WISKUNDE B – 5V – HOOFDSTUK 1 LOGARITMISCHE FUNCTIES
Voorkennis
Grafieken van exponentiële functies (𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑔 𝑥 ) snijden de y-as in het punt (0,b). Bij g > 0 is de grafiek
stijgend, en bij 0 < g < 1 dalend ( bij b > 0). Het domein van deze functies is ℝ, en het bereik is < 0, →>.
𝑔𝑝
De regels bij exponenten en machten zijn: 𝑔𝑝 ∙ 𝑔𝑞 = 𝑔𝑝+𝑞 , 𝑔𝑞 = 𝑔𝑝−𝑞 en (𝑔𝑝 )𝑞 = 𝑔𝑝 ∙𝑞
.
§1-1 Logaritmen
In de vergelijking 𝑔 𝑥 = 𝑎, is x de logaritme van a voor het grondtal g: 𝑥 = log 𝑔 (𝑎). Een logaritme kun je zeggen
als: “Tot welke macht moet je g doen, totdat je a als uitkomst krijgt. Het getal binnen de haakjes (a) moet altijd
groter dan 0 zijn, want log(𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑒𝑓 𝑜𝑓 0) kan niet. Ook geldt altijd log 𝑔 (1) = 0.
§1-2 Logaritmen berekenen
De “normale” log, is de 10-log, net zoals op de rekenmachine: als er geen grondtal vermeldt staat, wordt er de 10-
log10 (𝑎)
log bedoelt. Op de rekenmachine kun je de log 𝑔 (𝑎) berekenen met: .
log10 (𝑔)
§1-3 Grafieken van logaritmische functies
- De grafieken 𝑓(𝑥) = 𝑔 𝑥 en 𝑘(𝑥) = log 𝑔 (𝑥) zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn 𝑦 = 𝑥.
- Het domein van een logaritmische functie is altijd < 0, →>, en het bereik ℝ.
- De horizontale asymptoot van de basisfunctie is 𝑥 = 0
- Het snijpunt met de x-as is het punt (1,0), want log 𝑔 (1) = 0.
- Het grondtal g is altijd positief, en nooit gelijk aan 1.
- Er geldt ook: voor 0 < 𝑔 < 1 is de grafiek dalend en voor 𝑔 > 1 is de grafiek stijgend.
§1-4 Rekenregels voor logaritmen
𝑎
log 𝑔 (𝑎) + log 𝑔 (𝑏) = log 𝑔 (𝑎 ∙ 𝑏) log 𝑔 (𝑎) − log 𝑔 (𝑏) = log 𝑔 (𝑏 ) 𝑝 ∙ log 𝑔 (𝑎) = log 𝑔 (𝑎𝑝 )
log𝑏 (𝑎)
𝑔log𝑔(𝑎) = 𝑎 log 𝑔 (𝑎) =
log𝑏 (𝑔)
§1-5 Formules herleiden
Een logaritmische formule kun je herleiden tot een exponentiële formule, en omgekeerd geldt hetzelfde.
Daarvoor gebruik je de basisregel: 𝑔𝑏 = 𝑎, waaruit volgt: b = log 𝑔 (𝑎), en omgekeerd:
log 𝑔 (𝑎) = 𝑏, waaruit volgt: 𝑎 = 𝑔𝑏 .
§1-6 Vergelijkingen en ongelijkheden
Je kunt met de regenregels voor de logaritmen een logaritmische vergelijking oplossen, en natuurlijk met de
basisregel: voor log 𝑔 (𝑥) = 𝑐 is de exacte oplossing 𝑥 = 𝑔𝑐 .
Bij een ongelijkheid met een logaritme moet je het volgende stappenplan volgen:
1. Bereken het domein van de logaritme. (getal tussen haakjes > 0)
2. Eerst van de ongelijkheid een vergelijking maken, en die oplossen
3. Schets maken (m.b.v. rekenmachine), en de oplossingen + het domein aangeven.
4. Op basis van de schets en de oplossing(en) het antwoord geven, NIET HET DOMEIN VERGETEN!!
, WISKUNDE B – 5V – HOOFDSTUK 2 FUNCTIES BEWERKEN
Voorkennis
Hieronder staan de 10 standaardfuncties:
1
𝑓(𝑥) = 𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥² 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑓(𝑥) = sin(𝑥) 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑔 𝑥 𝑓(𝑥) = log 𝑔 (𝑥)
§2-1 Transformaties
Je kunt op een grafiek een transformatie toepassen, bijvoorbeeld door translatie (verschuiven) of spiegelen.
- Verticale translatie: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑑 - Horizontale translatie: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 𝑐)
1
- Verm. t.o.v. de x-as: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑎 - Verm. t.o.v. de y-as: 𝑔(𝑥) = 𝑓( ∙ 𝑥)
𝑏
Spiegelen in de x-as betekent dat je de grafiek vermenigvuldigt t.o.v. de x-as met -1
Spiegelen in de y-as betekent dat je de grafiek vermenigvuldigt t.o.v. de y-as met -1
§2-2 Absolute waarde
De absolute waarde van x is de afstand tussen het getal x en 0, je noteert dat als |𝑥|. Alle negatieve waarden van
y worden dan omgezet naar het tegenovergestelde getal.
𝑥 𝑎𝑙𝑠 𝑥 ≥ 0
Je kunt de absolute waarde ook schrijven als: |𝑥| = {
−𝑥 𝑎𝑙𝑠 𝑥 < 0
Als de oorspronkelijke grafiek één top/meerdere toppen heeft, komen er extreme waarden bij, namelijk minima
die liggen op de punten waar de oorspronkelijke grafiek de x-as sneed.
§2-3 Inverse functie
Bij de inverse functie van een functie geldt dat de x-waarden en y-waarden zijn omgedraaid. Je noteert een
inverse functie als 𝑓 𝑖𝑛𝑣 . De grafieken van f en 𝑓 𝑖𝑛𝑣 zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegelen in de lijn 𝑦 = 𝑥.
Je maakt het functievoorschrift van de inverse van een functie door:
1. Eerst het functievoorschrift te vervangen door een vergelijking in y = x……
2. Vervang overal waar x staat, de x door y, en waar y staat de y door x.
3. Herleid de vergelijking naar een vorm waarin de y is uitgedrukt in x.
4. Schrijf de verkregen vergelijking als een functievoorschrift
§2-4 Gelijkwaardige functies
Twee functies zijn gelijkwaardig of equivalent aan elkaar als elke combinatie van waarden bij beide formules
voldoen. Je krijgt een gelijkwaardige formule door die te herleiden naar een andere vorm.
§2-5 Parameters
Een verzameling van functies ontstaat door een parameter te gebruiken. Zo’n verzameling van functies noem je
een familie van functies. De familie van functies met parameter p noteer je als 𝑓𝑝 . De bijhorende grafieken
vormen een bundel van grafieken. Vaak hebben alle grafieken een bepaalde gezamenlijke eigenschap, zoals:
- Alle grafieken van de bundel gaan door één punt.
- Alle toppen van de grafieken liggen op een bepaalde lijn.
Voorkennis
Grafieken van exponentiële functies (𝑓(𝑥) = 𝑏 ∙ 𝑔 𝑥 ) snijden de y-as in het punt (0,b). Bij g > 0 is de grafiek
stijgend, en bij 0 < g < 1 dalend ( bij b > 0). Het domein van deze functies is ℝ, en het bereik is < 0, →>.
𝑔𝑝
De regels bij exponenten en machten zijn: 𝑔𝑝 ∙ 𝑔𝑞 = 𝑔𝑝+𝑞 , 𝑔𝑞 = 𝑔𝑝−𝑞 en (𝑔𝑝 )𝑞 = 𝑔𝑝 ∙𝑞
.
§1-1 Logaritmen
In de vergelijking 𝑔 𝑥 = 𝑎, is x de logaritme van a voor het grondtal g: 𝑥 = log 𝑔 (𝑎). Een logaritme kun je zeggen
als: “Tot welke macht moet je g doen, totdat je a als uitkomst krijgt. Het getal binnen de haakjes (a) moet altijd
groter dan 0 zijn, want log(𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑒𝑓 𝑜𝑓 0) kan niet. Ook geldt altijd log 𝑔 (1) = 0.
§1-2 Logaritmen berekenen
De “normale” log, is de 10-log, net zoals op de rekenmachine: als er geen grondtal vermeldt staat, wordt er de 10-
log10 (𝑎)
log bedoelt. Op de rekenmachine kun je de log 𝑔 (𝑎) berekenen met: .
log10 (𝑔)
§1-3 Grafieken van logaritmische functies
- De grafieken 𝑓(𝑥) = 𝑔 𝑥 en 𝑘(𝑥) = log 𝑔 (𝑥) zijn elkaars spiegelbeeld in de lijn 𝑦 = 𝑥.
- Het domein van een logaritmische functie is altijd < 0, →>, en het bereik ℝ.
- De horizontale asymptoot van de basisfunctie is 𝑥 = 0
- Het snijpunt met de x-as is het punt (1,0), want log 𝑔 (1) = 0.
- Het grondtal g is altijd positief, en nooit gelijk aan 1.
- Er geldt ook: voor 0 < 𝑔 < 1 is de grafiek dalend en voor 𝑔 > 1 is de grafiek stijgend.
§1-4 Rekenregels voor logaritmen
𝑎
log 𝑔 (𝑎) + log 𝑔 (𝑏) = log 𝑔 (𝑎 ∙ 𝑏) log 𝑔 (𝑎) − log 𝑔 (𝑏) = log 𝑔 (𝑏 ) 𝑝 ∙ log 𝑔 (𝑎) = log 𝑔 (𝑎𝑝 )
log𝑏 (𝑎)
𝑔log𝑔(𝑎) = 𝑎 log 𝑔 (𝑎) =
log𝑏 (𝑔)
§1-5 Formules herleiden
Een logaritmische formule kun je herleiden tot een exponentiële formule, en omgekeerd geldt hetzelfde.
Daarvoor gebruik je de basisregel: 𝑔𝑏 = 𝑎, waaruit volgt: b = log 𝑔 (𝑎), en omgekeerd:
log 𝑔 (𝑎) = 𝑏, waaruit volgt: 𝑎 = 𝑔𝑏 .
§1-6 Vergelijkingen en ongelijkheden
Je kunt met de regenregels voor de logaritmen een logaritmische vergelijking oplossen, en natuurlijk met de
basisregel: voor log 𝑔 (𝑥) = 𝑐 is de exacte oplossing 𝑥 = 𝑔𝑐 .
Bij een ongelijkheid met een logaritme moet je het volgende stappenplan volgen:
1. Bereken het domein van de logaritme. (getal tussen haakjes > 0)
2. Eerst van de ongelijkheid een vergelijking maken, en die oplossen
3. Schets maken (m.b.v. rekenmachine), en de oplossingen + het domein aangeven.
4. Op basis van de schets en de oplossing(en) het antwoord geven, NIET HET DOMEIN VERGETEN!!
, WISKUNDE B – 5V – HOOFDSTUK 2 FUNCTIES BEWERKEN
Voorkennis
Hieronder staan de 10 standaardfuncties:
1
𝑓(𝑥) = 𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥² 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑓(𝑥) = sin(𝑥) 𝑓(𝑥) = cos(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑔 𝑥 𝑓(𝑥) = log 𝑔 (𝑥)
§2-1 Transformaties
Je kunt op een grafiek een transformatie toepassen, bijvoorbeeld door translatie (verschuiven) of spiegelen.
- Verticale translatie: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑑 - Horizontale translatie: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 𝑐)
1
- Verm. t.o.v. de x-as: 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑎 - Verm. t.o.v. de y-as: 𝑔(𝑥) = 𝑓( ∙ 𝑥)
𝑏
Spiegelen in de x-as betekent dat je de grafiek vermenigvuldigt t.o.v. de x-as met -1
Spiegelen in de y-as betekent dat je de grafiek vermenigvuldigt t.o.v. de y-as met -1
§2-2 Absolute waarde
De absolute waarde van x is de afstand tussen het getal x en 0, je noteert dat als |𝑥|. Alle negatieve waarden van
y worden dan omgezet naar het tegenovergestelde getal.
𝑥 𝑎𝑙𝑠 𝑥 ≥ 0
Je kunt de absolute waarde ook schrijven als: |𝑥| = {
−𝑥 𝑎𝑙𝑠 𝑥 < 0
Als de oorspronkelijke grafiek één top/meerdere toppen heeft, komen er extreme waarden bij, namelijk minima
die liggen op de punten waar de oorspronkelijke grafiek de x-as sneed.
§2-3 Inverse functie
Bij de inverse functie van een functie geldt dat de x-waarden en y-waarden zijn omgedraaid. Je noteert een
inverse functie als 𝑓 𝑖𝑛𝑣 . De grafieken van f en 𝑓 𝑖𝑛𝑣 zijn elkaars spiegelbeeld bij spiegelen in de lijn 𝑦 = 𝑥.
Je maakt het functievoorschrift van de inverse van een functie door:
1. Eerst het functievoorschrift te vervangen door een vergelijking in y = x……
2. Vervang overal waar x staat, de x door y, en waar y staat de y door x.
3. Herleid de vergelijking naar een vorm waarin de y is uitgedrukt in x.
4. Schrijf de verkregen vergelijking als een functievoorschrift
§2-4 Gelijkwaardige functies
Twee functies zijn gelijkwaardig of equivalent aan elkaar als elke combinatie van waarden bij beide formules
voldoen. Je krijgt een gelijkwaardige formule door die te herleiden naar een andere vorm.
§2-5 Parameters
Een verzameling van functies ontstaat door een parameter te gebruiken. Zo’n verzameling van functies noem je
een familie van functies. De familie van functies met parameter p noteer je als 𝑓𝑝 . De bijhorende grafieken
vormen een bundel van grafieken. Vaak hebben alle grafieken een bepaalde gezamenlijke eigenschap, zoals:
- Alle grafieken van de bundel gaan door één punt.
- Alle toppen van de grafieken liggen op een bepaalde lijn.
