Samenvatting wachttijden:
Statistiek om mee te werken hoofdstuk 9
Hoofdstuk 9: wachttijdproblemen
Probleem met één loket, met aankomst- en bedieningspatroon volgens een Poisson-proces M/M/
1 wachttdmodel.
Wachttdproblemen: vakgebied Operations Researh.s Het wachten van klanten kan leiden tot verlies
aan geld, goodwill of zelfs klandizie.
9.1 Grondbegrippen
Om wachttdproblemen te kunnen analyseren is het noodzakelitk dat de witze waarop de rit ontstaat
en de manier waarop klanten worden verwerkt bekend is.
9.1.1 Aankomstpatroon:
Servihefahilitiet/ loket: bepaald punt waar klanten arriveren op gezete td. Het patroon van
aankomst kan van geval tot geval verschillen. Het Poisson-prohes is een veel voorkomend geval: de
lengten van de tussenaankomsttden, dat zitn de tdsintervallen die verstritken tussen de
aankomsten van een tweetal elkaar opvolgende klanten, volgen dan een nega ef-exponen ile
verdeling (meest denkbaar). Andere aankomstpatronen zitn ook denkbaar, zoals dat de behandel td
per product al td het zelfde is ontstaat geen wachtrit. Of als de behandel td per product
onderling verschillend is gemiddelde td voor een behandeling met een standaarddevia e
wachtrit als de behandeling langer duurt dan gemiddeld.
9.1.2 Bedienings td:
De bedienings td per klant is doorgaans per klant verschillend. De nega ef-exponen ile
kansverdeling kan hiervoor worden gebruikt (vaakst gebruikt) of de normale verdeling (logischer).
9.1.3 Verschillende typen wachtriten:
1. Enkelvoudige wachtrit met één bediende
2. Enkelvoudige wachtrit met eer bedienden
3. Meervoudige rit
4. Wachtrit met meer fasen
Rijdisipline: De klant die het eerste binnenkomt zal als eerste worden bediend zal worden en dat alle
volgende klanten op volgorde van binnenkomst aan de beurt komen (ffo).
Time-s.aring systeem: Sommige klanten hebben voorrang boven anderen, hoge prioriteit tegen lage
prioriteit die zit te wachten op afandeling.
Random-rijdisipline: Klanten worden in volledige willekeurige volgorde behandeld, te moet geluk
hebben om toevallig aan de beurt te komen.
9.2 Poisson-processen
Indien de binnenkomst van een klant het poisson-proces volgt wordt er verondersteld dat het
klantenbestand zeer groot is. Ook is er voor iedere persoon afzonderlitk een zeer kleine (constante)
kans om in een gegeven tdsinterval zich als klant te melden.
1. Voor een voldoende klein gekozen tdsinterval Δt wordt verondersteld dat de kans dat er
GEEN klant binnenkomt binnen dit tdsinterval P0
2. Voor een voldoende klein gekozen tdsinterval Δt geldt dat de kans op precies één
binnenkomst van een klant gelitk is aan P1, de kans op meer dan één is verwaarloosbaar klein
, 3. Voor twee los van elkaar liggende tdsintervallen Δt1 en Δt2 zitn de kansen op de aankomst
van een klant onderling onafankelitk
4. De aankomst van klanten is onafankelitk van de ritlengte die wordt aangetrofen. Deze
veronderstelling zit al verborgen in de constante λ die niet afangt van het aantal reeds
aanwezige klanten.
Het aantal binnenkomsten k in een gegeven tdsinterval T kan beschouwd worden als een
kansvariabele die een Poisson-verdeling volgt.
9.2.1 Tussenaankomsttd
Tussenaankomstjd: de lengte van e td tussen de aankomst van een tweetal elkaar opvolgende
klanten. De td die verstritkt voordat de volgende klant binnenkomt t con nue variabele. De
verdelingsfunc e en kansdichtheid van t zitn af te leiden van de Poisson-verdeling. Als de klanten
volgens een Poisson-proces aankomen, is er op een onregelma ge tds ppen de binnenkomst van
een nieuwe klant te registreren. Bit een gegeven td van lengte T geldt voor het aantal
binnenkomende klanten k volgens voorgaande Poisson-formule. De kans dat er in het bewuste
tdvak geen enkele klant binnenkomt, k00, deze kans wordt kleiner naarmate het tdvak T groter is.
(blz. 255)
9.3 Eenvoudig wachttdprobleem
Wachtrit met één loket, aankomstpatroon en bedienings td worden beschreven door een nega ef-
exponen ile verdeling. Berekening gemiddelde ritlengte en gemiddelde wachttd van een klant
weten wat de kans is dat zich n klanten (het aantal klanten in de wachtrit + klant die aan het loket
geholpen wordt) in het systeem bevinden op een willekeurig gekozen moment. λ < μ, de gemiddelde
bedienings td 1/μ moet namelitk kleiner dan de gemiddelde tussenaankomsttd 1/λ zitn, anders
loopt het systeem vol oneindige wachtrit. Basisveronderstelling Poisson-proces: voor een
voldoende klein tdsinterval Δt is de kans op meer dan één succes verwaarloosbaar klein. Dit houdt
hier dus in dat er in een voldoende klein gekozen tdsinterval 0 of 1 klanten kunnen aankomen
terwitl er 0 of 1 klanten kunnen worden bediend. 4 gevallen om tot n klanten in het systeem te
komen op het tds p t + Δt:
1. Gedurende Δt geen nieuwe binnenkomsten en geen beiindigde bedien tden (n klanten op
tds p t)
2. Gedurende Δt één nieuwe binnenkomsten en één beiindigde bedien tden (n klanten op
tds p t)
3. Gedurende Δt één nieuwe binnenkomsten en geen beiindigde bedien tden (n-1 klanten op
tds p t)
4. Gedurende Δt geen nieuwe binnenkomsten en één beiindigde bedien tden (n+1 klanten op
tds p t)
Voor een voldoende klein gekozen interval Δt bedraagt de kans op een binnenkomst van een klant in
dit tdsinterval Δt. De kans op een beiindigen van de bedienings td van een klant bedraagt μ Δt.
Als de kansen Pn(t) (E(n)) bekend zitn kan de verwach ngswaarde van het aantal in het systeem
aanwezige klanten berekend worden. (blz. 257, 258, 259).
Bezetngsgraad van het loket 0 ρ. E(n) geef de verwach ngswaarde van het aantal klanten dat zich
in het systeem bevind aan, deze is allen geldig als ρ < 1. Er(n) geef het verwachte aantal klanten in
de wachtrit, bit of 1 klant in het systeem is er een wachtrit, bit meer klanten is de wachtrit één
minder dan het aantal klanten, k-1, want één klant wordt bediend. Als ρ in de buurt van 1 ligt zitn
E(n) en Er(n) groot. E(n) 0 Er(n) + ρ.
Wah.tjd: de verwach ngswaarde van de wachttd van een binnenkomende klant, t geef de
tdsinterval aan dat verstritkt tussen aankomst van de klant en beiindiging van de bedienings td van
deze klant 0 verblitfitd van de klant in het systeem. Wachttdsysteem in evenwicht gemiddeld
Statistiek om mee te werken hoofdstuk 9
Hoofdstuk 9: wachttijdproblemen
Probleem met één loket, met aankomst- en bedieningspatroon volgens een Poisson-proces M/M/
1 wachttdmodel.
Wachttdproblemen: vakgebied Operations Researh.s Het wachten van klanten kan leiden tot verlies
aan geld, goodwill of zelfs klandizie.
9.1 Grondbegrippen
Om wachttdproblemen te kunnen analyseren is het noodzakelitk dat de witze waarop de rit ontstaat
en de manier waarop klanten worden verwerkt bekend is.
9.1.1 Aankomstpatroon:
Servihefahilitiet/ loket: bepaald punt waar klanten arriveren op gezete td. Het patroon van
aankomst kan van geval tot geval verschillen. Het Poisson-prohes is een veel voorkomend geval: de
lengten van de tussenaankomsttden, dat zitn de tdsintervallen die verstritken tussen de
aankomsten van een tweetal elkaar opvolgende klanten, volgen dan een nega ef-exponen ile
verdeling (meest denkbaar). Andere aankomstpatronen zitn ook denkbaar, zoals dat de behandel td
per product al td het zelfde is ontstaat geen wachtrit. Of als de behandel td per product
onderling verschillend is gemiddelde td voor een behandeling met een standaarddevia e
wachtrit als de behandeling langer duurt dan gemiddeld.
9.1.2 Bedienings td:
De bedienings td per klant is doorgaans per klant verschillend. De nega ef-exponen ile
kansverdeling kan hiervoor worden gebruikt (vaakst gebruikt) of de normale verdeling (logischer).
9.1.3 Verschillende typen wachtriten:
1. Enkelvoudige wachtrit met één bediende
2. Enkelvoudige wachtrit met eer bedienden
3. Meervoudige rit
4. Wachtrit met meer fasen
Rijdisipline: De klant die het eerste binnenkomt zal als eerste worden bediend zal worden en dat alle
volgende klanten op volgorde van binnenkomst aan de beurt komen (ffo).
Time-s.aring systeem: Sommige klanten hebben voorrang boven anderen, hoge prioriteit tegen lage
prioriteit die zit te wachten op afandeling.
Random-rijdisipline: Klanten worden in volledige willekeurige volgorde behandeld, te moet geluk
hebben om toevallig aan de beurt te komen.
9.2 Poisson-processen
Indien de binnenkomst van een klant het poisson-proces volgt wordt er verondersteld dat het
klantenbestand zeer groot is. Ook is er voor iedere persoon afzonderlitk een zeer kleine (constante)
kans om in een gegeven tdsinterval zich als klant te melden.
1. Voor een voldoende klein gekozen tdsinterval Δt wordt verondersteld dat de kans dat er
GEEN klant binnenkomt binnen dit tdsinterval P0
2. Voor een voldoende klein gekozen tdsinterval Δt geldt dat de kans op precies één
binnenkomst van een klant gelitk is aan P1, de kans op meer dan één is verwaarloosbaar klein
, 3. Voor twee los van elkaar liggende tdsintervallen Δt1 en Δt2 zitn de kansen op de aankomst
van een klant onderling onafankelitk
4. De aankomst van klanten is onafankelitk van de ritlengte die wordt aangetrofen. Deze
veronderstelling zit al verborgen in de constante λ die niet afangt van het aantal reeds
aanwezige klanten.
Het aantal binnenkomsten k in een gegeven tdsinterval T kan beschouwd worden als een
kansvariabele die een Poisson-verdeling volgt.
9.2.1 Tussenaankomsttd
Tussenaankomstjd: de lengte van e td tussen de aankomst van een tweetal elkaar opvolgende
klanten. De td die verstritkt voordat de volgende klant binnenkomt t con nue variabele. De
verdelingsfunc e en kansdichtheid van t zitn af te leiden van de Poisson-verdeling. Als de klanten
volgens een Poisson-proces aankomen, is er op een onregelma ge tds ppen de binnenkomst van
een nieuwe klant te registreren. Bit een gegeven td van lengte T geldt voor het aantal
binnenkomende klanten k volgens voorgaande Poisson-formule. De kans dat er in het bewuste
tdvak geen enkele klant binnenkomt, k00, deze kans wordt kleiner naarmate het tdvak T groter is.
(blz. 255)
9.3 Eenvoudig wachttdprobleem
Wachtrit met één loket, aankomstpatroon en bedienings td worden beschreven door een nega ef-
exponen ile verdeling. Berekening gemiddelde ritlengte en gemiddelde wachttd van een klant
weten wat de kans is dat zich n klanten (het aantal klanten in de wachtrit + klant die aan het loket
geholpen wordt) in het systeem bevinden op een willekeurig gekozen moment. λ < μ, de gemiddelde
bedienings td 1/μ moet namelitk kleiner dan de gemiddelde tussenaankomsttd 1/λ zitn, anders
loopt het systeem vol oneindige wachtrit. Basisveronderstelling Poisson-proces: voor een
voldoende klein tdsinterval Δt is de kans op meer dan één succes verwaarloosbaar klein. Dit houdt
hier dus in dat er in een voldoende klein gekozen tdsinterval 0 of 1 klanten kunnen aankomen
terwitl er 0 of 1 klanten kunnen worden bediend. 4 gevallen om tot n klanten in het systeem te
komen op het tds p t + Δt:
1. Gedurende Δt geen nieuwe binnenkomsten en geen beiindigde bedien tden (n klanten op
tds p t)
2. Gedurende Δt één nieuwe binnenkomsten en één beiindigde bedien tden (n klanten op
tds p t)
3. Gedurende Δt één nieuwe binnenkomsten en geen beiindigde bedien tden (n-1 klanten op
tds p t)
4. Gedurende Δt geen nieuwe binnenkomsten en één beiindigde bedien tden (n+1 klanten op
tds p t)
Voor een voldoende klein gekozen interval Δt bedraagt de kans op een binnenkomst van een klant in
dit tdsinterval Δt. De kans op een beiindigen van de bedienings td van een klant bedraagt μ Δt.
Als de kansen Pn(t) (E(n)) bekend zitn kan de verwach ngswaarde van het aantal in het systeem
aanwezige klanten berekend worden. (blz. 257, 258, 259).
Bezetngsgraad van het loket 0 ρ. E(n) geef de verwach ngswaarde van het aantal klanten dat zich
in het systeem bevind aan, deze is allen geldig als ρ < 1. Er(n) geef het verwachte aantal klanten in
de wachtrit, bit of 1 klant in het systeem is er een wachtrit, bit meer klanten is de wachtrit één
minder dan het aantal klanten, k-1, want één klant wordt bediend. Als ρ in de buurt van 1 ligt zitn
E(n) en Er(n) groot. E(n) 0 Er(n) + ρ.
Wah.tjd: de verwach ngswaarde van de wachttd van een binnenkomende klant, t geef de
tdsinterval aan dat verstritkt tussen aankomst van de klant en beiindiging van de bedienings td van
deze klant 0 verblitfitd van de klant in het systeem. Wachttdsysteem in evenwicht gemiddeld
