Kansrekening
De wetten van kansrekening beantwoorden de vraag: “wat zal er gebeuren als we dit
meerdere keren deden?”
Kansen beschrijven alleen wat er gebeurt op langere termijn. Meeste mensen schatten/
verwachten kans uitkomsten meer op korte termijn dan eigenlijk waar is. Om de
daadwerkelijke kans te kunnen vaststellen is er heel veel herhaling nodig.
“Random” is in de statistiek geen synoniem voor “lukraak”. Het is een beschrijving van ee
situatie die verschijnt op lange termijn. We stuitten vaak op de onvoorspelbaarheidskant van
randomisatie in onze dagelijkse ervaringen. Maar we zien eigenlijk nooit genoeg herhalingen
van dezelfde willekeurige fenomenen om de lange termijn realiteit te zien die kansen
beschrijft.
Een kans van 0.5 betekent: het komt voor bij de helft van de keren in een groot nummer van
herhalingen.
We noemen iets random wanneer individuele uitkomsten onzeker zijn, maar er niettemin
een “gewone” verdeling van uitkomsten is in een groot aantal herhalingen. De kans van een
uitkomst van een random fenomeen is de proportie van keren dat de uitkomst zal
verschijnen bij een lange serie aan herhalingen.
We spreken van fair wanneer een kans echt gelijk is aan een verwachte kans. Bijvoorbeeld
een munt. Een munt kan deuken hebben, maar bij experimenten gaan we ervan uit dat we
met een fair probability werken. Dus een kans van 0.5 op kop en een kans van 0.5 op
munt.
Omdat kansen allen beschrijven wat er kan gebeuren bij heel veel herhalingen, moeten we
dus ook veel herhalingen observeren voordat we iets over die kansen kunnen zeggen. De
theorie van kansberekening is een wiskundige tak dat “random gedrag” beschrijft. Maar het
is nooit exact. Get is een verbeelding van wat er kan gebeuren.
Als je randomisatie onderzoekt onthoud dan de volgende zaken:
• Je moet een serie van onafhankelijke “trails” hebben. Onafhankelijk betekent dat de
uitkomst van de één de uitkomst van de andere trail niet beïnvloed.
• Het idee van kansen is empirisch. We kunnen een “real-world” kans alleen vaststellen
na het observeren van meerdere trajecten.
• Simulaties zijn erg helpen omdat we lange termijn situaties willen onderzoeken. Korte
termijn effecten geven alleen “ruig” de kansen weer.
Een kansmodel is de beschrijving van een random fenomeen in de taal van wiskunde. Een
kansmodel omvat een lijst van mogelijke uitkomsten en een kans voor elke uitkomst. De
mogelijke uitkomsten omschrijven is het startpunt bij kansrekening. Pas daarna probeer je er
achter te komen wat de bijbehorende kansen zijn en hoe we die kunnen toewijzen aan de
uitkomsten.
Sample spaces van een random fenomeen is de set van alle mogelijke uitkomsten. We
definiëren “S” als alle uitkomsten. Meestal hebben we wat vrijheid in het kiezen van S. Maar
naast gemak is correctheid hierin ook noodzakelijk.
Het opgooien van een munt heeft in een trail van 1 bijvoorbeeld twee mogelijke uitkomsten.
S= (Kop, Munt). Als een munt vier keer gegooid wordt verandert daarmee S. S=
(KKMM;KMKM;KMMK;MMKK;MKMK).
, Het mooie van kansmodellen is dat je voor verschillende fenomenen hetzelfde kansmodel
kan gebruiken.
Een event is een uitkomst of een set van uitkomsten van een random fenomeen. Een event
is een deelverzameling van S. Meestal worden events aangeduid met beginletters van het
alfabet. Bijvoorbeeld: A of een event B. Een event bij het opgooien van een munt kan
bijvoorbeeld A zijn en A staat dan voor het vier keer opgooien van een munt:
A= (KKMM;KMKM;KMMK;MMKK;MKMK). En B = het 2 keer opgooien van een munt.
Bij kansrekening heb je te maken met een aantal regels. De basisbeginselen zijn als volgt:
1) Een kans is een nummer tussen 0 en 1. 0 is een event dat nooit voorkomt in S en 1 is
een event dat altijd voorkomt in een trail. Bij 0.5 verschijnt het event op de lange
termijn de helft van de aantal keren.
2) Alle uitkomsten samen moeten de kans van 1 hebben. De som van alle kansen is
exact 1.
3) Als twee events geen gelijke uitkomsten hebben, dan is de kans dat de een of de
ander voorkomt de soms van hun individuele kansen. Bijvoorbeeld: als een event
40% van alle trails verschijnt en een ander 25% en de twee kunnen nooit samen
verschijnen dan is de kans dat de een of de ander verschijnt 65% (40+25 = 65).
4) De kans dat een event niet voorkomt is 1-p (p is de kans dat het event wel verschijnt).
Als iets bijvoorbeeld 70% voorkomt is de kans op “falen” 30%. 100%-70% = 30%.
Deze kansregels worden in wiskundige taal heel kort samengevat:
1) De kans van P(A) of welk event dan ook 0<P(A)<1.
2) Als S de voorbeeldruimte is in het kans model dan geldt: P(S) =1
3) Als twee events A en B uit elkaar liggen en geen gelijke uitkomst hebben (ze kunnen
niet samen voorkomen) P(A of B) = P(A) + P(B).
4) De complement (de kans die je niet wilt) van “A” (A*) kan je afhalen van de complete
𝑘𝑎𝑛𝑠. 1 − 𝑃(𝐴 ∗) = 𝑃(𝐴) 𝑜𝑓 𝑃(𝐴 ∗) = 1 − 𝑃(𝐴).
Een venn diagram kan handig zijn om een visualisatie te geven van een kansmodel. S is
dan de gehele box en de events liggen er in.
A
B P(A of B) = P(A) + P(B).
A
1- P(A) = P(A*)
De wetten van kansrekening beantwoorden de vraag: “wat zal er gebeuren als we dit
meerdere keren deden?”
Kansen beschrijven alleen wat er gebeurt op langere termijn. Meeste mensen schatten/
verwachten kans uitkomsten meer op korte termijn dan eigenlijk waar is. Om de
daadwerkelijke kans te kunnen vaststellen is er heel veel herhaling nodig.
“Random” is in de statistiek geen synoniem voor “lukraak”. Het is een beschrijving van ee
situatie die verschijnt op lange termijn. We stuitten vaak op de onvoorspelbaarheidskant van
randomisatie in onze dagelijkse ervaringen. Maar we zien eigenlijk nooit genoeg herhalingen
van dezelfde willekeurige fenomenen om de lange termijn realiteit te zien die kansen
beschrijft.
Een kans van 0.5 betekent: het komt voor bij de helft van de keren in een groot nummer van
herhalingen.
We noemen iets random wanneer individuele uitkomsten onzeker zijn, maar er niettemin
een “gewone” verdeling van uitkomsten is in een groot aantal herhalingen. De kans van een
uitkomst van een random fenomeen is de proportie van keren dat de uitkomst zal
verschijnen bij een lange serie aan herhalingen.
We spreken van fair wanneer een kans echt gelijk is aan een verwachte kans. Bijvoorbeeld
een munt. Een munt kan deuken hebben, maar bij experimenten gaan we ervan uit dat we
met een fair probability werken. Dus een kans van 0.5 op kop en een kans van 0.5 op
munt.
Omdat kansen allen beschrijven wat er kan gebeuren bij heel veel herhalingen, moeten we
dus ook veel herhalingen observeren voordat we iets over die kansen kunnen zeggen. De
theorie van kansberekening is een wiskundige tak dat “random gedrag” beschrijft. Maar het
is nooit exact. Get is een verbeelding van wat er kan gebeuren.
Als je randomisatie onderzoekt onthoud dan de volgende zaken:
• Je moet een serie van onafhankelijke “trails” hebben. Onafhankelijk betekent dat de
uitkomst van de één de uitkomst van de andere trail niet beïnvloed.
• Het idee van kansen is empirisch. We kunnen een “real-world” kans alleen vaststellen
na het observeren van meerdere trajecten.
• Simulaties zijn erg helpen omdat we lange termijn situaties willen onderzoeken. Korte
termijn effecten geven alleen “ruig” de kansen weer.
Een kansmodel is de beschrijving van een random fenomeen in de taal van wiskunde. Een
kansmodel omvat een lijst van mogelijke uitkomsten en een kans voor elke uitkomst. De
mogelijke uitkomsten omschrijven is het startpunt bij kansrekening. Pas daarna probeer je er
achter te komen wat de bijbehorende kansen zijn en hoe we die kunnen toewijzen aan de
uitkomsten.
Sample spaces van een random fenomeen is de set van alle mogelijke uitkomsten. We
definiëren “S” als alle uitkomsten. Meestal hebben we wat vrijheid in het kiezen van S. Maar
naast gemak is correctheid hierin ook noodzakelijk.
Het opgooien van een munt heeft in een trail van 1 bijvoorbeeld twee mogelijke uitkomsten.
S= (Kop, Munt). Als een munt vier keer gegooid wordt verandert daarmee S. S=
(KKMM;KMKM;KMMK;MMKK;MKMK).
, Het mooie van kansmodellen is dat je voor verschillende fenomenen hetzelfde kansmodel
kan gebruiken.
Een event is een uitkomst of een set van uitkomsten van een random fenomeen. Een event
is een deelverzameling van S. Meestal worden events aangeduid met beginletters van het
alfabet. Bijvoorbeeld: A of een event B. Een event bij het opgooien van een munt kan
bijvoorbeeld A zijn en A staat dan voor het vier keer opgooien van een munt:
A= (KKMM;KMKM;KMMK;MMKK;MKMK). En B = het 2 keer opgooien van een munt.
Bij kansrekening heb je te maken met een aantal regels. De basisbeginselen zijn als volgt:
1) Een kans is een nummer tussen 0 en 1. 0 is een event dat nooit voorkomt in S en 1 is
een event dat altijd voorkomt in een trail. Bij 0.5 verschijnt het event op de lange
termijn de helft van de aantal keren.
2) Alle uitkomsten samen moeten de kans van 1 hebben. De som van alle kansen is
exact 1.
3) Als twee events geen gelijke uitkomsten hebben, dan is de kans dat de een of de
ander voorkomt de soms van hun individuele kansen. Bijvoorbeeld: als een event
40% van alle trails verschijnt en een ander 25% en de twee kunnen nooit samen
verschijnen dan is de kans dat de een of de ander verschijnt 65% (40+25 = 65).
4) De kans dat een event niet voorkomt is 1-p (p is de kans dat het event wel verschijnt).
Als iets bijvoorbeeld 70% voorkomt is de kans op “falen” 30%. 100%-70% = 30%.
Deze kansregels worden in wiskundige taal heel kort samengevat:
1) De kans van P(A) of welk event dan ook 0<P(A)<1.
2) Als S de voorbeeldruimte is in het kans model dan geldt: P(S) =1
3) Als twee events A en B uit elkaar liggen en geen gelijke uitkomst hebben (ze kunnen
niet samen voorkomen) P(A of B) = P(A) + P(B).
4) De complement (de kans die je niet wilt) van “A” (A*) kan je afhalen van de complete
𝑘𝑎𝑛𝑠. 1 − 𝑃(𝐴 ∗) = 𝑃(𝐴) 𝑜𝑓 𝑃(𝐴 ∗) = 1 − 𝑃(𝐴).
Een venn diagram kan handig zijn om een visualisatie te geven van een kansmodel. S is
dan de gehele box en de events liggen er in.
A
B P(A of B) = P(A) + P(B).
A
1- P(A) = P(A*)
