Der Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient
• Der erste Schritt bei der Berechnung des Korrelationskoeffizienten besteht darin,
für jede Person auf beiden Variablen die Differenz zwischen ihrem Messwert und
dem Mittelwert zu bestimmen.
• Im nächsten schritt wird für jede Person das Kreuzprodukt aus ihren beiden
Abweichungswerten gebildet.
• Die Summe der Kreuzprodukte wird auch Produkt-Moment genannt.
• Das Produkt-Moment hat einige Eigenschaften, die für ein Zusammenhangsmaß
wünschenswert sind: Es wird bei positiven Zusammenhängen positiv und bei
negativen Zusammenhängen negativ. Besteht zwischen zwei Variablen kein
Zusammenhang, so nimmt es den Wert Null an. Dennoch kann es nicht als
Zusammenhangsmaß verwendet werden, weil es z.B. abhängig von der Anzahl der
Personen ist etc.
• Wir dividieren das Produk-Moment durch die Anzahl der Personen. Auf diese
Weise errechnen wir das durchschnittliche Kreuzprodukt, das auch als Kovarianz
bezeichnet wird.
• Generell gilt für die Kovarianz: Multiplizieren wir die X-Variable mit a und die Y-
Variable mit b, so wächst die Kovarianz um den Faktor a*b.
• Die Lösung besteht darin, die Kovarianz durch das Produkt der
Standardabweichungen der beiden Variablen zu teilen. Das Resultat dieser
Division ist der Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient.
• Für den Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten bedeutet dies, dass jede
Veränderung der Maßeinheiten zu proportionalen Änderungen im Zähler und im
Nenner führt. Diese Änderungen kürzen sich also heraus. Der
Korrelationskoeffizient hängt somit ausschließlich von der Stärke des linearen
Zusammenhangs zwischen zwei Variablen ab und wird durch die Maßeinheiten der
Variablen nicht beeinflusst.
• Der Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient ist gegenüber linearen
Transformationen der Variablen invariant.
Was ist eine große Korrelation?
Konventionen nach Cohen:
• r= 0,1: schwacher Zusammenhang
• r=0,3: mittlerer Zusammenhang
• r=0,5: starker Zusammenhang
z-Werte und der Produkt-Moment-Korrelationskoeffizent
• Z-Werte ermöglichen es, die Messwerte einer Person auf zwei unterschiedlichen
Variablen miteinander zu vergleichen.
• Sie geben die Lage eines Messwertes relativ zu den übrigen Werten in einer
Stichprobe an: Ein positiver z-Wert zeigt, dass der entsprechende Messwert
oberhalb des Mittelwerts liegt.
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• Der erste Schritt bei der Berechnung des Korrelationskoeffizienten besteht darin,
für jede Person auf beiden Variablen die Differenz zwischen ihrem Messwert und
dem Mittelwert zu bestimmen.
• Im nächsten schritt wird für jede Person das Kreuzprodukt aus ihren beiden
Abweichungswerten gebildet.
• Die Summe der Kreuzprodukte wird auch Produkt-Moment genannt.
• Das Produkt-Moment hat einige Eigenschaften, die für ein Zusammenhangsmaß
wünschenswert sind: Es wird bei positiven Zusammenhängen positiv und bei
negativen Zusammenhängen negativ. Besteht zwischen zwei Variablen kein
Zusammenhang, so nimmt es den Wert Null an. Dennoch kann es nicht als
Zusammenhangsmaß verwendet werden, weil es z.B. abhängig von der Anzahl der
Personen ist etc.
• Wir dividieren das Produk-Moment durch die Anzahl der Personen. Auf diese
Weise errechnen wir das durchschnittliche Kreuzprodukt, das auch als Kovarianz
bezeichnet wird.
• Generell gilt für die Kovarianz: Multiplizieren wir die X-Variable mit a und die Y-
Variable mit b, so wächst die Kovarianz um den Faktor a*b.
• Die Lösung besteht darin, die Kovarianz durch das Produkt der
Standardabweichungen der beiden Variablen zu teilen. Das Resultat dieser
Division ist der Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient.
• Für den Produkt-Moment-Korrelationskoeffizienten bedeutet dies, dass jede
Veränderung der Maßeinheiten zu proportionalen Änderungen im Zähler und im
Nenner führt. Diese Änderungen kürzen sich also heraus. Der
Korrelationskoeffizient hängt somit ausschließlich von der Stärke des linearen
Zusammenhangs zwischen zwei Variablen ab und wird durch die Maßeinheiten der
Variablen nicht beeinflusst.
• Der Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient ist gegenüber linearen
Transformationen der Variablen invariant.
Was ist eine große Korrelation?
Konventionen nach Cohen:
• r= 0,1: schwacher Zusammenhang
• r=0,3: mittlerer Zusammenhang
• r=0,5: starker Zusammenhang
z-Werte und der Produkt-Moment-Korrelationskoeffizent
• Z-Werte ermöglichen es, die Messwerte einer Person auf zwei unterschiedlichen
Variablen miteinander zu vergleichen.
• Sie geben die Lage eines Messwertes relativ zu den übrigen Werten in einer
Stichprobe an: Ein positiver z-Wert zeigt, dass der entsprechende Messwert
oberhalb des Mittelwerts liegt.
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