Samenvatting Agresti
Hoofdstuk 4: probability distributions
4.4 steekproefverdelingen beschrijven hoe statistieken variëren
Het monsternemingsproces simuleren
Een simulatie kan ons laten zien hoe dicht het resultaat van een poll bij een bevolking ligt bij het
percentage dat op een kandidaat stemt. Zoals 00-49 voor ene kant en 50-99 voor andere kant en dan
voor welk getal mensen kiezen. Deze steekproef een paar keer doen en je hebt gemiddelde en je
kunt zien dat bv. 60,5% ongebruikelijk is.
Vertegenwoordiging van de variabiliteit van de bemonstering door een monsterverdeling
De voorkeur van kiezers is een variabele, evenzo is de steekproefverhouding een variabele.
- Steekproevenverdeling: kansverdeling door herhaaldelijk selecteren van steekproeven van
een bepaalde grootte en het vormen van een statistiek. Met een steekproevenverdeling
kunnen we waarschijnlijkheden over verhoudingen berekenen van individuen.
4.5 steekproefverdelingen van steekproefgemiddelden
Gemiddelde en standaard fout van de monsterneming distributie van y -
De spreiding van steekproevenverdeling van y wordt beschreven door standaarddeviatie, die de
standaardfout van y wordt genoemd.
σy= σ (gem antwoord) / wortel n (standaardfout)
De standaardfout wordt kleiner naarmate de steekproefomvang groter.
Monsterverdeling van monstermiddel is ongeveer normaal
- De klokvorm van steekproevenverdeling geldt ongeacht de vorm van bevolkingsverdeling.
- Hoe groot n moet zijn voordat de steekproevenverdeling grotendeels klokvormig is hangt af
van de scheefheid van populatieverdeling.
- Wetende dat de steekproevenverdeling van y- kan worden benaderd met een normale
verdeling helpt ons om kansen te vinden voor mogelijke waarden van y -.
H5: statistical inference: estimation
5.1 punt- en intervalschatting
Een puntschatting is een enkel getal dat de beste schatting is voor de parameter waarde en
intervalschatting is een interval van getallen rond puntschatting bevat volgens parameterwaarde.
(betrouwbaarheidsinterval) Een interval schatting helpt om de precisie van een puntschatting te
meten.
Puntschatting van parameters
Elke bepaalde parameter heeft veel mogelijke schatters. (steekproeven) Er zijn twee mogelijke
schatters van centrum: mediaan en gemiddelde.
Onbevoegde en efficiënte puntenschatters
Een goede schatters heeft een steekproevenverdeling die rond de parameter is gecentreerd en een
zo klein mogelijke standaardfout heeft. Parameter is gemiddelde van steekproevenverdeling.
Steekproef gemiddelde Y- is gelijk aan populatiegemiddelde µ. Een schatter met kleine standaardfout
is efficiënt. Het steekproefgemiddelde ligt meestal dichter bij bevolkingscentrum dan de
steekproefmediaan en is daarom een efficiënte schatter.
, Schatters van gemiddelde. Standaarddeviatie en verhouding
De steekproefproportie is een schatter die onbevoordeeld en efficiënt is. Het symbool ^ wordt vaak
gebruikt om een schatting van parameters weer te geven.
Betrouwbaarheidsinterval gevormd door puntschatting +- foutmarge
Gevolgtrekking van een parameter moet puntschatting aangeven maar ook hoe dicht de schatting
waarschijnlijk bij parameterwaarde ligt. De intervalschatting bestaat uit een interval van getallen
rondom puntschatting. Vaak is steekproevenverdeling ongeveer normaalverdeling en bij 95% is dan
binnen twee standaardfouten. Z-score x standaardfout om interval te construeren.
5.2 betrouwbaarheidsinterval voor een aandeel
Om categorische gegevens samen te vatten registreren we de verhoudingen van waarnemingen in
categorieën.
Steekproefproportie en de standaardfout
π is de populatieverhouding en valt tussen 0 en 1. De steekproefproportie is
een gemiddelde met kansverdeling P(1 / ene antwoord)= π en P(0 / andere
antwoord) = 1 – π. De standaarddeviatie is 2σ= p π (1 – π).
Betrouwbaarheidsinterval voor een aandeel
Voor grote willekeurige steekproeven is de steekproefverdeling van ˆπ
ongeveer normaal. Bij 95% is Z-score 1,96. Se is hierin een
steekproefschatting van een standaardfout.
Controle van het vertrouwensniveau door keuze van Z-score.
Er is bij 95% interval wel 5% kans dat het niet de juiste waarde bevat. Hoe groter het
betrouwbaarheidsniveau, hoe groter de kans dat het betrouwbaarheidsinterval de parameter bevat.
Z-waarde vermenigvuldigd met se is foutmarge.
Grotere monstergrootten geven smallere intervallen
Je kunt populatieaandeel π nauwkeuriger schatten met grotere steekproef, want hoe groter de
waarde van n, hoe kleiner de foutmarge en hoe smaller het interval.
Foutenkans= 1 – vertrouwensniveau
De foutkans is de kans dat een interval het parameter niet bevat. Dat is 1 – vertrouwensniveau.
Grote steekproefgrootte nodig voor de geldigheid van de methode
Naarmate n toeneemt, is de steekproevenverdeling van ^π meer normaal van vorm, namelijk
centrale limietstelling.
5.3 betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde
Geschatte standaardfout voor de foutmarge
Hierbij geldt ook puntschatting +- foutmarge, waarbij foutmarge een veelvoud is van de
standaardfout. Formules geschatte standaardfout & standaardfout van
steekproefgemiddelde.
- Mediaan is soms betere centrummaat, want trekt minder snel scheef.
De t distributie
We weten ook de exacte standaarddeviatie niet en dit zorgt voor een extra fout. Verklaren voor deze
verhoogde fout kan door een iets grotere score t-score. Het komt uit een klokvormige verdeling
die iets meer verspreid is dat een standaard normale verdeling.
Hoofdstuk 4: probability distributions
4.4 steekproefverdelingen beschrijven hoe statistieken variëren
Het monsternemingsproces simuleren
Een simulatie kan ons laten zien hoe dicht het resultaat van een poll bij een bevolking ligt bij het
percentage dat op een kandidaat stemt. Zoals 00-49 voor ene kant en 50-99 voor andere kant en dan
voor welk getal mensen kiezen. Deze steekproef een paar keer doen en je hebt gemiddelde en je
kunt zien dat bv. 60,5% ongebruikelijk is.
Vertegenwoordiging van de variabiliteit van de bemonstering door een monsterverdeling
De voorkeur van kiezers is een variabele, evenzo is de steekproefverhouding een variabele.
- Steekproevenverdeling: kansverdeling door herhaaldelijk selecteren van steekproeven van
een bepaalde grootte en het vormen van een statistiek. Met een steekproevenverdeling
kunnen we waarschijnlijkheden over verhoudingen berekenen van individuen.
4.5 steekproefverdelingen van steekproefgemiddelden
Gemiddelde en standaard fout van de monsterneming distributie van y -
De spreiding van steekproevenverdeling van y wordt beschreven door standaarddeviatie, die de
standaardfout van y wordt genoemd.
σy= σ (gem antwoord) / wortel n (standaardfout)
De standaardfout wordt kleiner naarmate de steekproefomvang groter.
Monsterverdeling van monstermiddel is ongeveer normaal
- De klokvorm van steekproevenverdeling geldt ongeacht de vorm van bevolkingsverdeling.
- Hoe groot n moet zijn voordat de steekproevenverdeling grotendeels klokvormig is hangt af
van de scheefheid van populatieverdeling.
- Wetende dat de steekproevenverdeling van y- kan worden benaderd met een normale
verdeling helpt ons om kansen te vinden voor mogelijke waarden van y -.
H5: statistical inference: estimation
5.1 punt- en intervalschatting
Een puntschatting is een enkel getal dat de beste schatting is voor de parameter waarde en
intervalschatting is een interval van getallen rond puntschatting bevat volgens parameterwaarde.
(betrouwbaarheidsinterval) Een interval schatting helpt om de precisie van een puntschatting te
meten.
Puntschatting van parameters
Elke bepaalde parameter heeft veel mogelijke schatters. (steekproeven) Er zijn twee mogelijke
schatters van centrum: mediaan en gemiddelde.
Onbevoegde en efficiënte puntenschatters
Een goede schatters heeft een steekproevenverdeling die rond de parameter is gecentreerd en een
zo klein mogelijke standaardfout heeft. Parameter is gemiddelde van steekproevenverdeling.
Steekproef gemiddelde Y- is gelijk aan populatiegemiddelde µ. Een schatter met kleine standaardfout
is efficiënt. Het steekproefgemiddelde ligt meestal dichter bij bevolkingscentrum dan de
steekproefmediaan en is daarom een efficiënte schatter.
, Schatters van gemiddelde. Standaarddeviatie en verhouding
De steekproefproportie is een schatter die onbevoordeeld en efficiënt is. Het symbool ^ wordt vaak
gebruikt om een schatting van parameters weer te geven.
Betrouwbaarheidsinterval gevormd door puntschatting +- foutmarge
Gevolgtrekking van een parameter moet puntschatting aangeven maar ook hoe dicht de schatting
waarschijnlijk bij parameterwaarde ligt. De intervalschatting bestaat uit een interval van getallen
rondom puntschatting. Vaak is steekproevenverdeling ongeveer normaalverdeling en bij 95% is dan
binnen twee standaardfouten. Z-score x standaardfout om interval te construeren.
5.2 betrouwbaarheidsinterval voor een aandeel
Om categorische gegevens samen te vatten registreren we de verhoudingen van waarnemingen in
categorieën.
Steekproefproportie en de standaardfout
π is de populatieverhouding en valt tussen 0 en 1. De steekproefproportie is
een gemiddelde met kansverdeling P(1 / ene antwoord)= π en P(0 / andere
antwoord) = 1 – π. De standaarddeviatie is 2σ= p π (1 – π).
Betrouwbaarheidsinterval voor een aandeel
Voor grote willekeurige steekproeven is de steekproefverdeling van ˆπ
ongeveer normaal. Bij 95% is Z-score 1,96. Se is hierin een
steekproefschatting van een standaardfout.
Controle van het vertrouwensniveau door keuze van Z-score.
Er is bij 95% interval wel 5% kans dat het niet de juiste waarde bevat. Hoe groter het
betrouwbaarheidsniveau, hoe groter de kans dat het betrouwbaarheidsinterval de parameter bevat.
Z-waarde vermenigvuldigd met se is foutmarge.
Grotere monstergrootten geven smallere intervallen
Je kunt populatieaandeel π nauwkeuriger schatten met grotere steekproef, want hoe groter de
waarde van n, hoe kleiner de foutmarge en hoe smaller het interval.
Foutenkans= 1 – vertrouwensniveau
De foutkans is de kans dat een interval het parameter niet bevat. Dat is 1 – vertrouwensniveau.
Grote steekproefgrootte nodig voor de geldigheid van de methode
Naarmate n toeneemt, is de steekproevenverdeling van ^π meer normaal van vorm, namelijk
centrale limietstelling.
5.3 betrouwbaarheidsinterval voor een gemiddelde
Geschatte standaardfout voor de foutmarge
Hierbij geldt ook puntschatting +- foutmarge, waarbij foutmarge een veelvoud is van de
standaardfout. Formules geschatte standaardfout & standaardfout van
steekproefgemiddelde.
- Mediaan is soms betere centrummaat, want trekt minder snel scheef.
De t distributie
We weten ook de exacte standaarddeviatie niet en dit zorgt voor een extra fout. Verklaren voor deze
verhoogde fout kan door een iets grotere score t-score. Het komt uit een klokvormige verdeling
die iets meer verspreid is dat een standaard normale verdeling.
