Sumario Resumen Sistemas De Ecuaciones (Completo)

DISCUSIÓON Y RESOLUCIÓON DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

DISCUTIR UN SISTEMA DE ECUACIONES es 2x−3y+az=2 2 −3 a
decir cuantas soluciones tiene (0,1 o infinitas) "−2x +4z=−3 MATRIZ DE COEFICIENTES A= −2 0 4
RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES es 2ay+3z=1 0 2a 3
describir las soluciones (cuando las haya) x 2
MATRIZ DE INCOGNITAS X= y MATRIZ DE TERMINOS INDEPENDIENTES B= −3
z 1
TEOREMA DE ROUCHEi FROBENIUS l(TRF
OBSERVA: Rg(A*) ≥ Rg(A)
Dado un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incognitas, siendo A la matriz de coeficientes de las
incognitas, y A* la matriz ampliada formada por (A| B), siendo B la matriz columna formada por los terminos 2 −3 a 2
independientes del sistema, entonces se cumple que si::e A*= −2 0 4 −3
Rg(A) = Rg(A*)=n=nº incognitas SISTEMA COMPATIBLE DETERMINADO → S C D (1 SOLUCION) 0 2a 3 1
MATRIZ AMPLIADA
Rg(A) = Rg(A*)<n=nº incognitas SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO→ S C I (INFINITAS SOLUCIONES)
Rg(A) ≠ Rg(A*) SISTEMA INCOMPATIBLE → S I (0 SOLUCIONES) EN LOS SCD
REGLA DE CRAMER A ≠0
Un sistema es HOMOGENEO si todos sus terminos Podemos resolver sistemas compatibles determinados (SCD) usando esta regla:
independientes son 0, por lo que rg(A)=rg(A*) siempre |B C2 C3|
x= Sustituimos en la matriz A la columna
Si rg(A) = nº incogitas, es SCD (1 SOLUCION). La unica A
solucion seria la solucion trivial, es decir, x=0, y=0 … |C1 B C3| correspondiente a los coeficientes de la
y=
Si rg(A) < nº incognitas,es SCI (infinitas soluciones). Una de A incognita x,y,z… por la matriz
|C1 C2 B| columna B de terminos independientes
ellas siempre es la solucion trivial. z=
A
DISCUSION Y RESOLUCION DE SISTEMAS CON PARAMETRO k
EL SISTEMA TIENE EL MISMO Nº DE ECUACIONES Y DE EL SISTEMA TIENE Nº DISTINTO DE ECUACIONES QUE DE
INCOGNITAS (n) INCOGNITAS
1º Estudiar el rango de A. Para ello calcular A =0 1º Estudiar el rg(A*) segun los valores de k
2º Resolver la ecuacion anterior. Las soluciones son los valores a,b,c 2º Segun los valores hallados en el apartado anterior, hallar el
3º Si k ≠ a, b ,c.. entonces A ≠0, por lo que el rg(A)=n, El rg(A)
rg(A*) tambien es n ya que rg(A) ≤ rg(A*) ≤.n. Por el TRF (SCD, 1 3º Discutir con los valores de los rangos usando el TRF
solucionyResolver por Cramer (no sustitutuir k por ningun valor en 4º Resolver cuando sea posible.((Si es SCD y con parametro, se
particular) puede usar la regla de Cramer)
Si k = a sustituir ese valor en la matriz A*, estudiar rango de A y
A* (GAUSS, matriz escalonada) y aplicar TRF Resolver cuando se pueda
1utiliza la matriz de A* escalonada 1 .
RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN EL CASO SCD CON MATRICES
Podemos representar el sistema de forma matricial de la siguiente forma: A·X=B, siendo A·X=B
A la matriz de coeficientes de las incognitas, X la matriz columna formada por las EN LOS SCD A ≠0 Y
A-1·A·X= A-1· B
incognitas y la matriz columna B formada por los terminos independientes.

POR LO TANTO EXISTE A-1