Rekenen samenvatting tentamen blok 4
H1: Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
1.1 I Verhoudingen zijn de basis
1 op de 4, 1/4e deel, 25%, 1:4, of 0,25.
Overeenkomsten en verschillen:
Bij ieder domein relatief aspect onderscheiden, zijn kommagetallen decimale breuken en kunnen
breuken en procenten allebei een verhouding aangeven.
Breuk geeft verhouding tussen deel en geheel. Percentage geeft verhouding tussen deel en geheel op
de honderd. Elk domein kent hun eigen verschijningsvorm. Bij notatie van geld bijv. kommagetallen
en geen breuken. In het dagelijks leven gebruiken we het door elkaar. In getalsmatige informatie
wordt het veel door elkaar gebruikt.
Absolute gegevens: getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden/ aantallen verwijzen.
Relatieve gegevens: over hoeveelheden en aantallen van een bepaald aantal, 1 op de 4 bijv. Dit
onderscheid is van belang voor kinderen, anders veel informatie niet goed te begrijpen.
Strookmodel: hierbij a-en r-gegevens. Benoem het getal: 240 van de 600 euro, dit helpt.
1.2 I Onderlinge relaties
In groep 7/8 alle domeinen door elkaar heen. Het helpt om:
- 1/5 x 10 betekent 1/5 deel van 10, 1/5 is eigenlijk 1: 5.
- Het helpt ook om verschijningsvormen te laten zien.
Breuken en kommagetallen:
Betekenis is hetzelfde: allebei gebroken getallen. Notatie verschilt; rationaal getal (hele
getallen, ,getal en breuken). Qua verschijningsvorm overeenkomst: beide kom je ze tegen als
meetgetal.
Verschillen: breuken vaak deel/geheel, kommagetal nooit. 0,1 +0 mag, maar 0, +0,1 mag niet.
Ondermaten helpen daarbij: 1 dm zelfde als 10 cm etc.
Van breuk naar kommagetal:
Stel je wil 1//7 van 60 weten: 60: 7 = 8 rest 4. Hoeveel in 10? Net al gehad, dus repeterende breuk:
0,142857 is het repetendum, breuk 1/7 is een repeterende breuk.
Van kommagetal naar breuk:
Bij een repeterende breuk; 0,461(…) doe je het gezochte getal x 10, net zo vaak als het repetendum
lang is; in dit geval 6, dus keer 1.000.000, trek hiervan de uitkomst van de gezochte breuk af. Wat
overblijft (1000000-1) is het gezochte getal met als uitkomst
461.538. breuk bekend: 461.538/999999
Breuken en procenten:
3/5e deel is een relatief gegeven, bij breuken. Bij procenten is
dit anders: een percentage geeft altidj een relatief gegeven
aan en is dus altijd een operator.
VB: 20/100 is 1/5 = 20% geen operator. 20 = 20/100 is 1/5 e dan is de breuk wel een operator.
Percentages kun je beter plaatsen op een strook, dan op een getallenlijn.
Declaratieve kennis: parate feitenkennis; ½ is 5/10 en 1: 2 en 0,5. Deze weetjes moeten ze kennen.
Sommige al wel bekend uit voorkennis; 50% is de helft. Deze feitjes oefen je op formeel niveau, maar
nog wel modelondersteunend.
, Productief oefenen: ze produceren zelf opgaven (weetjes).
HOOFDSTUK 2: VERHOUDINGEN
Verhoudingsgewijs redeneren: Pieter krijgt meer omdat hij groter is.
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige/meetkundige
beschrijvingen. Als het ene getl keer zo veel gaat, andere ook. In verhouding naar een product kijken,
welke het goedkoopste is, betekent naar de prijs van een bepaalde, vergelijkbare eeheid of maat
kijken. Als de prijs naar rato stijgt, dan stijgt hij naar verhouding. Veel verhoudingen betrekking op
grootheden. Andere verschijningsvormen van verhoudingen: sterkte van drankjes, recepten, snelheid
en bevolkingsdichtheid.
Samengestelde grootheden: verschijningsvormen als snelheid en dichtheid. Bijvoorbeeld KM/U;
grootheid is lengte, met de maateenheid kilometer en de grootheid tijd, met maat uur. Andere
verhouding is schaal; 1: 80000. 20:1 betekent 20 keer zo groot afgebeeld. Bij de formele
schaalnotatie noteren we beide getallen in dezelfde maateenheid.
Het kan dus steeds om verhoudingen gaan, ook al drukken ze het uit in breuken of percentages.
Percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op 100 gesteld: 5% vd 100%.
Wanverhoudingen vaak gebruikt om informatie over te brengen of aandacht te trekken.
Kwantitaiteve verhoudingen: de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen; 1 op de 3
kleuters. Kwalitatieve verhoudingen: als er geen getal aan de pas komt, dit wordt uitgedrukt in
woorden. De schoenendoos is naar verhouding te groot, of een kind is lang voor zijn leeftijd.het is
vaak een meetkundig verband.
Interne verhouding: als de verhouding één grootheid of eenheid heeft. 1 op de 10 minuten, 1 op de 4
jongens’. Externe verhouding: twee verschillende grootheden: prijs per gewicht of km/u, of te wel
een samengestelde grootheid.
Verhoudingsdeling: 12 snoepjes, hoeveel groepjes van 4?
Verdelingsdeling: 3 kinderen verdelen 12 snoepjes, hoeveel elk kind.
Lineair verband: verband tussen 2 grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft. Gaat die door de
oorsprong, dan is het verband evenredig of te wel een verhouding.
Niet-evenredig verband (en geen verhouding): voorbeeld olifant en vlo. De oppervlakte verbreed in
de lengte en breedte (4x dus).
Het woord meer duidt aan op een additieve betekenis, terwijl het woord keer in een multiplicatieve
context pas. Logaritmische, logistische, wortelfuncties, exponentieel; allemaal N-evenredig.
Na hoeveel dagen zijn de kosten gelijk aan het andere abonement: break-evenpoint.
Guldensnede: verhouding die staat voor schoonheidsideaal: de mooiste verhouding. Een rechthoek
waarvan de korte en de lange zijde zich verhouden als gulden snede, zou de mooist denkbare
rechthoek opleveren: goddelijke verhouding. Bij Leonardo da Vinci veel.
Verhouding van kleinste deel ten opzichte van grootste deel dezelfde is als van het grootste deel tot
hele lijnstuk, dan te pakken. 0,618 vaak. PHI heet het. O met streep erdoor.
Vaste verhouding voor omtrek en diameter cirkels: 22:7. Pi, die gekke N. het zijn irrationale getallen
en worden daarom, ondanks de komma, niet als kommagetal gezien.
H1: Samenhang verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen
1.1 I Verhoudingen zijn de basis
1 op de 4, 1/4e deel, 25%, 1:4, of 0,25.
Overeenkomsten en verschillen:
Bij ieder domein relatief aspect onderscheiden, zijn kommagetallen decimale breuken en kunnen
breuken en procenten allebei een verhouding aangeven.
Breuk geeft verhouding tussen deel en geheel. Percentage geeft verhouding tussen deel en geheel op
de honderd. Elk domein kent hun eigen verschijningsvorm. Bij notatie van geld bijv. kommagetallen
en geen breuken. In het dagelijks leven gebruiken we het door elkaar. In getalsmatige informatie
wordt het veel door elkaar gebruikt.
Absolute gegevens: getallen die naar daadwerkelijke hoeveelheden/ aantallen verwijzen.
Relatieve gegevens: over hoeveelheden en aantallen van een bepaald aantal, 1 op de 4 bijv. Dit
onderscheid is van belang voor kinderen, anders veel informatie niet goed te begrijpen.
Strookmodel: hierbij a-en r-gegevens. Benoem het getal: 240 van de 600 euro, dit helpt.
1.2 I Onderlinge relaties
In groep 7/8 alle domeinen door elkaar heen. Het helpt om:
- 1/5 x 10 betekent 1/5 deel van 10, 1/5 is eigenlijk 1: 5.
- Het helpt ook om verschijningsvormen te laten zien.
Breuken en kommagetallen:
Betekenis is hetzelfde: allebei gebroken getallen. Notatie verschilt; rationaal getal (hele
getallen, ,getal en breuken). Qua verschijningsvorm overeenkomst: beide kom je ze tegen als
meetgetal.
Verschillen: breuken vaak deel/geheel, kommagetal nooit. 0,1 +0 mag, maar 0, +0,1 mag niet.
Ondermaten helpen daarbij: 1 dm zelfde als 10 cm etc.
Van breuk naar kommagetal:
Stel je wil 1//7 van 60 weten: 60: 7 = 8 rest 4. Hoeveel in 10? Net al gehad, dus repeterende breuk:
0,142857 is het repetendum, breuk 1/7 is een repeterende breuk.
Van kommagetal naar breuk:
Bij een repeterende breuk; 0,461(…) doe je het gezochte getal x 10, net zo vaak als het repetendum
lang is; in dit geval 6, dus keer 1.000.000, trek hiervan de uitkomst van de gezochte breuk af. Wat
overblijft (1000000-1) is het gezochte getal met als uitkomst
461.538. breuk bekend: 461.538/999999
Breuken en procenten:
3/5e deel is een relatief gegeven, bij breuken. Bij procenten is
dit anders: een percentage geeft altidj een relatief gegeven
aan en is dus altijd een operator.
VB: 20/100 is 1/5 = 20% geen operator. 20 = 20/100 is 1/5 e dan is de breuk wel een operator.
Percentages kun je beter plaatsen op een strook, dan op een getallenlijn.
Declaratieve kennis: parate feitenkennis; ½ is 5/10 en 1: 2 en 0,5. Deze weetjes moeten ze kennen.
Sommige al wel bekend uit voorkennis; 50% is de helft. Deze feitjes oefen je op formeel niveau, maar
nog wel modelondersteunend.
, Productief oefenen: ze produceren zelf opgaven (weetjes).
HOOFDSTUK 2: VERHOUDINGEN
Verhoudingsgewijs redeneren: Pieter krijgt meer omdat hij groter is.
Een verhouding is een recht evenredig verband tussen twee of meer getalsmatige/meetkundige
beschrijvingen. Als het ene getl keer zo veel gaat, andere ook. In verhouding naar een product kijken,
welke het goedkoopste is, betekent naar de prijs van een bepaalde, vergelijkbare eeheid of maat
kijken. Als de prijs naar rato stijgt, dan stijgt hij naar verhouding. Veel verhoudingen betrekking op
grootheden. Andere verschijningsvormen van verhoudingen: sterkte van drankjes, recepten, snelheid
en bevolkingsdichtheid.
Samengestelde grootheden: verschijningsvormen als snelheid en dichtheid. Bijvoorbeeld KM/U;
grootheid is lengte, met de maateenheid kilometer en de grootheid tijd, met maat uur. Andere
verhouding is schaal; 1: 80000. 20:1 betekent 20 keer zo groot afgebeeld. Bij de formele
schaalnotatie noteren we beide getallen in dezelfde maateenheid.
Het kan dus steeds om verhoudingen gaan, ook al drukken ze het uit in breuken of percentages.
Percentage is een gestandaardiseerde verhouding: het totaal is op 100 gesteld: 5% vd 100%.
Wanverhoudingen vaak gebruikt om informatie over te brengen of aandacht te trekken.
Kwantitaiteve verhoudingen: de verhouding wordt uitgedrukt in een of meer getallen; 1 op de 3
kleuters. Kwalitatieve verhoudingen: als er geen getal aan de pas komt, dit wordt uitgedrukt in
woorden. De schoenendoos is naar verhouding te groot, of een kind is lang voor zijn leeftijd.het is
vaak een meetkundig verband.
Interne verhouding: als de verhouding één grootheid of eenheid heeft. 1 op de 10 minuten, 1 op de 4
jongens’. Externe verhouding: twee verschillende grootheden: prijs per gewicht of km/u, of te wel
een samengestelde grootheid.
Verhoudingsdeling: 12 snoepjes, hoeveel groepjes van 4?
Verdelingsdeling: 3 kinderen verdelen 12 snoepjes, hoeveel elk kind.
Lineair verband: verband tussen 2 grootheden dat als grafiek een rechte lijn heeft. Gaat die door de
oorsprong, dan is het verband evenredig of te wel een verhouding.
Niet-evenredig verband (en geen verhouding): voorbeeld olifant en vlo. De oppervlakte verbreed in
de lengte en breedte (4x dus).
Het woord meer duidt aan op een additieve betekenis, terwijl het woord keer in een multiplicatieve
context pas. Logaritmische, logistische, wortelfuncties, exponentieel; allemaal N-evenredig.
Na hoeveel dagen zijn de kosten gelijk aan het andere abonement: break-evenpoint.
Guldensnede: verhouding die staat voor schoonheidsideaal: de mooiste verhouding. Een rechthoek
waarvan de korte en de lange zijde zich verhouden als gulden snede, zou de mooist denkbare
rechthoek opleveren: goddelijke verhouding. Bij Leonardo da Vinci veel.
Verhouding van kleinste deel ten opzichte van grootste deel dezelfde is als van het grootste deel tot
hele lijnstuk, dan te pakken. 0,618 vaak. PHI heet het. O met streep erdoor.
Vaste verhouding voor omtrek en diameter cirkels: 22:7. Pi, die gekke N. het zijn irrationale getallen
en worden daarom, ondanks de komma, niet als kommagetal gezien.
