Samenvatting Inleiding Logica Deeltentamen 1

Hoofdstuk 2
In de wiskunde is een verzameling simpelweg een of andere collectie van dingen. De dingen die
samen in een verzameling zitten heten de leden of elementen van die verzameling. De elementen
van een verzameling A hoeven niets met elkaar gemeen te hebben (behalve dan het feit dat ze
samen in A zitten). Die elementen mogen zelf ook verzamelingen zijn. Verzamelingen geef je als
volgt weer:

A = {3, Johannes Paulus II,Parijs}

We kunnen verzamelingen op verschillende manieren definiëren. Wanneer het gaat om eindige
verzamelingen (dat wil zeggen om verzamelingen waarvan je de leden kunt opsommen, zo dat
die opsomming op een gegeven moment afgelopen is), dan kun je gewoon alle elementen
noemen. Zoals in het voorbeeld hierboven. Dit heet: definitie door opsomming.

We kunnen verzamelingen ook invoeren door middel van omschrijving. Deze methode werkt
ook voor oneindige verzamelingen. Voorbeeld:

B = {x | x is een natuurlijk getal en x is even}.

We voeren nu de volgende notatie in:
• a ∈ B “a is een element van B.”
• a ∉ B “a is geen element van B.”
• A ⊆ B “A is bevat in B”; “A is een deelverzameling van B” (dit wil zeggen: elk element van A is
een element van B).
• A ⊈ B “A is niet bevat in B”; “A is geen deelverzameling van B” (dit wil zeggen: niet elk element
van A is een element van B).
• A ⊂ B “A is echt bevat in B”; “A is een echte deelverzameling van B” (dit wil zeggen: elk element
van A is een element van B en niet elk element van B is een element van A).
• A ⊄ B “A is niet echt bevat in B”; “A is geen echte deelverzameling van B.”

Om het denken over verzamelingen te vergemakkelijken is het nuttig om plaatjes te tekenen.
Een verzameling A geven we als volgt aan met behulp van een cirkel:

A

De punten die binnen de cirkel liggen zijn de elementen van A. Wanneer A een eindige
verzameling is, kunnen we de afzonderlijke elementen in de cirkel tekenen:

A

Het gegeven dat A ⊆ B kan nu in het volgende plaatje worden uitgedrukt:
A
B

Als A = B dan is het buitengebied leeg, als A ⊂ B dan bevat het buitengebied een of meer
elementen.

Verzamelingen die precies één element hebben worden atomaire verzamelingen of singletons
genoemd.

Dat twee verzamelingen A en B aan elkaar gelijk zijn, kunnen we als volgt uitdrukken: A = B. Dat
twee verzamelingen A en B niet aan elkaar gelijk zijn drukken we als volgt uit: A ≠ B

, Als twee verzamelingen aan elkaar gelijk zijn dan hebben ze dezelfde elementen. Met andere
woorden: als A = B geldt voor iedere x: als x ∈ A dan x ∈ B en als x ∈ B dan x ∈ A. Nog anders
gezegd: als A = B dan geldt A ⊆ B en B ⊆ A. A = B desda A en B dezelfde elementen hebben.

Axioma: Verzamelingen zijn ongeordend, dus het maakt niet uit in welke volgorde de elementen
staan.
• {a, b} = {b, a}
• {a, b, c} = {b, c, a}.
• {a, a} = {a}.

Een verzameling met 0 elementen heet een lege verzameling. De lege verzameling wordt vaak
aangeduid als ∅. Soms wordt ook wel de notatie {} gebruikt, maar wij houden het op ∅.

Vereniging: De vereniging van A en B = de verzameling van alle elementen uit A plus alle
elementen uit B. We noteren de vereniging van A en B als A ∪ B. A ∪ B is het gearceerde gebied:




Verenigen heeft een aantal elementaire eigenschappen:
• A ∪ A = A (deze eigenschap heet idempotentie)
• A ∪ B = B ∪ A (deze eigenschap heet commutativiteit)
• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (deze eigenschap heet associativiteit)

Doorsnede: De doorsnede of doorsnijding van twee verzamelingen A en B = de verzameling van
de dingen die zowel element van A als van B zijn, de overeenkomende elementen. De
doorsnijding van A en B wordt aangegeven als: A ∩ B. Dan is het gearceerde gebied de
verzameling A ∩ B:




Net als ‘verenigen’ heeft ‘doorsnijden’ de volgende eigenschappen:
• A ∩ A = A (idempotentie)
• A ∩ B = B ∩ A (commutativiteit)
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativiteit).

Verschil: Het verschil van A en B = de verzameling van alle elementen van A die niet in B zitten.
Notatie voor het verschil van A en B: A − B. A − B is nu het gearceerde gedeelte:




Wanneer A een deelverzameling is van E noemen we het verschil van E en A ook wel: het
complement van A ten opzichte van E. Het gearceerde gedeelte in het plaatje is het complement
van A ten opzichte van E. De notatie voor het complement van A wordt nu: Ac of A’.