11 Vaardigheden
Wiskunde in de natuurkunde | vwo
Uitwerkingen basisboek
11.1 REKENVAARDIGHEDEN
1
18 7 5 18 28 60 106 53
a + + = + + =
120 30 10 120 120 120 120 60
¿ .
( )
4 2 3 4 ×2 ×3 8×3 3 1 1
b × × = = = = = .
9 7 8 9× 7 ×8 9 ×7 × 8 9 ×7 3 ×7 21
4 2 4 15 4 ×15 2 ×15 30
c ÷ = × = = = .
11 15 11 2 11 × 2 11 11
2
2
l l l
a 2π
√ 9,81
2
=0,452 2 π ( √ )
9,81
2
=0,4522 4 × π ×
9,81
=0,4522
0,452 × 9,81
l= =0,0508.
4 × π2
1 2 × 4,7 2 ×4,7
b
2
×10,5 ×u 2=4,7 u2=
( 3,156 ∙107 )
2
10,5
4π
u=
10,5 √
=0,95.
c =
3
6,67384 ∙ 10 ×1,9884 ∙ 1030
−06
r
2
3 ( 3,156 ∙ 107 ) ×6,67384 ∙ 10−6 ×1,9884 ∙ 1030
r = =1,0518∙ 1039 (in rekenmachine laten staan!) in rekenmachine laten staan!) )
4π
3 1 /3
r =√1,0518 ∙ 1039=( 1,0518 ∙10 39) =1,017 ∙1013.
3
a De remkracht blijf gelijk en de beginsnelheid is 90/50 = 9/5e x zo groot. De remweg is evenredig met v begin2,
90 2
dus is srem =13,8 ×
( )
50
=45 m.
b De beginsnelheid blijft gelijk en de remkracht wordt 6,5/8,4 x zo groot. De remweg is omgekeerd evenredig
8,4
met de remkracht, dus is srem =13,8 × =18 m.
6,5
4
2,07
a De omtrek is 2 π ∙ r dus 2,07=2 π ×r r = =0,3295 m (in rekenmachine laten staan!) in rekenmachine laten
2π
staan!) ). De oppervlakte is π ∙ r 2 dus A=π ∙ r 2=π ×0,32952 =0,341m 2.
b Maak een tekening:
Pythogoras: a 2+ 4,52=5,82 a= √ 5,82−4,52=3,66 m.
De omtrek is 5,8+ 4,5+3,66=14,0 m .
1
De oppervlakte is × 4,5× 3,66=8,2m 2.
2
c De straal van de bal is 14 cm.
4 4
Het volume van de bal is π ∙ r 3= π ×14 3=1,1 ∙10 4 cm3 =0,011 m 3.
3 3 Figuur 1
De oppervlakte van de bal is 4 π ∙ r 2=4 π × 142=2,5∙ 103 cm 2=0,25 m 2.
© ThiemeMeulenhoff bv Pagina 1 van 16
, d Het volume van een cilinder is π ∙ r 2 ∙ h dus 340 ∙10−3=π ×r 2 ×1,20
340 ∙10−3
r=
√
π × 1,20
=0,300 m. De diameter is dus 60,0 cm.
5 De springdrum wordt in de hand (in rekenmachine laten staan!) op de foto ontbreekt helaas de hand) gehouden, dus de hoogte zal ongeveer
10 cm zijn. Op de foto is de golflengte ongeveer 2 x zo groot als de springdrum. We schatten de golflengte dus op
v 2
2 x 10 = 20 cm. De frequentie is dan v=λ ∙ f f= = =10 Hz. Dit wijkt erg veel af van de gegeven
λ 0,20
grondtoon van 300 Hz, dus de hypothese van Sandra is onjuist.
6
0,880−0,833 0,047
a Bewering 1: De relatieve toename van de slagfrequentie is = =0,056 en de relatieve
0,833 0,833
2,50−2,40 0,10
afname van de slaglengte is = =0,040 . Deze bewering is juist.
2,50 2,40
Bewering 2: De snelheid van Joep is gelijk aan de slaglengte maal de slagfrequentie. De oorspronkelijke
snelheid is dus 2,50 ×0,833=2,083 m/s en de snelheid waarop Joep wil gaan trainen is
2,40 ×0,880=2,112 m/s . De snelheid neemt toe dus deze bewering is ook juist.
2,112−2,083
b De snelheidstoename is ×100 %=1,4 %
2,083
1
a Beide stralen zijn even groot, dus S= ( n−1 ) ∙ ( 1R + R1 )=( n−1 ) ∙ R2 . Het gaat om een waterlens, dus n is de
2
brekingsindex van water Binas tabel 18 n=1,330 voor rood licht 40=( 1,330−1 ) ×
R
( 1,330−1 ) × 2
R= =0,0165 m=1,7 cm.
40
1
b R1 wordt een factor 2 kleiner: R1= ∙ R en R2 wordt een factor 2 groter: R2=2 ∙ R. Dit invullen in de formule
2
voor de sterkte van de lens geeft:
1 1 2 1 4 1 5 2,5
S= ( n−1 ) ∙
( 1
∙R
+
2∙R
)
= ( n−1 ) ∙ + (
R 2∙ R
=( n−1 ) ∙) +
2 ∙ R 2∙ R (
=( n−1 ) ∙
2∙ R )
=( n−1 ) ∙
R ( ) ( )
2
.
2,5 2
is groter dan dus de sterkte van de lens wordt groter.
R R
7
Fs 2 kg ∙m 2
Fs ∙s
a [ v ]= [√ ]
ml
2
[ v ]=
ml [ ]
m
2
=
N
N ∙ s2
s [ ml ] [ ml ]= 2 =
m
s2
m 2
kg ∙ m kg
= 2 = .
m m
© ThiemeMeulenhoff bv Pagina 2 van 16
, b De frequentie moet 300/200 = 1,5 x zo groot worden. Voor de golfsnelheid geldt: v=λ ∙ f , waarbij de
golflengte λ hierbij constant blijft, dus moet de golfsnelheid v 1,5 x zo groot worden. Volgens de formule is de
golfsnelheid is evenredig met √ F s dus zal de spankracht 1,5 2
= 2,25 x zo groot moeten worden.
8 Oriëntatie:
De warmtedoorgangscoëfficiënt μ wordt 3,5/1,2 = 2,5 x zo klein, dus zal ook de warmtestroom P 2,5 x zo klein
worden. Het jaarlijks gasverbruik V is recht evenredig met de warmtestroom, dus dit zal ook 2,5 x zo klein worden.
Uitwerking:
V dubbelglas 1,2 ∙10 3 3 3
V vacuümglas = = =0,48∙ 10 m . De besparing is dus 1,2 ∙103 −0,48 ∙103 =0,7 ∙103 m 3.
2,5 2,5
9
1,57∙ 10−3 −4
a De straal van het beeld van de Krabnevel is =7,85 ∙ 10 m .
2
2
De oppervlakte is dus A=π ∙ r 2=π × ( 7,85 ∙ 10−4 ) =1,94 ∙10−6 m2 . De oppervlakte van één pixel is
−11 2 1,94 ∙10−6 4
5,48 ∙10 m , dus het aantal pixels met informatie over de krabnevel is −11
=3,53∙ 10 .
5,48∙ 10
b De straal van de Krabnevel is ongeveer 5,5 lichtjaar. Dat is
5,5 ×300 000 ∙10 3 ×365,25 × 24 ×3600=5,21∙ 1016 m . De diameter is in werkelijkheid dus
16 17 1,04 ∙10 17 19
2 ×5,21 ∙10 =1,04 ∙10 m . Dat is −3
=6,6∙ 10 x zo groot.
1,57∙ 10
10 Stel dat wex L van de eerste vloeistof voegen bij y liter van de tweede vloeistof. De totale hoeveelheid vloeistof is
0,50 × x+ 0,12× y
dan x + y=1,0 L. Het alcoholpercentage van deze vloeistoffen samen is dan: =0,30
x+ y
0,50 × x +0,12 × y=0,30× ( x+ y ). Nu moeten we de volgende 2 vergelijkingen oplossen:
x + y=1,00,50 × x +0,12 × y=0,30× ( x+ y ). Vul y=1,0−x in in de tweede vergelijking:
0,50 × x +0,12 × ( 1,0−x )=0,30 × ( x +1,0−x ) ( 0,50−0,12 ) × x+ 0,12=0,30
0,30−0,12
x= =0,474 L=474 mL en y=1,0−0,474=0,526 L=526 mL .
0,38
11 Stel dat de lengte van de rechthoek x cm is en de breedte y cm. De oppervlakte is dan x ∙ y en de omtrek
2 ∙(x+ y). De twee vergelijkingen zijn dus: x ∙ y=200 en 2 ∙ ( x + y )=90.
Schrijf de tweede vergelijking als y=45−x en vul dit in in de eerste vergelijking: x × ( 45−x )=200
45 x−x 2=200 x 2−45 x +200=0. Dit is op te lossen met de abc-formule:
45 ± √ 452−4 ×1 ×200 45 ± √ 1225 45 ±35 x=5 of x=40. Als x=5 volgt dat
x= = =
2 ×1 2 2
y=45−5=40 en als x=40 volgt dat y=45−40=5. De rechthoek is dus 5 bij 40 cm.
12
a v uit =⃗
⃗ v ¿ +⃗
∆ v.
© ThiemeMeulenhoff bv Pagina 3 van 16
Wiskunde in de natuurkunde | vwo
Uitwerkingen basisboek
11.1 REKENVAARDIGHEDEN
1
18 7 5 18 28 60 106 53
a + + = + + =
120 30 10 120 120 120 120 60
¿ .
( )
4 2 3 4 ×2 ×3 8×3 3 1 1
b × × = = = = = .
9 7 8 9× 7 ×8 9 ×7 × 8 9 ×7 3 ×7 21
4 2 4 15 4 ×15 2 ×15 30
c ÷ = × = = = .
11 15 11 2 11 × 2 11 11
2
2
l l l
a 2π
√ 9,81
2
=0,452 2 π ( √ )
9,81
2
=0,4522 4 × π ×
9,81
=0,4522
0,452 × 9,81
l= =0,0508.
4 × π2
1 2 × 4,7 2 ×4,7
b
2
×10,5 ×u 2=4,7 u2=
( 3,156 ∙107 )
2
10,5
4π
u=
10,5 √
=0,95.
c =
3
6,67384 ∙ 10 ×1,9884 ∙ 1030
−06
r
2
3 ( 3,156 ∙ 107 ) ×6,67384 ∙ 10−6 ×1,9884 ∙ 1030
r = =1,0518∙ 1039 (in rekenmachine laten staan!) in rekenmachine laten staan!) )
4π
3 1 /3
r =√1,0518 ∙ 1039=( 1,0518 ∙10 39) =1,017 ∙1013.
3
a De remkracht blijf gelijk en de beginsnelheid is 90/50 = 9/5e x zo groot. De remweg is evenredig met v begin2,
90 2
dus is srem =13,8 ×
( )
50
=45 m.
b De beginsnelheid blijft gelijk en de remkracht wordt 6,5/8,4 x zo groot. De remweg is omgekeerd evenredig
8,4
met de remkracht, dus is srem =13,8 × =18 m.
6,5
4
2,07
a De omtrek is 2 π ∙ r dus 2,07=2 π ×r r = =0,3295 m (in rekenmachine laten staan!) in rekenmachine laten
2π
staan!) ). De oppervlakte is π ∙ r 2 dus A=π ∙ r 2=π ×0,32952 =0,341m 2.
b Maak een tekening:
Pythogoras: a 2+ 4,52=5,82 a= √ 5,82−4,52=3,66 m.
De omtrek is 5,8+ 4,5+3,66=14,0 m .
1
De oppervlakte is × 4,5× 3,66=8,2m 2.
2
c De straal van de bal is 14 cm.
4 4
Het volume van de bal is π ∙ r 3= π ×14 3=1,1 ∙10 4 cm3 =0,011 m 3.
3 3 Figuur 1
De oppervlakte van de bal is 4 π ∙ r 2=4 π × 142=2,5∙ 103 cm 2=0,25 m 2.
© ThiemeMeulenhoff bv Pagina 1 van 16
, d Het volume van een cilinder is π ∙ r 2 ∙ h dus 340 ∙10−3=π ×r 2 ×1,20
340 ∙10−3
r=
√
π × 1,20
=0,300 m. De diameter is dus 60,0 cm.
5 De springdrum wordt in de hand (in rekenmachine laten staan!) op de foto ontbreekt helaas de hand) gehouden, dus de hoogte zal ongeveer
10 cm zijn. Op de foto is de golflengte ongeveer 2 x zo groot als de springdrum. We schatten de golflengte dus op
v 2
2 x 10 = 20 cm. De frequentie is dan v=λ ∙ f f= = =10 Hz. Dit wijkt erg veel af van de gegeven
λ 0,20
grondtoon van 300 Hz, dus de hypothese van Sandra is onjuist.
6
0,880−0,833 0,047
a Bewering 1: De relatieve toename van de slagfrequentie is = =0,056 en de relatieve
0,833 0,833
2,50−2,40 0,10
afname van de slaglengte is = =0,040 . Deze bewering is juist.
2,50 2,40
Bewering 2: De snelheid van Joep is gelijk aan de slaglengte maal de slagfrequentie. De oorspronkelijke
snelheid is dus 2,50 ×0,833=2,083 m/s en de snelheid waarop Joep wil gaan trainen is
2,40 ×0,880=2,112 m/s . De snelheid neemt toe dus deze bewering is ook juist.
2,112−2,083
b De snelheidstoename is ×100 %=1,4 %
2,083
1
a Beide stralen zijn even groot, dus S= ( n−1 ) ∙ ( 1R + R1 )=( n−1 ) ∙ R2 . Het gaat om een waterlens, dus n is de
2
brekingsindex van water Binas tabel 18 n=1,330 voor rood licht 40=( 1,330−1 ) ×
R
( 1,330−1 ) × 2
R= =0,0165 m=1,7 cm.
40
1
b R1 wordt een factor 2 kleiner: R1= ∙ R en R2 wordt een factor 2 groter: R2=2 ∙ R. Dit invullen in de formule
2
voor de sterkte van de lens geeft:
1 1 2 1 4 1 5 2,5
S= ( n−1 ) ∙
( 1
∙R
+
2∙R
)
= ( n−1 ) ∙ + (
R 2∙ R
=( n−1 ) ∙) +
2 ∙ R 2∙ R (
=( n−1 ) ∙
2∙ R )
=( n−1 ) ∙
R ( ) ( )
2
.
2,5 2
is groter dan dus de sterkte van de lens wordt groter.
R R
7
Fs 2 kg ∙m 2
Fs ∙s
a [ v ]= [√ ]
ml
2
[ v ]=
ml [ ]
m
2
=
N
N ∙ s2
s [ ml ] [ ml ]= 2 =
m
s2
m 2
kg ∙ m kg
= 2 = .
m m
© ThiemeMeulenhoff bv Pagina 2 van 16
, b De frequentie moet 300/200 = 1,5 x zo groot worden. Voor de golfsnelheid geldt: v=λ ∙ f , waarbij de
golflengte λ hierbij constant blijft, dus moet de golfsnelheid v 1,5 x zo groot worden. Volgens de formule is de
golfsnelheid is evenredig met √ F s dus zal de spankracht 1,5 2
= 2,25 x zo groot moeten worden.
8 Oriëntatie:
De warmtedoorgangscoëfficiënt μ wordt 3,5/1,2 = 2,5 x zo klein, dus zal ook de warmtestroom P 2,5 x zo klein
worden. Het jaarlijks gasverbruik V is recht evenredig met de warmtestroom, dus dit zal ook 2,5 x zo klein worden.
Uitwerking:
V dubbelglas 1,2 ∙10 3 3 3
V vacuümglas = = =0,48∙ 10 m . De besparing is dus 1,2 ∙103 −0,48 ∙103 =0,7 ∙103 m 3.
2,5 2,5
9
1,57∙ 10−3 −4
a De straal van het beeld van de Krabnevel is =7,85 ∙ 10 m .
2
2
De oppervlakte is dus A=π ∙ r 2=π × ( 7,85 ∙ 10−4 ) =1,94 ∙10−6 m2 . De oppervlakte van één pixel is
−11 2 1,94 ∙10−6 4
5,48 ∙10 m , dus het aantal pixels met informatie over de krabnevel is −11
=3,53∙ 10 .
5,48∙ 10
b De straal van de Krabnevel is ongeveer 5,5 lichtjaar. Dat is
5,5 ×300 000 ∙10 3 ×365,25 × 24 ×3600=5,21∙ 1016 m . De diameter is in werkelijkheid dus
16 17 1,04 ∙10 17 19
2 ×5,21 ∙10 =1,04 ∙10 m . Dat is −3
=6,6∙ 10 x zo groot.
1,57∙ 10
10 Stel dat wex L van de eerste vloeistof voegen bij y liter van de tweede vloeistof. De totale hoeveelheid vloeistof is
0,50 × x+ 0,12× y
dan x + y=1,0 L. Het alcoholpercentage van deze vloeistoffen samen is dan: =0,30
x+ y
0,50 × x +0,12 × y=0,30× ( x+ y ). Nu moeten we de volgende 2 vergelijkingen oplossen:
x + y=1,00,50 × x +0,12 × y=0,30× ( x+ y ). Vul y=1,0−x in in de tweede vergelijking:
0,50 × x +0,12 × ( 1,0−x )=0,30 × ( x +1,0−x ) ( 0,50−0,12 ) × x+ 0,12=0,30
0,30−0,12
x= =0,474 L=474 mL en y=1,0−0,474=0,526 L=526 mL .
0,38
11 Stel dat de lengte van de rechthoek x cm is en de breedte y cm. De oppervlakte is dan x ∙ y en de omtrek
2 ∙(x+ y). De twee vergelijkingen zijn dus: x ∙ y=200 en 2 ∙ ( x + y )=90.
Schrijf de tweede vergelijking als y=45−x en vul dit in in de eerste vergelijking: x × ( 45−x )=200
45 x−x 2=200 x 2−45 x +200=0. Dit is op te lossen met de abc-formule:
45 ± √ 452−4 ×1 ×200 45 ± √ 1225 45 ±35 x=5 of x=40. Als x=5 volgt dat
x= = =
2 ×1 2 2
y=45−5=40 en als x=40 volgt dat y=45−40=5. De rechthoek is dus 5 bij 40 cm.
12
a v uit =⃗
⃗ v ¿ +⃗
∆ v.
© ThiemeMeulenhoff bv Pagina 3 van 16
