Hoofdstuk 1 - Functies van een variabele
Inputvariable/onafhankelijke (𝑥) heeft een domein wat staat voor alle mogelijke input. Dat
betekent dat de lijn op de grafiek dus niet buiten het domein kan vallen:
(0,10) grens telt niet mee
[0,10] grens telt wel mee
Outputvariabele/afhankelijke (𝑦) heeft een bereik: [minimale domein, maximale domein].
Grafiek schetsen
1. Nulpunten achterhalen, dus 𝑦 = 0. Als het nulpunt niet binnen het domein valt, is het
ongeldig.
2. Middelpunt hoogste/laagste punt
3. Snijpunt met y-as, dus 𝑥 = 0
Tip bij lineaire functie (𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏): negatief getal voor ‘a’ is een dalende lijn, positief getal
voor ‘a’ is een stijgende lijn.
Snijpunten van twee functies berekenen
1. 𝑥 achterhalen door de functies gelijk te stellen
2. De gevonden x bij een traditionele functie invullen om 𝑦 te achterhalen
3. Punt noteren (𝑥, 𝑦)
Type functies
1. Constante functie: 𝑦 = 𝑐
Geen nulpunt, tenzij 𝑦 = 0
2. Lineaire functie: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑎 ≠ 0 want dat is een constante functie
1 snijpunt
3. Kwadratische functie: 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎 ≠ 0, want dat is een lineaire functie
Bij 𝑎 = 0 en 𝑏 = 0, constante functie
Bij 𝑎 = 0 en 𝑏 ≠ 0, lineaire functie
𝑎 > 0 Dal (blije smiley, want groter dan nul)
𝑎 < 0 Berg (boze smiley, want kleiner dan nul)
Het is niet mogelijk om 02 te vereenvoudigen, dus gebruik je de discriminant
om de snijpunten met x-as/ nulpunten te berekenen: 𝒃𝟐 – 𝟒𝒂𝒄
−𝑏− √𝐷 −𝑏+ √𝐷
1. D > 0, dal met twee nulpunten: en
2𝑎 2𝑎
2. D < 0, geen nulpunten
−𝑏
3. D = 0, één snijpunt:
2𝑎
Let op: neem de tekens voor 𝑎, 𝑏 en 𝑐 mee in de functie.
Als 𝑐 ontbreekt in de kwadratische functie, wordt 𝑎𝑥 2 + 𝑏 opgelost (niet met de discriminant!).
Let op bij twee functies aan elkaar gelijkstellen: altijd de 𝑥 controleren in beide traditionele
functies, want ze moeten dezelfde uitkomsten hebben bij 𝑦, anders geldt de 𝑥 niet.
Pre-master Strategic Management I Final Wiskunde I Nijskens, M.W.G. 1
,Ongelijkheden oplossen (< of >)
1. Formule opschrijven: 𝑝 2 – 36 < 0
2. 𝑥(‘en) achterhalen door functie gelijk te stellen aan 0 (gebruik discriminant indien nodig).
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) – 𝑔(𝑥) bij twee functies. Let op: altijd x controleren in beide traditionele functies.
3. Tekenschema
4. Aflezen
D>0 𝑥 < −6 of 𝑥 > 6
D=0 𝑥 = 6 of 𝑥 = −6
D<0 −6 < 𝑥 < 6 Je kunt het ook noteren als 𝑝 ∈ (−6,6). Let wel op de haakjes
Polynomiale functie en nulpunten
Dit is een combinatie van machtsfuncties met hele positieve kwadraten. Graad is het hoogste
kwadraat in de functie.
1
𝑥 −4 = dit heeft geen logica.
𝑥4
Let op! 𝑥 > 0, want delen door 0 kan niet. Bij het tekenschema mag je daarom geen
nulpunt invullen, maar vul je bij 𝑥 = 0 een * in.
𝑥 3 – 3𝑥 2 + 2𝑥 = 0
𝑥 (𝑥 2 – 3𝑥 + 2) = 0 𝑥 = 0
𝑥 2 – 3𝑥 + 2 = 0 Uitwerken met discriminant: 𝑥 = 1, 𝑥 = 2
Tip: als de graden veelvoud zijn, vul 𝑝 in als 𝑥 2 . Let hierbij wel op dat je op het eind nog
terugrekend naar 𝑥 (in plaats van 𝑥 2 )
“Bereken de snijpunten van de grafieken van deze functies”
1. Functies gelijkstellen om een nieuwe functie te formuleren
2. Nulpunten/ snijpunten met x-as van nieuwe functie achterhalen.
3. 𝑥’en invullen bij een van de traditionele functies om de 𝑦 te bereken die kruist
4. Punt noteren (𝑥, 𝑦)
“Bereken ‘a’ van een lineaire functie (𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏) in het punt (2,3)”
𝑦2 − 𝑦1
𝑎 = 𝑥2 − 𝑥1
Nu kun je 𝑏 ook berekenen, door het punt in te vullen in de functie.
Rekenen met log, ln en e
8 = 2𝑝 𝑝 = 𝑥 2 𝑙𝑜𝑔 8
3
8 = 𝑥3 𝑥 = √8
log(𝑥 ∗ 𝑦) log(𝑥) + log(𝑦)
log(𝑥/ 𝑦) log(𝑥) − log(𝑦)
log(1) = 0
𝑙𝑛 𝑥 = 𝑦 𝑥 = 𝑒𝑦
𝑒 ln 𝑥 = 𝑥 𝑒 𝑙𝑛 valt weg voorbeeld: 𝑦 – 3 = ln √𝑥 − 2
𝑒 𝑦−3 = √𝑥 − 2
Pre-master Strategic Management I Final Wiskunde I Nijskens, M.W.G. 2
, Regels
√𝑥 + 3 = 2𝑥 (√𝑥 + 3)2 = (2𝑥)2 𝑥 + 3 = 4𝑥 2
1 𝑚 1
𝑛
𝑥 2 = √𝑥 𝑥 𝑛 = √𝑚 (4 log 2)3 = 3√4 log 2
(𝑥 2 )3 = 𝑥 6
23 ∙ 33 = 63 bij dezelfde machten
𝑥0 = 1
𝑥 (𝑥 2 + 3) = 𝑥 3 + 3𝑥
𝑥2 ∙ 𝑥3 = 𝑥5 optellen
4𝑥 2 − 2𝑥 2 = 2𝑥 2
2 −6
2𝑥 = 2𝑥 𝑥 = 𝑥2 − 6
2−𝑥
− (−𝑥 + 1) = 0 2 − 𝑥 = (−𝑥 + 1)(𝑥 + 3)
𝑥+3
𝑥 𝑎 𝑥2
− =2 − 𝑎 = 2𝑥 𝑥 2 − 3𝑎 = 6𝑥
3 𝑥 3
16 16
− 4
𝑞−4 −4 4
− teller : −4 om breuk weg te halen
−4 𝑞−4 𝑞
2𝑥𝑒 𝑥 + 𝑥 2 𝑒 𝑥 = 0
𝑒 𝑥 (2𝑥 + 𝑥 2 ) = 0 als 𝑒 𝑥 > 0, dit kan namelijk niet ≤ 0 (rekenmachine)
2𝑥 + 𝑥 2 = 0
Pre-master Strategic Management I Final Wiskunde I Nijskens, M.W.G. 3
Inputvariable/onafhankelijke (𝑥) heeft een domein wat staat voor alle mogelijke input. Dat
betekent dat de lijn op de grafiek dus niet buiten het domein kan vallen:
(0,10) grens telt niet mee
[0,10] grens telt wel mee
Outputvariabele/afhankelijke (𝑦) heeft een bereik: [minimale domein, maximale domein].
Grafiek schetsen
1. Nulpunten achterhalen, dus 𝑦 = 0. Als het nulpunt niet binnen het domein valt, is het
ongeldig.
2. Middelpunt hoogste/laagste punt
3. Snijpunt met y-as, dus 𝑥 = 0
Tip bij lineaire functie (𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏): negatief getal voor ‘a’ is een dalende lijn, positief getal
voor ‘a’ is een stijgende lijn.
Snijpunten van twee functies berekenen
1. 𝑥 achterhalen door de functies gelijk te stellen
2. De gevonden x bij een traditionele functie invullen om 𝑦 te achterhalen
3. Punt noteren (𝑥, 𝑦)
Type functies
1. Constante functie: 𝑦 = 𝑐
Geen nulpunt, tenzij 𝑦 = 0
2. Lineaire functie: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑎 ≠ 0 want dat is een constante functie
1 snijpunt
3. Kwadratische functie: 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎 ≠ 0, want dat is een lineaire functie
Bij 𝑎 = 0 en 𝑏 = 0, constante functie
Bij 𝑎 = 0 en 𝑏 ≠ 0, lineaire functie
𝑎 > 0 Dal (blije smiley, want groter dan nul)
𝑎 < 0 Berg (boze smiley, want kleiner dan nul)
Het is niet mogelijk om 02 te vereenvoudigen, dus gebruik je de discriminant
om de snijpunten met x-as/ nulpunten te berekenen: 𝒃𝟐 – 𝟒𝒂𝒄
−𝑏− √𝐷 −𝑏+ √𝐷
1. D > 0, dal met twee nulpunten: en
2𝑎 2𝑎
2. D < 0, geen nulpunten
−𝑏
3. D = 0, één snijpunt:
2𝑎
Let op: neem de tekens voor 𝑎, 𝑏 en 𝑐 mee in de functie.
Als 𝑐 ontbreekt in de kwadratische functie, wordt 𝑎𝑥 2 + 𝑏 opgelost (niet met de discriminant!).
Let op bij twee functies aan elkaar gelijkstellen: altijd de 𝑥 controleren in beide traditionele
functies, want ze moeten dezelfde uitkomsten hebben bij 𝑦, anders geldt de 𝑥 niet.
Pre-master Strategic Management I Final Wiskunde I Nijskens, M.W.G. 1
,Ongelijkheden oplossen (< of >)
1. Formule opschrijven: 𝑝 2 – 36 < 0
2. 𝑥(‘en) achterhalen door functie gelijk te stellen aan 0 (gebruik discriminant indien nodig).
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) – 𝑔(𝑥) bij twee functies. Let op: altijd x controleren in beide traditionele functies.
3. Tekenschema
4. Aflezen
D>0 𝑥 < −6 of 𝑥 > 6
D=0 𝑥 = 6 of 𝑥 = −6
D<0 −6 < 𝑥 < 6 Je kunt het ook noteren als 𝑝 ∈ (−6,6). Let wel op de haakjes
Polynomiale functie en nulpunten
Dit is een combinatie van machtsfuncties met hele positieve kwadraten. Graad is het hoogste
kwadraat in de functie.
1
𝑥 −4 = dit heeft geen logica.
𝑥4
Let op! 𝑥 > 0, want delen door 0 kan niet. Bij het tekenschema mag je daarom geen
nulpunt invullen, maar vul je bij 𝑥 = 0 een * in.
𝑥 3 – 3𝑥 2 + 2𝑥 = 0
𝑥 (𝑥 2 – 3𝑥 + 2) = 0 𝑥 = 0
𝑥 2 – 3𝑥 + 2 = 0 Uitwerken met discriminant: 𝑥 = 1, 𝑥 = 2
Tip: als de graden veelvoud zijn, vul 𝑝 in als 𝑥 2 . Let hierbij wel op dat je op het eind nog
terugrekend naar 𝑥 (in plaats van 𝑥 2 )
“Bereken de snijpunten van de grafieken van deze functies”
1. Functies gelijkstellen om een nieuwe functie te formuleren
2. Nulpunten/ snijpunten met x-as van nieuwe functie achterhalen.
3. 𝑥’en invullen bij een van de traditionele functies om de 𝑦 te bereken die kruist
4. Punt noteren (𝑥, 𝑦)
“Bereken ‘a’ van een lineaire functie (𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏) in het punt (2,3)”
𝑦2 − 𝑦1
𝑎 = 𝑥2 − 𝑥1
Nu kun je 𝑏 ook berekenen, door het punt in te vullen in de functie.
Rekenen met log, ln en e
8 = 2𝑝 𝑝 = 𝑥 2 𝑙𝑜𝑔 8
3
8 = 𝑥3 𝑥 = √8
log(𝑥 ∗ 𝑦) log(𝑥) + log(𝑦)
log(𝑥/ 𝑦) log(𝑥) − log(𝑦)
log(1) = 0
𝑙𝑛 𝑥 = 𝑦 𝑥 = 𝑒𝑦
𝑒 ln 𝑥 = 𝑥 𝑒 𝑙𝑛 valt weg voorbeeld: 𝑦 – 3 = ln √𝑥 − 2
𝑒 𝑦−3 = √𝑥 − 2
Pre-master Strategic Management I Final Wiskunde I Nijskens, M.W.G. 2
, Regels
√𝑥 + 3 = 2𝑥 (√𝑥 + 3)2 = (2𝑥)2 𝑥 + 3 = 4𝑥 2
1 𝑚 1
𝑛
𝑥 2 = √𝑥 𝑥 𝑛 = √𝑚 (4 log 2)3 = 3√4 log 2
(𝑥 2 )3 = 𝑥 6
23 ∙ 33 = 63 bij dezelfde machten
𝑥0 = 1
𝑥 (𝑥 2 + 3) = 𝑥 3 + 3𝑥
𝑥2 ∙ 𝑥3 = 𝑥5 optellen
4𝑥 2 − 2𝑥 2 = 2𝑥 2
2 −6
2𝑥 = 2𝑥 𝑥 = 𝑥2 − 6
2−𝑥
− (−𝑥 + 1) = 0 2 − 𝑥 = (−𝑥 + 1)(𝑥 + 3)
𝑥+3
𝑥 𝑎 𝑥2
− =2 − 𝑎 = 2𝑥 𝑥 2 − 3𝑎 = 6𝑥
3 𝑥 3
16 16
− 4
𝑞−4 −4 4
− teller : −4 om breuk weg te halen
−4 𝑞−4 𝑞
2𝑥𝑒 𝑥 + 𝑥 2 𝑒 𝑥 = 0
𝑒 𝑥 (2𝑥 + 𝑥 2 ) = 0 als 𝑒 𝑥 > 0, dit kan namelijk niet ≤ 0 (rekenmachine)
2𝑥 + 𝑥 2 = 0
Pre-master Strategic Management I Final Wiskunde I Nijskens, M.W.G. 3
