Examen de Recuperación. Análisis, Probabilidad y Álgebra. Matemáticas II. Curso 2023/24
EXAMEN DE RECUPERACIÓN. SEGUNDA EVALUACIÓN.
ANÁLISIS PROBABILIDAD ÁLGEBRA
Curso 2023/24 28/02/2024
MATERIA
MATEMÁTICAS II
INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN
No se permite el uso de calculadoras con capacidad de representación gráfica.
PUNTUACIÓN: La calificación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo. Sólo se puntuarán
los ejercicios debidamente justificados.
Ejercicio 1.-. Calificación máxima: 2 puntos
a) (1 punto) Hallar el área del recinto limitado por la curva y = x 3 − x 2 − 12x y el eje X .
2
1
b) (1 punto) Calcular
0 1+ e x
dx . (Sugerencia: cambio de variable t = e x ).
Ejercicio 2.-. Calificación máxima: 2 puntos
Dada la función f ( x ) = ln ( 2x + 1) , se pide:
a) (1,25 puntos) Estudiar su dominio así como sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
1
b) (0,75 puntos) Hallar la ecuación de la recta tangente a f ( x ) en el punto de abscisa x = .
2
Ejercicio 3.- Calificación máxima: 2 puntos
1 3 1
Dada la matriz A = a 0 8 , se pide:
−1 a −6
a) (1 punto) Estudiar la existencia de A− 1 en función del parámetro a .
b) (1 punto) Para a = 3 calcular A− 1 .
Ejercicio 4.- Calificación máxima: 2 puntos
Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P ( A ) = 0,6 , P ( A / B ) = 0,4 y
( )
P A / B = 0,8 , siendo B el suceso complementario del suceso B .
a) (1 punto) Calcular P ( B ) .
b) (0,5 puntos) Indicar si A y B son independientes.
c) (0,5 puntos) Calcular P A B .( )
Ejercicio 5.- Calificación máxima: 2 puntos
Se supone que el tiempo de vida útil, medido en miles de horas (Mh), de cierto modelo de
televisor se puede aproximar mediante una variable aleatoria con distribución normal de media
20 Mh y desviación típica 0,5 Mh.
a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que un televisor tenga una vida útil que esté entre 19,4 y
20,3 Mh.
b) (1 punto) Un televisor ha sufrido algún fallo de producción si tiene una vida útil inferior a un
cierto valor llamado “umbral de tolerancia”. ¿Cuál es el umbral de tolerancia si sabemos que sólo
un 3% de los televisores sufren algún fallo de producción?
Departamento de Matemáticas. IES Joan Miró. San Sebastián de los Reyes.
, Examen de Recuperación. Análisis, Probabilidad y Álgebra. Matemáticas II. Curso 2023/24
SOLUCIONES 2E1RANAPROBALG23/24
Ejercicio 1.-. Calificación máxima: 2 puntos
a) (1 punto) Hallar el área del recinto limitado por la curva y = x 3 − x 2 − 12x y el eje X .
2
1
b) (1 punto) Calcular
0 1+ e x
dx . (Sugerencia: cambio de variable t = e x ).
Solución
a) Puntos de corte con el eje de abscisas.
x =0(1)
y = 0 x 3 − x 2 − 12x = 0 x ( x 2 − x − 12 ) = 0 x ( x − 4 )( x + 3 ) = 0 x = 4 (0,25 puntos)
x = −3
1 1 + 48 1 7 4
(1) x − x − 12 = 0 x = = =
2
2 2 −3
Área del recinto.
0 0
0
x4 x3 4
x4 x3
A = ( x − x − 12x ) dx + ( x − x − 12x ) dx = − − 6 x 2 + − − 6 x 2 =
3 2 3 2
−3 0 4 3 −3 4 3 −3
81 64 99 160 937 2
= ( 0 ) − + 9 − 54 + 64 − − 96 − (0 ) = + = u (0,75 puntos)
4 3 4 3 12
b) Cambio de variable.
1 x 2
(1) Cambio de variable: t = e x dt = e dx dt = dx (0,25 puntos)
2 t
Cálculo de la integral indefinida.
(1) ( 2)
1 1 2 2 −2 2
1+ ex
dx =
Cambio de dt =
1+ t t (1 + t ) t
=
Integración 1 + t + t dt =
var iable racional
( ) ( ) ( )
(1) 2
= − 2ln ( 1 + t ) + 2lnt = − 2ln 1 + e x + 2ln e x = − 2ln 1 + e x + ln ex =
(
= − 2 ln 1 + e x + x + K . ) (0,5 puntos)
2 A B ( 3) 2 −2 2
(2) Integración racional: (1 + t ) t
dt = + dt =
1+ t t
= +
(1 + t ) t 1 + t t
A B A t + B (1 + t ) 2 si t = 0 B=2
(3) + = = A t + B (1 + t ) = 2
1+ t t (1 + t ) t (1 + t ) t si t = − 1 A = −2
Cálculo de la integral definida.
( )
2 2
dx = − 2ln 1 + e x + x = ( − 2ln (1 + e ) + 2 ) − ( − 2ln 2 ) = 2 (1 + ln 2 − ln (1 + e ) )
1
0 1 + ex 0
0,7598 . (0,25 puntos)
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No se permite el uso de calculadoras con capacidad de representación gráfica.
PUNTUACIÓN: La calificación máxima de cada ejercicio se indica en el encabezamiento del mismo. Sólo se puntuarán
los ejercicios debidamente justificados.
Ejercicio 1.-. Calificación máxima: 2 puntos
a) (1 punto) Hallar el área del recinto limitado por la curva y = x 3 − x 2 − 12x y el eje X .
2
1
b) (1 punto) Calcular
0 1+ e x
dx . (Sugerencia: cambio de variable t = e x ).
Ejercicio 2.-. Calificación máxima: 2 puntos
Dada la función f ( x ) = ln ( 2x + 1) , se pide:
a) (1,25 puntos) Estudiar su dominio así como sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
1
b) (0,75 puntos) Hallar la ecuación de la recta tangente a f ( x ) en el punto de abscisa x = .
2
Ejercicio 3.- Calificación máxima: 2 puntos
1 3 1
Dada la matriz A = a 0 8 , se pide:
−1 a −6
a) (1 punto) Estudiar la existencia de A− 1 en función del parámetro a .
b) (1 punto) Para a = 3 calcular A− 1 .
Ejercicio 4.- Calificación máxima: 2 puntos
Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que P ( A ) = 0,6 , P ( A / B ) = 0,4 y
( )
P A / B = 0,8 , siendo B el suceso complementario del suceso B .
a) (1 punto) Calcular P ( B ) .
b) (0,5 puntos) Indicar si A y B son independientes.
c) (0,5 puntos) Calcular P A B .( )
Ejercicio 5.- Calificación máxima: 2 puntos
Se supone que el tiempo de vida útil, medido en miles de horas (Mh), de cierto modelo de
televisor se puede aproximar mediante una variable aleatoria con distribución normal de media
20 Mh y desviación típica 0,5 Mh.
a) (1 punto) Calcular la probabilidad de que un televisor tenga una vida útil que esté entre 19,4 y
20,3 Mh.
b) (1 punto) Un televisor ha sufrido algún fallo de producción si tiene una vida útil inferior a un
cierto valor llamado “umbral de tolerancia”. ¿Cuál es el umbral de tolerancia si sabemos que sólo
un 3% de los televisores sufren algún fallo de producción?
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Ejercicio 1.-. Calificación máxima: 2 puntos
a) (1 punto) Hallar el área del recinto limitado por la curva y = x 3 − x 2 − 12x y el eje X .
2
1
b) (1 punto) Calcular
0 1+ e x
dx . (Sugerencia: cambio de variable t = e x ).
Solución
a) Puntos de corte con el eje de abscisas.
x =0(1)
y = 0 x 3 − x 2 − 12x = 0 x ( x 2 − x − 12 ) = 0 x ( x − 4 )( x + 3 ) = 0 x = 4 (0,25 puntos)
x = −3
1 1 + 48 1 7 4
(1) x − x − 12 = 0 x = = =
2
2 2 −3
Área del recinto.
0 0
0
x4 x3 4
x4 x3
A = ( x − x − 12x ) dx + ( x − x − 12x ) dx = − − 6 x 2 + − − 6 x 2 =
3 2 3 2
−3 0 4 3 −3 4 3 −3
81 64 99 160 937 2
= ( 0 ) − + 9 − 54 + 64 − − 96 − (0 ) = + = u (0,75 puntos)
4 3 4 3 12
b) Cambio de variable.
1 x 2
(1) Cambio de variable: t = e x dt = e dx dt = dx (0,25 puntos)
2 t
Cálculo de la integral indefinida.
(1) ( 2)
1 1 2 2 −2 2
1+ ex
dx =
Cambio de dt =
1+ t t (1 + t ) t
=
Integración 1 + t + t dt =
var iable racional
( ) ( ) ( )
(1) 2
= − 2ln ( 1 + t ) + 2lnt = − 2ln 1 + e x + 2ln e x = − 2ln 1 + e x + ln ex =
(
= − 2 ln 1 + e x + x + K . ) (0,5 puntos)
2 A B ( 3) 2 −2 2
(2) Integración racional: (1 + t ) t
dt = + dt =
1+ t t
= +
(1 + t ) t 1 + t t
A B A t + B (1 + t ) 2 si t = 0 B=2
(3) + = = A t + B (1 + t ) = 2
1+ t t (1 + t ) t (1 + t ) t si t = − 1 A = −2
Cálculo de la integral definida.
( )
2 2
dx = − 2ln 1 + e x + x = ( − 2ln (1 + e ) + 2 ) − ( − 2ln 2 ) = 2 (1 + ln 2 − ln (1 + e ) )
1
0 1 + ex 0
0,7598 . (0,25 puntos)
Departamento de Matemáticas. IES Joan Miró. San Sebastián de los Reyes.
