Hele getallen
Hoofdstuk 1. Hele getallen
1.1 Getallen zie je overal
Getallen helpen je om de wereld te ordenen, te structureren en te organiseren. Getallen
komen in het dagelijks leven in veel verschillende situaties en betekenissen voor.
Betekenis van getallen
- Aantal/ kardinaal: Geeft een bepaalde hoeveelheid aan.
- Telgetal/ordinaal: Geeft rangorde aan of een nummer à 1,2,3
- Meetgetal: Geeft een maat aan à 5 jaar / 5 km
- Naamgetal: Het getal heeft vooral een naam à bus 5
- Rekengetal/formeel: Is een kaal rekengetal à 5+5
Natuurlijkgetal:
Getallen waarmee we tellen. De uitkomst hiervan zijn opnieuw natuurlijke getallen. Dit kan
ook als er een ‘min’ uitkomst is MITS dat is aangegeven. Als dat niet het geval is dan is het
GEEN natuurlijk getal.
1.2 Ons getallen systeem
Talstelsel – getallenstelsel en getalsysteem:
Het systeem om getallen in een rij cijfers weer te geven.
De plaats of positie van een cijfer in een rijtje bepaalt de waarde van het cijfer, ook wel
plaatswaarde of positiewaarde. De manier van hoeveelheden noteren is kenmerkend voor
een positioneel getalsysteem.
In ons getalsysteem neemt het cijfer 0 een belangrijke plaats in. De 0 zorgt voor de correcte
positie van een cijfer. Elk cijfer in een getal heeft een positiewaard die correspondeert met
een macht van 10.
Het romeins getalsysteem
Het is een voorbeeld van een additief systeem.
Het romeins getalsysteem wordt als volgt geteld:
M= 1000
D= 500
C= 100
L= 50
X= 10
V= 5
I= 1
Additief systeem:
De waarde van het voorgestelde getal wordt bepaald door het totaal van de symbolen.
Egyptisch en Romeins getalsysteem. à 14 = XIIII
1
, Hele getallen
Substractief principe:
Een symbool met een kleine waarde staat voor een symbool met een hogere waarde, zoals
IX. De waarde van het eerste symbool wordt afgetrokken van de waarde van het tweede
symbool. Er mogen alleen niet meer dan 3 dezelfde getalen achter elkaar. Hierbij hebben ze
een oplossing bedacht door voor het grote getal een klein getal te zetten dus 4 wordt dan IV.
Als een klein getal voor een groot getal staat moet je het dus aftrekken!
Nieuw Egyptisch en Romeins getalsysteem. à 14 = XIV
Het binaire talstelsel
Met dit talstelsel is het grondtal 2. Dit stelsel kent dus de getallen 0 en 1. Als voorbeeld net zoals bij
het decimale stelsel neem ik nu als voorbeeld: 1011011. Hierbij is de laatste 1 1x2^0 de 1 daarvoor:
1x2^1. De 0 is 0x2^2. De 1 is 1x2^3. De 1 daarna is 1x2^4. De 0 is 0x2^5 en de 1 is 1x2^6.
Als je wilt uitrekenen wat hiervan het decimale getal is:
1x2^0 = 1x1 = 1
1x2^1 = 1x2 = 2
0x2^2 = 0x4 = 0
1x2^3 = 1x8 = 8
1x2^4 = 1x16= 16
0x2^5 = 0x32= 0
1x2^6 = 1x64= 64
Als je dit optelt 1+2+0+8+16+0+64= 91
Het binaire getal 1011011 is dus het decimale getal 91.
Van decimaal naar binair
Hoe kan je het getal 3649 binair maken?
Maak eerst een tabel wat de binaire getallen zijn:
2^0 = 1
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8 enz.…
Dan kijk je hoeveel het erin past. 2^11 is 2048. Dan moet je 3649-2048= 1601. Hierin kan 2^10 want
dat is 1024. Dan houd je over: 1601-1024= 577. Hierin kan nog 2^9 want dat is 512 577-512= 65.
Hierin past nog 2^6 want dat is 64 en dan houd je nog 1 over dat is 2^0. Je moet dan alle getallen die
je hebt gebruikt zoals 2^11 een 1 voor zetten. De getallen die je niet hebt gebruikt zoals bijv. 2^8
moet je een 0 voor zetten en dan achter elkaar zetten. Hierdoor hoort bij het decimale getal 3649 en
binaire getal van 111001000001.
2
, Hele getallen
Hexadecimale stelsel
Het grondtal bij dit stelsel is 16. Het heeft 16 tekens namelijk 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F. Het
stelsel wordt vaak gebruikt met ICT bijvoorbeeld met een achtergrond kleur, dit wordt al vaak als
hexadecimaal geschreven.
Een tabel:
Decimaal stelsel Binair stelsel Hexadecimaal stelsel
0 0 0
1 1 1
2 10 2
3 11 3
4 100 4
5 101 5
6 110 6
7 111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F
16 10000 10
17 10001 11
18 10010 12
19 10011 13
Het hexadecimaal stelsel gaat t/m 1F hierna krijg je 20 enz.
Hexadecimaal à decimaal stelsel.
3B0F à de F is 15x16^0 = 15x1 = 15
de 0 is 0x16^1 = 0x16 = 0
de B is 11x6^2 = 11x256 = 2816
de 3 is 3x16^3 = 2x4096 = 12288
Dit is bij elkaar opgeteld: 15+0+2816+12288 = 15119
Het hexadecimale cijfer 3B0F is dus het decimale cijfer 15119.
Van decimaal à hexadecimaal.
Hoe zet je 3649 decimaal om naar hexadecimaal?
Je moet hierbij proberen om de grootste machten te zoeken die hierin passen. Dus met welke
machten van 16 kun je 3649 maken?
16^0 = 1 1x1 = 1
16^1 = 16 4x16= 64
16^2 = 256 14= E x256= 3584
16^3 = 4096 0x4096= 0 dit past er niet in.
16^4 = 65536 0x65536 = 0 dit past er niet in.
Dan ga je kijken hoe vaak het erin past.
Het decimale getal 3649 is dus het hexadecimale getal van E41.
3
, Hele getallen
Optellen en aftrekken in het binaire stelsel:
00+00 = 00
00+01 = 01
01+00 = 01
01+01 = 10
Met optellen is het hetzelfde als met decimaal optellen gewoon onder elkaar schrijven alleen moet je
hierbij goed opletten dat je 1+1=10 is.
Met aftrekken:
00 – 00 = 00
01 – 00 = 01
01 – 01 = 00
10 – 01 = 01
Bij het aftrekken ook hetzelfde als bij het optellen. Alleen als je nu moet lenen wordt het 10!
Optellen en aftrekken in het hexadecimaal stelsel:
7+2= 9
7+3 = A
7+8 = F
7+A = 7+10 = 17 = 11 in het hexadecimale stelsel.
D+E = 1B
Ook hierbij moet je optellen door het onder elkaar te zetten hierbij moet je goed letten op wanneer
je een A schrijft of wanneer je 12 schrijft enz.
7-5= 2
E-2= C
A-2= 8
13-5= E
Hierbij moet je ook aftrekken door onder elkaar te zetten en hierbij moet je ook eerst even naar het
decimale stelsel omrekenen dat uitrekenen en weer in het hexadecimale stelsel zetten. Als je gaat
lenen is het 10 in het hexadecimale stelsel niet in het decimale stelsel!
4
Hoofdstuk 1. Hele getallen
1.1 Getallen zie je overal
Getallen helpen je om de wereld te ordenen, te structureren en te organiseren. Getallen
komen in het dagelijks leven in veel verschillende situaties en betekenissen voor.
Betekenis van getallen
- Aantal/ kardinaal: Geeft een bepaalde hoeveelheid aan.
- Telgetal/ordinaal: Geeft rangorde aan of een nummer à 1,2,3
- Meetgetal: Geeft een maat aan à 5 jaar / 5 km
- Naamgetal: Het getal heeft vooral een naam à bus 5
- Rekengetal/formeel: Is een kaal rekengetal à 5+5
Natuurlijkgetal:
Getallen waarmee we tellen. De uitkomst hiervan zijn opnieuw natuurlijke getallen. Dit kan
ook als er een ‘min’ uitkomst is MITS dat is aangegeven. Als dat niet het geval is dan is het
GEEN natuurlijk getal.
1.2 Ons getallen systeem
Talstelsel – getallenstelsel en getalsysteem:
Het systeem om getallen in een rij cijfers weer te geven.
De plaats of positie van een cijfer in een rijtje bepaalt de waarde van het cijfer, ook wel
plaatswaarde of positiewaarde. De manier van hoeveelheden noteren is kenmerkend voor
een positioneel getalsysteem.
In ons getalsysteem neemt het cijfer 0 een belangrijke plaats in. De 0 zorgt voor de correcte
positie van een cijfer. Elk cijfer in een getal heeft een positiewaard die correspondeert met
een macht van 10.
Het romeins getalsysteem
Het is een voorbeeld van een additief systeem.
Het romeins getalsysteem wordt als volgt geteld:
M= 1000
D= 500
C= 100
L= 50
X= 10
V= 5
I= 1
Additief systeem:
De waarde van het voorgestelde getal wordt bepaald door het totaal van de symbolen.
Egyptisch en Romeins getalsysteem. à 14 = XIIII
1
, Hele getallen
Substractief principe:
Een symbool met een kleine waarde staat voor een symbool met een hogere waarde, zoals
IX. De waarde van het eerste symbool wordt afgetrokken van de waarde van het tweede
symbool. Er mogen alleen niet meer dan 3 dezelfde getalen achter elkaar. Hierbij hebben ze
een oplossing bedacht door voor het grote getal een klein getal te zetten dus 4 wordt dan IV.
Als een klein getal voor een groot getal staat moet je het dus aftrekken!
Nieuw Egyptisch en Romeins getalsysteem. à 14 = XIV
Het binaire talstelsel
Met dit talstelsel is het grondtal 2. Dit stelsel kent dus de getallen 0 en 1. Als voorbeeld net zoals bij
het decimale stelsel neem ik nu als voorbeeld: 1011011. Hierbij is de laatste 1 1x2^0 de 1 daarvoor:
1x2^1. De 0 is 0x2^2. De 1 is 1x2^3. De 1 daarna is 1x2^4. De 0 is 0x2^5 en de 1 is 1x2^6.
Als je wilt uitrekenen wat hiervan het decimale getal is:
1x2^0 = 1x1 = 1
1x2^1 = 1x2 = 2
0x2^2 = 0x4 = 0
1x2^3 = 1x8 = 8
1x2^4 = 1x16= 16
0x2^5 = 0x32= 0
1x2^6 = 1x64= 64
Als je dit optelt 1+2+0+8+16+0+64= 91
Het binaire getal 1011011 is dus het decimale getal 91.
Van decimaal naar binair
Hoe kan je het getal 3649 binair maken?
Maak eerst een tabel wat de binaire getallen zijn:
2^0 = 1
2^1 = 2
2^2 = 4
2^3 = 8 enz.…
Dan kijk je hoeveel het erin past. 2^11 is 2048. Dan moet je 3649-2048= 1601. Hierin kan 2^10 want
dat is 1024. Dan houd je over: 1601-1024= 577. Hierin kan nog 2^9 want dat is 512 577-512= 65.
Hierin past nog 2^6 want dat is 64 en dan houd je nog 1 over dat is 2^0. Je moet dan alle getallen die
je hebt gebruikt zoals 2^11 een 1 voor zetten. De getallen die je niet hebt gebruikt zoals bijv. 2^8
moet je een 0 voor zetten en dan achter elkaar zetten. Hierdoor hoort bij het decimale getal 3649 en
binaire getal van 111001000001.
2
, Hele getallen
Hexadecimale stelsel
Het grondtal bij dit stelsel is 16. Het heeft 16 tekens namelijk 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F. Het
stelsel wordt vaak gebruikt met ICT bijvoorbeeld met een achtergrond kleur, dit wordt al vaak als
hexadecimaal geschreven.
Een tabel:
Decimaal stelsel Binair stelsel Hexadecimaal stelsel
0 0 0
1 1 1
2 10 2
3 11 3
4 100 4
5 101 5
6 110 6
7 111 7
8 1000 8
9 1001 9
10 1010 A
11 1011 B
12 1100 C
13 1101 D
14 1110 E
15 1111 F
16 10000 10
17 10001 11
18 10010 12
19 10011 13
Het hexadecimaal stelsel gaat t/m 1F hierna krijg je 20 enz.
Hexadecimaal à decimaal stelsel.
3B0F à de F is 15x16^0 = 15x1 = 15
de 0 is 0x16^1 = 0x16 = 0
de B is 11x6^2 = 11x256 = 2816
de 3 is 3x16^3 = 2x4096 = 12288
Dit is bij elkaar opgeteld: 15+0+2816+12288 = 15119
Het hexadecimale cijfer 3B0F is dus het decimale cijfer 15119.
Van decimaal à hexadecimaal.
Hoe zet je 3649 decimaal om naar hexadecimaal?
Je moet hierbij proberen om de grootste machten te zoeken die hierin passen. Dus met welke
machten van 16 kun je 3649 maken?
16^0 = 1 1x1 = 1
16^1 = 16 4x16= 64
16^2 = 256 14= E x256= 3584
16^3 = 4096 0x4096= 0 dit past er niet in.
16^4 = 65536 0x65536 = 0 dit past er niet in.
Dan ga je kijken hoe vaak het erin past.
Het decimale getal 3649 is dus het hexadecimale getal van E41.
3
, Hele getallen
Optellen en aftrekken in het binaire stelsel:
00+00 = 00
00+01 = 01
01+00 = 01
01+01 = 10
Met optellen is het hetzelfde als met decimaal optellen gewoon onder elkaar schrijven alleen moet je
hierbij goed opletten dat je 1+1=10 is.
Met aftrekken:
00 – 00 = 00
01 – 00 = 01
01 – 01 = 00
10 – 01 = 01
Bij het aftrekken ook hetzelfde als bij het optellen. Alleen als je nu moet lenen wordt het 10!
Optellen en aftrekken in het hexadecimaal stelsel:
7+2= 9
7+3 = A
7+8 = F
7+A = 7+10 = 17 = 11 in het hexadecimale stelsel.
D+E = 1B
Ook hierbij moet je optellen door het onder elkaar te zetten hierbij moet je goed letten op wanneer
je een A schrijft of wanneer je 12 schrijft enz.
7-5= 2
E-2= C
A-2= 8
13-5= E
Hierbij moet je ook aftrekken door onder elkaar te zetten en hierbij moet je ook eerst even naar het
decimale stelsel omrekenen dat uitrekenen en weer in het hexadecimale stelsel zetten. Als je gaat
lenen is het 10 in het hexadecimale stelsel niet in het decimale stelsel!
4
