Samenvatting Eindtoets Lineaire Algebra en Vector Analyse (GEO2-1201) met voorbeelden uitgewerkt

HOOFDSTUK 1 – EIGENWAARDEN EN
EIGENVECTOREN
Eigenwaarden en eigenvectoren
Een eigenvector is een getransformeerde vorm van een vector, waarbij hij
tijdens transformatie niet van richting veranderd. Hij blijft als kleinere of
grotere vorm op zijn oude lijn lopen.
Er geldt: M *r⃗ =  *r⃗ “Transformatie matrix (M) keer
eigenvector r⃗ geeft zelfde
antwoord als schaling van eigenvector r⃗ met
constante ”

De eigenwaarde is de constante . De waarde die hoort bij de specifieke
transformatie van de oude eigenvector naar nieuwe eigenvector
  > 1; eigenvector is x groter dan oude vector,  < 1; eigenvector x kleiner
dan oude vector
  = 1 eigenvector heeft zelfde lengte als oude vector; weerspiegelt een
rotatie

Let op! Een transformatie matrix weerspiegelt een rotatie wanneer de
determinant van deze matrix gelijk is aan 1. De rotatiehoek kan bepaald door
M (m 11 m 12
m 21 m 22 )te vergelijken met standaard rotatiematrix
cos −sin
sin cos ❑( )
. Dit geeft
= arccos (m11)

VB1 Figuur laat de oorspronkelijke situatie (rood) zien met
eigenvectoren v1
en v2 en de getransformeerde situatie (blauw) met matrix M
waarbij de
eigenvectoren v1 en v2 zijn vermenigvuldigd met een
eigenwaarden.

Te zien is dat v1 is vermenigvuldigd met 1, waardoor de
nieuwe
eigenvector in dezelfde richting als v1 is verlengd. V2 is
vermenigvuldigd
met 2, waardoor de nieuwe eigenvector in dezelfde richting als v2 is
verkleind.

VB2 Zie opgaven deformation I en IV

Bepaling eigenwaarden en eigenvectoren
Om de eigenwaarden en latere eigenvectoren te bepalen, moet een
determinant worden opgesteld die gelijk is aan 0. Vanuit hier kunnen de
eigenwaarden worden berekend en daarom ook de nieuwe eigenvectoren. Dit
gaat als volgt:

, 1) Vul de vergelijking M *r⃗ =  *r⃗ in met het gegeven transformatiematrix (M)


||
x
en r⃗ in de vorm van ||
x
y
of y .
z
2) Vermenigvuldig de M met r⃗ aan de linkerkant en  met r⃗ aan de
rechterkant, zodat aan elke kant van het = teken één matrix komt te staan
3) Maak van de bovenste rij van beide matrixen een vergelijking en van de
onderste rij van beide matrix een vergelijkingen zodat twee vormen
ontstaan van “…x + …y = ..”
4) Zet de vergelijkingen in de juiste vorm door alles naar de linkerkant te
brengen en de rechterkant 0 te maken
5) Stel de matrix op en bepaal de determinant
6) Stel de determinant gelijk aan 0
7) Bepaal de waarden van de onbekenden
8) Vul de onbekenden in in de opgestelde vergelijkingen en bepaal de
vergelijkingen
9) Bepaal eventueel nog een voorbeeld r met een x en y die overeen komt
met de vgl’en
Let op! Schrijf bij een (3x3) matrix niet om naar een derde graads vergelijking,
maar haal één van de drie termen buiten haken. Zo houd je een 2de vergelijking
over en een losse andere vergelijking.

Transformatie matrix (M), diagonaal matrix eigenwaarden (D) en
eigenvectormatrix (C)
Met de bepaling van de eigenwaarden en eigenvectoren kunnen nieuwe
matrixen worden opgesteld, namelijk een diagonaal matrix van eigenwaarden
(D) en een matrix van eigenvectoren (C).


De transformatie matrix (M) weergegeven door (
m11 m 12
m21 m 22
geeft )
eigenwaarden ❑1 en ❑2 en eigenvectoren u (u,x en u,y) en v (v,x en v,y) door
uitwerken M *r⃗ =  *r⃗

De diagonaalmatrix van eigenwaarden (D) wordt vanuit hier weergegeven

door
❑1 0
(
0 ❑2 )
De matrix van eigenvectoren (C) wordt vanuit hier weergegeven door

(ux v x
uy vy )
. Let op! Hierbij is de eigenvector u de nieuwe vector die hoort bij ❑1 en

de eigenvector v de nieuwe vector die hoort bij ❑2. Let dus goed op welke
vector je weer in de matrix neerzet.


Er geldt dat: M*C = C * D want ( m11 m12
m21 m22) (
*
ux v x
uy vy ) (
=
❑1 0
0 ❑2 )
*


( ux v x
uy vy )

, Volgt uit: M *r⃗ =  *r⃗

Er geldt dat: C-1*M*C = D wanneer C inverteerbaar is (det C ≠ 0)




VB3 De transformatie matrix (21 12) geeft ❑ = 3 met r^ = √12 ( 11) en ❑ = 1 met
1 1 2



r^2=
1 1
( )
√ 2 −1
. De hierbij horende diagonaalmatrix van eigenwaarden is D =

( )
3 0
0 1
en de diagonaal van eigenvectoren is C =
1 1 1
√ 2 1 −1 ( )
VB4 De transformatie matrix (−11 −14 ) geeft ❑ = 4.3 met r^ =(−0.96
1
0.29
) en ❑ =
1 2


0.7 met
r^2= (−0.96
−0.29)
. De hierbij horende diagonaalmatrix van eigenwaarden is D =

( 4.30 0.70 ) en de diagonaal van eigenvectoren is C = (−0.96 −0.29)
0.29 −0.96



VB5 De transformatie matrix (−11 14) geeft ❑ = 3.6 met r^ =(−0.36
1
−0.93)
en ❑ =
1 2


1.4 met
r^2= (−0.93
−0.36 )
. De hierbij horende diagonaalmatrix van eigenwaarden is D =

(3.60 1.40 ) en de diagonaal van eigenvectoren is C = (−0.36
−0.93 −0.36 )
−0.93




HOOFDSTUK 1 – VOORBEELDEN
Bepaling eigenwaarden en eigenvectoren
Om de eigenwaarden en latere eigenvectoren te bepalen, moet een
determinant worden opgesteld die gelijk is aan 0. Er geldt: M¿ r =  * r .Vanuit
hier kunnen de eigenwaarden worden berekend en daarom ook de nieuwe
eigenvectoren.

VB6 Gegeven is de transformatiematrix M
3
−6
Bepaal de(23 )
eigenwaarden en hierbij horende eigenvectoren.


Er geldt: M¿ r =  * r met r = ( xy ) en M= (23 3
−6 )

, Dit geeft: (23 3
−6
* ) ()
x
y
= *
x
y () wordt (23 xx 3y
−6 y ) ()
=
x
y

Dit geeft: 2x + 3y = x en 3x – 6y = y

2x - x + 3y = 0 en 3x – 6y - y = 0
(2 - )x + 3y = 0 en 3x + (-6 - )y = 0


Dit geeft: Nieuwe matrix is (2−¿3 3 0
−6−¿ 0 )
Dit geeft: Determinant =0

|2−¿¿ 3−6−¿| = 0 (2 - ) * (-6 - ) – (3*3) = 0

-12 - 2 + 6 + ❑2 – 9 = 0 ❑2 + 4 - 21 = 0
( + 7) ( - 3) = 0 = -7 en =3

Dus: Voor = - 7 geeft 9x + 3y = 0 en 3x + y = 0
Dus y = -3x bijvoorbeeld door r
=
1
−3 ( )
Want -3 = -3*1

voor = 3 geeft -x + 3y = 0 en 3x – 9y = 0
Dus x = 3y bijvoorbeeld door r
=
3
1 ()
Want 3 = 3*1


VB7 Gegeven is de transformatiematrix M (−13 20) Bepaal de
eigenwaarden en hierbij horende eigenvectoren.

Er geldt: M¿ r =  * r met r = ( xy ) en M= (−13 20)
Dit geeft: (−13 0) ( y )
2
*
x
=  * ( ) wordt (
x
y
3x
−x
2y
0) ()
=
x
y

Dit geeft: 3x + 2y = x en -x = y

3x - x + 2y = 0 en -x - y = 0
(3 - )x + 2y = 0 en -x + (- )y = 0
Dit geeft: Nieuwe matrix is
3−¿ 2
(
−1 −¿ 0
0
)
Dit geeft: |3−¿¿ 2−¿| =0 (3 - ) * (- ) – (-1*2) = 0

- 3 + ❑2 + 2 = 0 ❑ -3 +2=0
2