Reken-wiskundedidactiek
Hele getallen
Zanten, Bergh, Brom-Snijders & Hutten
Tweede druk, 2014
,Inhoud
1. Hele getallen ............................................................................................................................................ 3
1.1 Getallen zie je overal ........................................................................................................................ 3
1.2 Ons getalsysteem ............................................................................................................................. 3
1.3 Eigenschappen van getallen ............................................................................................................. 3
1.4 Basisbewerkingen ............................................................................................................................ 4
1.5 Wiskundetaal bij hele getallen .......................................................................................................... 4
2. Ontluikende gecijferdheid ........................................................................................................................ 5
2.2 Elementair getalbegrip ............................................................................................................................ 6
3. Aanvankelijk tellen ................................................................................................................................... 7
3.2 Verder werken aan getalbegrip ............................................................................................................... 8
3.3 Optellen en aftrekken t/m 10 .................................................................................................................. 8
3.4 Betekenissen van optellen en aftrekken .................................................................................................. 8
3.5 Optellen en aftrekken over de 10 ............................................................................................................ 9
4. Basisbewerkingen................................................................................................................................... 10
4.2 Optellen en aftrekken ........................................................................................................................... 11
4.3 Elementair vermenigvuldigen en delen.................................................................................................. 12
5. Reken-wiskunde met hele getallen in de bovenbouw. ............................................................................. 13
5.2 Hoofdrekenen in de bovenbouw ........................................................................................................... 14
5.3 Schriftelijk rekenen ............................................................................................................................... 14
5.4 Schattend rekenen ................................................................................................................................ 16
5.5 Rekenen met de rekenmachine ............................................................................................................. 16
5.6 Combinatoriek ...................................................................................................................................... 17
7. Leren en onderwijzen van reken-wiskunde .................................................................................................. 17
7.1 Domeinen en doelen ............................................................................................................................. 17
7.1.1 Gecijferdheid ................................................................................................................................. 17
7.1.2 Doelen – zie blz 196 voor een voorbeeld ........................................................................................ 18
7.2 leerprocessen bij rekenen-wiskunde ..................................................................................................... 19
7.2.1 Kennis bij rekenen-wiskunde.......................................................................................................... 19
7.2.2 Rekenen-wiskunde leren ................................................................................................................ 19
7.2.3 Leertheorieën ................................................................................................................................ 19
7.3 Vakdidactiek rekenen-wiskunde ............................................................................................................ 20
7.3.1 Onderwijs leerprincipes rekenen-wiskunde .................................................................................... 20
7.3.2 Didactische modellen ..................................................................................................................... 21
7.3.3 Ontwikkelen in rekenen-wiskunde didactiek................................................................................... 22
8. Differentiatie .............................................................................................................................................. 22
8.2.1 Waarnemen: verzamelen van gegevens.............................................................................................. 22
Uitleg getallenstelsels e.d................................................................................................................................ 23
, 1. Hele getallen
1.1 Getallen zie je overal
• Getallen hebben verschillende functies en verschijningsvormen:
- Ordinaalgetal (of telgetal): geeft de rangorde aan in de telrij
- Hoeveelheidsgetal (of kardinaalgetal): geeft een bepaalde hoeveelheid aan
- Naamgetal: het getal heeft een naam (buslijn 4)
- Meetgetal: geeft een maat aan – leeftijd, meters, etc.
- Formeelgetal: een kaal rekengetal, zoals in een som.
Getallen:
• Natuurlijke getallen: de getallen waarmee we tellen.
• Hele getallen: alle natuurlijke getallen en negatieve hele getallen.
1.2 Ons getalsysteem
• Talstelsel/getallenstelsel/getalsysteem= het systeem om getallen in een rij cijfers weer te geven.
Eigenschappen van het getalsysteem:
• Arabische getalsysteem bestaat uit de cijfers 0 t/m 9 heeft geen decimale structuur.
• Een getal bestaat uit 1 of meer cijfersymbolen.
• Plaats/positiewaarde bepaalt de waarde van het getal positionele notatie is kenmerkend voor
het positioneel getalsysteem.
Geschiedenis van het getalsysteem:
• Vroeger Egyptisch en Romeins getalsysteem = additief systeem.
• Additief systeem= de waarde van het voorgestelde getal wordt bepaald door het totaal van de
symbolen.
• Substractief principe= als een symbool met een kleinere waarde staat, dan wordt de waarde van
het eerste symbool afgetrokken van de waarde van het tweede symbool (in het nieuw Romeinse
systeem, sinds de middeleeuwen).
Romeins cijfer Waarde
Andere talstelsels: I 1
• Binaire talstelsels (tweetallig) computerwereld V 5
• Hexadecimale talstelsel (zestientallig) X 10
• Sexadecimale talstelsel (zestallig) L 50
• Babylonische talstelsel (tijd en hoekmeting) C 100
• Octale talstelsel (achttallig) D 500
• Metriekstelsel: elke eenheid wordt in stappen van 10 groter of kleiner M 1000
1.3 Eigenschappen van getallen
Deelbaarheid:
• Een getal is deelbaar als de rest gelijk is aan 0.
• Priemgetallen = getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en door zichzelf. Bv het getal 7. Deze is
alleen deelbaar door 1 en door 7 (ook wel strookgetallen genoemd).
De eerste priemgetallen zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97, ...
• Alle getallen zijn te ontbinden in priemgetallen. Bijvoorbeeld: 18 kun je ontbinden in 2x3x3
• GGD = grootst gemene deler. Het gaat om het grootste getal dat deler is van 2 of meer getallen.
De GGD (54, 36) is 18.
Hele getallen
Zanten, Bergh, Brom-Snijders & Hutten
Tweede druk, 2014
,Inhoud
1. Hele getallen ............................................................................................................................................ 3
1.1 Getallen zie je overal ........................................................................................................................ 3
1.2 Ons getalsysteem ............................................................................................................................. 3
1.3 Eigenschappen van getallen ............................................................................................................. 3
1.4 Basisbewerkingen ............................................................................................................................ 4
1.5 Wiskundetaal bij hele getallen .......................................................................................................... 4
2. Ontluikende gecijferdheid ........................................................................................................................ 5
2.2 Elementair getalbegrip ............................................................................................................................ 6
3. Aanvankelijk tellen ................................................................................................................................... 7
3.2 Verder werken aan getalbegrip ............................................................................................................... 8
3.3 Optellen en aftrekken t/m 10 .................................................................................................................. 8
3.4 Betekenissen van optellen en aftrekken .................................................................................................. 8
3.5 Optellen en aftrekken over de 10 ............................................................................................................ 9
4. Basisbewerkingen................................................................................................................................... 10
4.2 Optellen en aftrekken ........................................................................................................................... 11
4.3 Elementair vermenigvuldigen en delen.................................................................................................. 12
5. Reken-wiskunde met hele getallen in de bovenbouw. ............................................................................. 13
5.2 Hoofdrekenen in de bovenbouw ........................................................................................................... 14
5.3 Schriftelijk rekenen ............................................................................................................................... 14
5.4 Schattend rekenen ................................................................................................................................ 16
5.5 Rekenen met de rekenmachine ............................................................................................................. 16
5.6 Combinatoriek ...................................................................................................................................... 17
7. Leren en onderwijzen van reken-wiskunde .................................................................................................. 17
7.1 Domeinen en doelen ............................................................................................................................. 17
7.1.1 Gecijferdheid ................................................................................................................................. 17
7.1.2 Doelen – zie blz 196 voor een voorbeeld ........................................................................................ 18
7.2 leerprocessen bij rekenen-wiskunde ..................................................................................................... 19
7.2.1 Kennis bij rekenen-wiskunde.......................................................................................................... 19
7.2.2 Rekenen-wiskunde leren ................................................................................................................ 19
7.2.3 Leertheorieën ................................................................................................................................ 19
7.3 Vakdidactiek rekenen-wiskunde ............................................................................................................ 20
7.3.1 Onderwijs leerprincipes rekenen-wiskunde .................................................................................... 20
7.3.2 Didactische modellen ..................................................................................................................... 21
7.3.3 Ontwikkelen in rekenen-wiskunde didactiek................................................................................... 22
8. Differentiatie .............................................................................................................................................. 22
8.2.1 Waarnemen: verzamelen van gegevens.............................................................................................. 22
Uitleg getallenstelsels e.d................................................................................................................................ 23
, 1. Hele getallen
1.1 Getallen zie je overal
• Getallen hebben verschillende functies en verschijningsvormen:
- Ordinaalgetal (of telgetal): geeft de rangorde aan in de telrij
- Hoeveelheidsgetal (of kardinaalgetal): geeft een bepaalde hoeveelheid aan
- Naamgetal: het getal heeft een naam (buslijn 4)
- Meetgetal: geeft een maat aan – leeftijd, meters, etc.
- Formeelgetal: een kaal rekengetal, zoals in een som.
Getallen:
• Natuurlijke getallen: de getallen waarmee we tellen.
• Hele getallen: alle natuurlijke getallen en negatieve hele getallen.
1.2 Ons getalsysteem
• Talstelsel/getallenstelsel/getalsysteem= het systeem om getallen in een rij cijfers weer te geven.
Eigenschappen van het getalsysteem:
• Arabische getalsysteem bestaat uit de cijfers 0 t/m 9 heeft geen decimale structuur.
• Een getal bestaat uit 1 of meer cijfersymbolen.
• Plaats/positiewaarde bepaalt de waarde van het getal positionele notatie is kenmerkend voor
het positioneel getalsysteem.
Geschiedenis van het getalsysteem:
• Vroeger Egyptisch en Romeins getalsysteem = additief systeem.
• Additief systeem= de waarde van het voorgestelde getal wordt bepaald door het totaal van de
symbolen.
• Substractief principe= als een symbool met een kleinere waarde staat, dan wordt de waarde van
het eerste symbool afgetrokken van de waarde van het tweede symbool (in het nieuw Romeinse
systeem, sinds de middeleeuwen).
Romeins cijfer Waarde
Andere talstelsels: I 1
• Binaire talstelsels (tweetallig) computerwereld V 5
• Hexadecimale talstelsel (zestientallig) X 10
• Sexadecimale talstelsel (zestallig) L 50
• Babylonische talstelsel (tijd en hoekmeting) C 100
• Octale talstelsel (achttallig) D 500
• Metriekstelsel: elke eenheid wordt in stappen van 10 groter of kleiner M 1000
1.3 Eigenschappen van getallen
Deelbaarheid:
• Een getal is deelbaar als de rest gelijk is aan 0.
• Priemgetallen = getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en door zichzelf. Bv het getal 7. Deze is
alleen deelbaar door 1 en door 7 (ook wel strookgetallen genoemd).
De eerste priemgetallen zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
73, 79, 83, 89, 97, ...
• Alle getallen zijn te ontbinden in priemgetallen. Bijvoorbeeld: 18 kun je ontbinden in 2x3x3
• GGD = grootst gemene deler. Het gaat om het grootste getal dat deler is van 2 of meer getallen.
De GGD (54, 36) is 18.
