Samenvatting Statistiek 1 Semester 2

HOOFDSTUK 8: MAYBE YES, MAYBE NO


8.1 Basisbegrippen
 Stochastisch proces of toevalsproces of kansexperiment : een proces waarvan de uitkomsten
onzeker zijn.

 Toevalsgebeuren/gebeurtenis: specifieke uitkomst(en) van een stochastisch proces

o Elementaire ~ of een singleton: slechts 1 uitkomst
Opgooien van een eerlijke dobbelsteen en registreren van het aantal ogen: A = {1}

o Samengestelde ~: heeft betrekking op meerdere elementaire toevalsgebeurens
Het gooien van een even aantal ogen met een eerlijke dobbelsteen: B = {2, 4, 6}

 Uitkomstenruimte S: verzameling van alle mogelijke uitkomsten van een kansexperiment
Opgooien eerlijke dobbelsteen en registreren van het aantal ogen: S={1, 2, 3, 4, 5, 6}

 Deterministisch proces: een proces waarvan de uitkomst van vooraf al vast staat.

 Unie van twee verzameling A en B (A ∪ B) : verzameling waarbij alle elementen ofwel in A,
ofwel in B ofwel in beide verzamelingen zitten. Je voegt alle elementen van A en B samen tot
een nieuwe verzameling en je haalt de dubbels eruit.
A= {a, b c, d, e} en B= {a, e, i, k, s, t} dan (A ∪ B)= {a, b c, d, e, i, k, s, t}

 Doorsnede (A∩ B) : verzameling die bestaat uit alle elementen die zowel in A als in B zitten.
A = {1, 2} B = {oneven}; A ∩B = {1}

 Disjuncte verzameling/gebeurtenissen (A∩ B = ∅ ) : verzamelingen die geen
gemeenschappelijke elementen hebben.

 Lege vrzameling ∅ : de lege verzameling is een deelverzameling van alle verzamelingen
A = {1} B = {2, 4, 6}

 Deelverzameling A c B

 Complement van A (Ac of Á = S \ A) : alle uitkomsten die niet in A zitten
A = {1} Á = {2, 3, 4, 5, 6}

 Verschil van twee verzamelingen A en B (A \ B = {…} ) : alle elementen van A die niet in B
zitten. We vertrekken van verzameling A en halen alle elementen die ook in B zitten eruit.
A= {a, b c, d, e} en B= {a, e, i, k, s, t} dan (A\B)= {b, c, d}

 Machtsverzameling M(S) : een verzameling die als elementen opnieuw verzamelingen heeft.
Of, een combinatie van alle mogelijke elementaire gebeurtenissen en alle samengestelde
gebeurtenissen.
S= {1, 2, 3}  M(S)={Ø,{1},{2},{3},{1,2},{1,3}, {2,3},{1,2,3}}  23 = 8 deelverzamelingen
Als #S = n , dan #M(S) = 2n . Dus indien verzameling S in totaal n verschillende elementen
bevat, dan is het mogelijk 2n deelverzamelingen te maken

, Partitie of volledig stelsel: Stel je verdeelt uitkomstenruimente in verschillende delen, dan
moeten de elementen voldoen aan twee voorwaarden
* exhaustief: (G1 ∪ G2 ∪ G3 = {1,2,3,4,5,6} = S)
De elementen zitten in één van de gebeurtenissen
* twee aan twee disjunct: (doorsnedes zijn leeg)
Er is geen overlap tussen de gebeurtenissen, en uitkomst zit niet in meer dan één
gebeurtenis

8.2 Kansdefinitie
 Kans P(G): drukt uit hoe (on)waarschijnlijk een gebeurtenis G is. De kans P is een functie die
elke gebeurtenis G uit een machtsverzameling M(s) een reëel getal P(G) tussen 0 en 1
associeert

o Subjectieve kansdefinitie of de gokkans: intuïtie, ervaringen
De kans op de lotto winnen is erg klein, denk je uit je eigen ervaring nog ooit
gewonnen te hebben

o Empirische kansdefinitie zweetkans: wet van de grote aantallen. Heel vaak een
experiment uitvoeren. Als je het experiment oneindig aantal keer uitvoert, dan wordt
fi
de relatieve frequentie meer juist benaderd: P ( A )=lim
n→∞ n
fi
Vaak P = berekenen --> benadering voor kans. Je moet dan kijken waarde
n
waarden naartoe gaan als n toeneemt. De limietwaarde us de gezochte kans.
Kans om twee te gooien bij eerlijke dobbelsteen, dan moet je heel vaak (oneindig) de
dobbelsteen opwerpen, om een heel goede benadering te komen.

¿ A ¿ gunstige
o Theoretische kansdefinitie van Laplace of weetkans: P( A)= =
¿ S ¿ mogelijke
! Let op, Laplace veronderstelt dat elke uitkomst even plausibel is (kansverdeling van
elementaire gebeurtenissen is uniform).
Kans op gooien van een twee bij eerlijke dobbelsteen : P({2}) = 1/6
#gunstige uitkomsten: 1 en #mogelijke uitkomsten: 6

 3 basisregels (axioma’s) waaraan reële functie P moet voldoen bij zowel de empiriche als de
theoretische kansdefinitie:

1. 0 ≤ P(A) ≤1

2. P(S) = 1 De som van alle kansen is 1. Er zijn geen andere uitkomsten mogelijk dan
die uit de uitkomstenruimte

3. Als A en B disjuncte gebeurtenissen zijn (A ∩ B = ø), dan geldt dat:
P (A U B) = P(A) + P(B)
A= {1 gooien}: P= 1/6 en B= {2 gooien} : P= 1/6  samen P= 1/3

, 8.3 Axiomatische kansregels
REKENREGELS

o Complementregel: P( Á )= 1 - P(A)
Kans dat iemand niet op VLD stemt: 1 - kans dat iemand op VLD stemt
P(A) := P(stemmen op VLD)= 50/250 = 0.2  P( Á )= 1-0.2 = 0.8

o Somregel: * A en B disjunct: P (A U B) = P(A) + P(B)
Kans op een A= PVDA-kiezer of een B= man, deze gebeurtenissen zijn disjunct: er zijn
geen uitkomsten die man én PVDA zijn (∅ ¿
122 2 120
P(A U B) = P(A) + P(B) = =0.49= + (zie tabel p. 308)
250 250 250
* A en B niet disjunct: P(A U B)= P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Kans op A= AGALEV-kiezer of een B= vrouw
P(A U B) = (88/250) + (130/250) - (52/250) = 166/250 = 0,67
Omdat het geen disjuncte gebeurtenissen zijn, mag je de gemeenschappelijke
elementen niet dubbel tellen en trek je ze er dus 1X vanaf!

o Productregel: voorwaardelijke kans nodig: A én B, belangrijk onderscheid tussen ‘A
priori’ en ‘A posteriori’.

 A priori – kans: de algemene slaagkans

 A posteriori- kans: de kans op voorwaarde van iets anders, voor een
specifieke subgroep. De voorwaardelijke kans P(A|B): kans op A geg B

Ook belangrijk onderscheid tussen onafhankelijke en afhankelijke
gebeurtenissen!

 ~ bij onafhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B)= P(A) . P(B)
A= VLD-stemmer ; B= man  P( A ∩ B ) = P(VLD EN MAN )= 24/250 =
0,096 P( A ) = P ( VLD ) =¿50/250 = 0,20; P( B) = P( MAN ) = 120/250 =
0,48
Dus P( A ∩ B ) = P( A ) . P( B) = 0,20 . 0,48 = 0,096

 ~ bij afhankelijke gebeurtenissen: P(A ∩ B)= P(A|B).P(B) of
P(A ∩ B)= P(B|A).P(A)
A= AGALEV-kiezer; B= man  P(A ∩ B) = P(A|B).P (B =(36/120).(120/250)
=0,14 OF P(A ∩ B) = P(B|A).P(A) = (36/88).(88/250) = 0,14

P ( A ∩ B) P ( A ∩ B)
o Regels voorwaardelijke kans: P(A|B) = of P(B|A) =
P(B) P( A)
(uit de productregel gehaald)
A= AGALEV-stemmen B= man
P ( A ∩ B) P ( AGALEV ∩ MAN ) 36 /250 36
P(A|B) = = = = =0,3
P (B) P (MAN ) 120 /250 120