Thermodynamica week 5
College 5a: Wiskundig Intermezzo
- Partiële afgeleiden van functies van meerdere variabelen
- Toepassing op thermodynamische toestandsfuncties
o Maxwell relaties
o Omschrijven afgeleiden naar beter meetbare afgeleiden
Stofeigenschappen β en κ
Werken met functies van meerdere variabelen
Differentiëren van functies met meerdere variabelen
- Totale arbeid beschouwt variatie van alle variabelen
- Partiële afgeleide beschouwt slechts variatie van één variabele
o Voorbeeld: f(x,y) = xy + yex +xln(y)
Voor de gemengde tweede afgeleide maakt de volgorde van differentiëren niet uit:
- dus eerst differentiëren naar x, y vasthouden
o Y buitenhaakjes betekent dat we y vasthouden
- Daarna Y variëren en houden we x vast
Cyclische regel voor afhankelijke variabelen:
Toepassing in toestandsfuncties
De relevante variabelen zijn Temperatuur, Pressure, Volume en S (entropie)
- Aantal deeltjes n buiten beschouwing gehouden, veranderd niet
Elke grootheid heeft zijn eigen natuurlijke variabelen
U(S,V) twee extensieve variabelen (S en V)
H(S,P) = U + PV een extensieve (S) en een intensieve variabele (P)
A(T,V) = U - TS een intensieve (T) en een extensieve variabele (V)
G(T,P) = U + PV – TS twee intensieve variabelen (T en P)
Bepaal de totale afgeleide door te kijken naar de variaties van de natuurlijke variabelen
dU = TdS – PdV
dH = TdS – PdV + PdV + VdP = TdS + VdP
dA = TdS – PdV – TdS – SdT = - SdT – PdV
, dG = TdS + VdP – TdS – SdT = -SdT + VdP
Vier Maxwell relaties
Uitdrukkingen in meetbare grootheden
- β: isobarische volumetrische thermische expansie coëfficient
o SI-eenheid K-1
- κ: isothermische compressibiliteit
o SI-eenheid bar-1
- NB: S constant in reversible adiabatisch process
Een relatie tussen partiële afgeleiden – de eerste afgeleiden:
Bovenste twee bespreekt hij niet uitgebreid
Onderste: afgeleide entropie naar druk bij constante
temperatuur formule exact hetzelfde als
volumeverandering bij constante druk als functie van
temperatuur β. Wel nog vermenigvuldigen met V
κ: temperatuur constant en druk opvoeren en kijken
naar volumeverandering. Ook delen door V
β: Afhankelijkheid van volume als functie van
temperatuur bij constante druk
Gas: grote uitzetting bij temperatuur verhoging
volume wordt veel groter afgeleide groot
Vaste stof: uitzetting beperkt, β veel kleiner
Delen door volume per hoeveelheid volume
kijken hoeveel procent het toeneemt in volume
Voorbeeld gebruik: Uitrekenen entropie verandering bij volumeverandering bij constante
temperatuur.
Isotherme expansie veranderen volume en T constant
Gebruikt dat S is toestandsfunctie mag je dus ook gebruiken voor niet-ideale gassen
College 5a: Wiskundig Intermezzo
- Partiële afgeleiden van functies van meerdere variabelen
- Toepassing op thermodynamische toestandsfuncties
o Maxwell relaties
o Omschrijven afgeleiden naar beter meetbare afgeleiden
Stofeigenschappen β en κ
Werken met functies van meerdere variabelen
Differentiëren van functies met meerdere variabelen
- Totale arbeid beschouwt variatie van alle variabelen
- Partiële afgeleide beschouwt slechts variatie van één variabele
o Voorbeeld: f(x,y) = xy + yex +xln(y)
Voor de gemengde tweede afgeleide maakt de volgorde van differentiëren niet uit:
- dus eerst differentiëren naar x, y vasthouden
o Y buitenhaakjes betekent dat we y vasthouden
- Daarna Y variëren en houden we x vast
Cyclische regel voor afhankelijke variabelen:
Toepassing in toestandsfuncties
De relevante variabelen zijn Temperatuur, Pressure, Volume en S (entropie)
- Aantal deeltjes n buiten beschouwing gehouden, veranderd niet
Elke grootheid heeft zijn eigen natuurlijke variabelen
U(S,V) twee extensieve variabelen (S en V)
H(S,P) = U + PV een extensieve (S) en een intensieve variabele (P)
A(T,V) = U - TS een intensieve (T) en een extensieve variabele (V)
G(T,P) = U + PV – TS twee intensieve variabelen (T en P)
Bepaal de totale afgeleide door te kijken naar de variaties van de natuurlijke variabelen
dU = TdS – PdV
dH = TdS – PdV + PdV + VdP = TdS + VdP
dA = TdS – PdV – TdS – SdT = - SdT – PdV
, dG = TdS + VdP – TdS – SdT = -SdT + VdP
Vier Maxwell relaties
Uitdrukkingen in meetbare grootheden
- β: isobarische volumetrische thermische expansie coëfficient
o SI-eenheid K-1
- κ: isothermische compressibiliteit
o SI-eenheid bar-1
- NB: S constant in reversible adiabatisch process
Een relatie tussen partiële afgeleiden – de eerste afgeleiden:
Bovenste twee bespreekt hij niet uitgebreid
Onderste: afgeleide entropie naar druk bij constante
temperatuur formule exact hetzelfde als
volumeverandering bij constante druk als functie van
temperatuur β. Wel nog vermenigvuldigen met V
κ: temperatuur constant en druk opvoeren en kijken
naar volumeverandering. Ook delen door V
β: Afhankelijkheid van volume als functie van
temperatuur bij constante druk
Gas: grote uitzetting bij temperatuur verhoging
volume wordt veel groter afgeleide groot
Vaste stof: uitzetting beperkt, β veel kleiner
Delen door volume per hoeveelheid volume
kijken hoeveel procent het toeneemt in volume
Voorbeeld gebruik: Uitrekenen entropie verandering bij volumeverandering bij constante
temperatuur.
Isotherme expansie veranderen volume en T constant
Gebruikt dat S is toestandsfunctie mag je dus ook gebruiken voor niet-ideale gassen
