (een teken of een cijfer) de waarde ervan. Elk
positiestelsel baseert zich op een hoeveelheid die ons zegt per hoeveelheid die
ons zegt per hoeveelheid er gegroepeerd wordt. Dit getal heet ‘het grondgetal’ of
‘de basis’ van het talstelsel.
In principe kun je onbeperkt talstelsels met een grondtal naar keuze opbouwen.
De rekenregels zijn voor alle positiesysteem gelijk. Enkel het grondgetal verschilt.
- De Babylonische symbolen (ongeveer 3 000 v. Chr., Mesopotamië) zijn de
oudst bekende symbolen om getallen voor te stellen. Meer nog, het door hen
gebruikte getallensysteem met grondtal 60 is het eerste bekende
positiesysteem dankzij de veel bewaarde kleitabletten met voornamelijk
numerieke informatie in spijkerschrift.
- De
- Maya’s (bloeiperiode 300 v. Chr. tot 900 n. Chr.) gebruikten een
getallensysteem dat gebaseerd was op grondgetal 20. Ze gebruikten slechts
3 symbolen waarmee ze alle getallen konden voorstellen; een schelpachtig
symbool (voor de Maya’s was het ‘nulbegrip, het niets’ heel belangrijk) voor
0, een bolletje voor 1 en een streep om 5 bolletjes te vervangen.
Het tiendelig talstelsel
Ons getallensysteem is gebaseerd op de tien-structuur. Het tientallige of
decimale stelsel is wereldwijd in gebruik. Decimaal komt uit het Latijnse ‘decima’,
wat tiende deel betekent. In dit talstelsel werk je met grondgetal 10, wat
betekent dat we per 10 groeperen.
Wiskunde wijs 2
, We gebruiken 10 Arabisch-Indische cijfers: 0-1-2-3-4-5-6-7-8 en 9, waarmee je
oneindig veel getallen kunt vormen.
M HD TD D H T E t h d
duizendste
honderdtal
duizendtal
duizendtal
duizendtal
honderste
Miljoental
Honderd-
eenheid
tiental
tiende
Tien-
Het romeins talstelsel
Het romeinse talstelsel is een voorbeeld van een hoofdzakelijk additief systeem.
Maar zij voerden een subtractief (van het Latijn ‘subtrahere’, wat ‘aftrekken’
betekent) element in.
Symbolen:
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1 000
Regels:
1. De symbolen I, X, C en M komen hoogstens 3 keer na elkaar voor. De andere
symbolen V, L, D komen nooit meerdere keren na elkaar.
MMMDCCCLXXXVIII = 3 888
2. Komt een symbool met een hogere waarde voor een symbool met een lagere
waarde, dan tel je de getalwaarde van de symbolen bij elkaar.
MDCLVI = 1000 + 500 + 100 + 50 + 5 + 1 = 1 656
3. Komt een symbool met een lagere waarde voor een symbool met een hogere
waarde, dan trek je het symbool met de lagere waarde af van het symbool
met de hogere waarde.
CM = 900 (want 1 000 – 100 = 900)
1.3 Getalverzamelingen
Oefeningen in boek: G1,2,3 P.11-13
Natuurlijke getallen (symbool ℕ)
Natuurlijke getallen zijn getallen waarmee je hoeveelheden aanduidt die er
effectief zijn, die heel ‘natuur’-lijk zijn. Bij uitbreiding is ook nul een natuurlijk
getal, hoewel die er niet echt ‘is’.
Wiskunde wijs 3
Hoofdstuk 1: getallenkennis
1.1 functies van getallen
oefeningen in boek: G1,2, 3 P.11-13
Getallen vervullen afhankelijk van de context een verschillende functie waardoor
je ze anders moet interpreteren. Je gebruikt getallen om een hoeveelheid, een
rangorde, een code en een verhouding aan te duiden.
Getal als hoeveelheid
Het getal zegt hoeveel voorwerpen, dingen, mensen, … er zijn. Je gebruikt het
om een aantal van iets weer te geven.
Het aanduiden van een hoeveelheid noem je ook kardinatie. De gebruikte
getallen noem je dan kardinale getallen.
Getallen als rangorde
Het getal duid een bepaalde logische volgorde aan. Dat kan een volgorde zijn in
de ruimte of in de tijd. Hierbij moet ook duidelijk zijn waar de nummering begint
en in welke richting het verdergaat.
Dat benoem je met het begrip: ordinatie. Het ordeningsaspect duid je aan met
ordinale getallen: rangtelwoorden. Zoals 1ste, 2de, …
Getallen als code
Het getal drukt een unieke combinatie uit waarbij de cijfers los te begrijpen zijn
en als kenteken of label enkel betekenis hebben voor iedereen die weet wat de
code inhoudt. Een code bestaat uit cijfers maar kan ook uit letters bestaan of een
combinatie van beide.
Getal als verhouding
Het getal kan een verhouding uitdrukken: het ene deel verhoudt zich tot het
geheel. Dat geheel kun je op verschillende manieren uitdrukken: als breuk of als
procent.
1 op de 4 (of anders genoteerd ¼ van de) minderjarigen is te zwaar.
Het getal drukt geen absolute hoeveelheid uit en die is in deze gevallen ook niet
interessant. Wellicht zullen er bij 100 kinderen niet exact 25 te zwaar zijn, maar
gebruik je dat om een beeld te schetsen in de situatie. Om de exacte hoeveelheid
te bepalen heb je dus meer informatie nodig.
De waarde van het getal is ook afhankelijk van de gebruikte eenheid.
Wanneer het getal een verhouding uitdrukt tussen de te meten hoeveelheid en
de gebruikte eenheid, zoals bij 15 meter, 500 gram, 7 minuten, … dan spreek je
van een maatgetal. De gebruikte eenheid heet de maateenheid: cm, m, km, g,
kg, ton, ml, dl, l, u, min, …
Een getal als maatgetal is dus een speciaal geval van een getal als verhouding.
1.2 Talstelsels
Oefeningen in boek: G1,2,3 P.11-13 en G9 P.27-28
Wiskunde wijs 1
,Een Talstelsel (ook getallenstelsel of getallensysteem) is een wiskundig systeem
om getallen voor te stellen.
Er zijn 2 grote soorten getallensystemen:
- de additieve systemen
- positiesystemen.
Bij een zuiver additief systeem (komt van ‘addere’, Latijn voor ‘toevoegen’, maar
ook te herkennen in het Engels ‘to add’) bepaal je het getal door de waarden van
de symbolen op te tellen. De plaats van de symbolen speelt geen rol, ook de
onderlinge grootte niet. De gekozen symbolen stellen vaak machten van 10 voor
die zoveel keer als nodig herhaald worden.
- Het Egyptisch talstelsel waarbij hoeveelheden in hiërogliefde werden
genoteerd.
- De romeinse cijfers vormen ook een additief systeem maar er gelden nog
bijkomende regels.
Bij een positioneel stelsel, positiesysteem of positiestelsel bepaalt de plaats (de
positie) van een symbool (een teken of een cijfer) de waarde ervan. Elk
positiestelsel baseert zich op een hoeveelheid die ons zegt per hoeveelheid die
ons zegt per hoeveelheid er gegroepeerd wordt. Dit getal heet ‘het grondgetal’ of
‘de basis’ van het talstelsel.
In principe kun je onbeperkt talstelsels met een grondtal naar keuze opbouwen.
De rekenregels zijn voor alle positiesysteem gelijk. Enkel het grondgetal verschilt.
- De Babylonische symbolen (ongeveer 3 000 v. Chr., Mesopotamië) zijn de
oudst bekende symbolen om getallen voor te stellen. Meer nog, het door hen
gebruikte getallensysteem met grondtal 60 is het eerste bekende
positiesysteem dankzij de veel bewaarde kleitabletten met voornamelijk
numerieke informatie in spijkerschrift.
- De
- Maya’s (bloeiperiode 300 v. Chr. tot 900 n. Chr.) gebruikten een
getallensysteem dat gebaseerd was op grondgetal 20. Ze gebruikten slechts
3 symbolen waarmee ze alle getallen konden voorstellen; een schelpachtig
symbool (voor de Maya’s was het ‘nulbegrip, het niets’ heel belangrijk) voor
0, een bolletje voor 1 en een streep om 5 bolletjes te vervangen.
Het tiendelig talstelsel
Ons getallensysteem is gebaseerd op de tien-structuur. Het tientallige of
decimale stelsel is wereldwijd in gebruik. Decimaal komt uit het Latijnse ‘decima’,
wat tiende deel betekent. In dit talstelsel werk je met grondgetal 10, wat
betekent dat we per 10 groeperen.
Wiskunde wijs 2
, We gebruiken 10 Arabisch-Indische cijfers: 0-1-2-3-4-5-6-7-8 en 9, waarmee je
oneindig veel getallen kunt vormen.
M HD TD D H T E t h d
duizendste
honderdtal
duizendtal
duizendtal
duizendtal
honderste
Miljoental
Honderd-
eenheid
tiental
tiende
Tien-
Het romeins talstelsel
Het romeinse talstelsel is een voorbeeld van een hoofdzakelijk additief systeem.
Maar zij voerden een subtractief (van het Latijn ‘subtrahere’, wat ‘aftrekken’
betekent) element in.
Symbolen:
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1 000
Regels:
1. De symbolen I, X, C en M komen hoogstens 3 keer na elkaar voor. De andere
symbolen V, L, D komen nooit meerdere keren na elkaar.
MMMDCCCLXXXVIII = 3 888
2. Komt een symbool met een hogere waarde voor een symbool met een lagere
waarde, dan tel je de getalwaarde van de symbolen bij elkaar.
MDCLVI = 1000 + 500 + 100 + 50 + 5 + 1 = 1 656
3. Komt een symbool met een lagere waarde voor een symbool met een hogere
waarde, dan trek je het symbool met de lagere waarde af van het symbool
met de hogere waarde.
CM = 900 (want 1 000 – 100 = 900)
1.3 Getalverzamelingen
Oefeningen in boek: G1,2,3 P.11-13
Natuurlijke getallen (symbool ℕ)
Natuurlijke getallen zijn getallen waarmee je hoeveelheden aanduidt die er
effectief zijn, die heel ‘natuur’-lijk zijn. Bij uitbreiding is ook nul een natuurlijk
getal, hoewel die er niet echt ‘is’.
Wiskunde wijs 3
