Departamento MATEMÁTICAS II
UniversidadeVigo de Matemáticas Grao en Economı́a
Apelidos: EXAME FINAL
Nome: DNI: 12 xaneiro, 2017
Test B P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 NOTA(max.10)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
RESPOSTAS
1a 2d 3b 4d 5b 6c 7d 8c 9c 10c 11c 12d 13d 14d 15c
−2 0
1. Se A = , entón
0 3
a) os autovalores de A son: −2, 3 b) det(A) = 6
c) os menores principales de A son: D1 = −2, D2 = 0 d) A é definida negativa.
2. A forma cadrática Q(x, y) = 3y 2 + 2xy é
a) definida positiva. b) definida negativa. c) semidefinida negativa. d) non definida.
3. Sexa f : R2 → R é diferenciable, se D(−1,1) f (2, 3) = 1 e D(3,1) f (2, 3) = 5 entón
a) D1 f (2, 3) = 0 b) D2 f (2, 3) = 2 c) ∇f (−1, 1) = (1, 2) d) ∇f (2, 3) = (1, 5)
4. Se f : R2 → R é diferenciable e homoxénea de grao 3, pódese afirmar que
a) D2 f (0, 1) = D22 f (0, 1) b) D1 f (2, 0) = D1 f (1, 0)
c) f (1, 0) = 3D1 f (1, 0) d) 3f (0, 1) = D2 f (0, 1)
5. Cal das seguintes funcións é homoxénea de grado 2?
x3
a) f (x, y) = x3 y 2 b) g(x, y) = y c) h(x, y) = ln(xy) d) p(x, y) = x + y
6. Se f : R2 −→ R é unha función de clase dúas, entón pódese afirmar que:
a) Se f é homoxénea de grado α, entón f (3, 2) = 3D1 f (3, 2) + 2D2 f (3, 2)
b) Se f é homoxénea de grado α, entón f (αx, αy) = α2 f (x, y), para todo (x, y) ∈ R2 .
c) Se Hf (x, y) é definida negativa, para todo (x, y) ∈ R2 , entón f é cóncava en R2
d) Se Hf (0, 0) é definida negativa, entón f é cóncava en R2
7. Se f : R2 → R é diferenciable e G(x, y) = f (yex , x1/4 ), cal das seguintes igualdades é FALSA?
1
a) D2 G(x, y) = ex D1 f (yex , x1/4 ) b)D1 G(x, y) = yex D1 f (yex , x1/4 )+ x 1/4 )
4 3 D2 f (ye , x
√
4 x
c) D22 G(x, y) = e2x D11 f (yex , x1/4 ) d) D22 G(x, y) = ex D21 f (yex , x1/4 )
8. Se x = ϕ(y, z) é a función implı́cita definida pola ecuación ln(x2 + y 2 ) + x3 z = 0, nun contorno do
punto (xo , yo , zo ) = (1, 0, 0), pódese afirmar que
2y ∂x
a) ϕ(1, 0) = 0 b) ϕ(1, 0, 0) = 0 c) D2 ϕ(0, 0) = −1/2 d) 2 + 3x2 z ∂x
∂y = 0
x + y 2 ∂y
9. Se F (x, y, z) = xy 2 z + ez−2 , cal das seguintes igualdades é FALSA?
a) ∇F (0, 1, 2) = (2, 0, 1)
b) O teorema da función implı́cita garante que a ecuación xy 2 z +ez−2 = 1 define a x como función
implı́cita de (y, z) nun contorno de (0, 1, 2)
c) O teorema da función implı́cita garante que a ecuación xy 2 z +ez−2 = 1 define a y como función
implı́cita de (x, z) nun contorno de (0, 1, 2)
d) O teorema da función implı́cita garante que a ecuación xy 2 z +ez−2 = 1 define a z como función
implı́cita de (x, y) nun contorno de (0, 1, 2)
UniversidadeVigo de Matemáticas Grao en Economı́a
Apelidos: EXAME FINAL
Nome: DNI: 12 xaneiro, 2017
Test B P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 NOTA(max.10)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
RESPOSTAS
1a 2d 3b 4d 5b 6c 7d 8c 9c 10c 11c 12d 13d 14d 15c
−2 0
1. Se A = , entón
0 3
a) os autovalores de A son: −2, 3 b) det(A) = 6
c) os menores principales de A son: D1 = −2, D2 = 0 d) A é definida negativa.
2. A forma cadrática Q(x, y) = 3y 2 + 2xy é
a) definida positiva. b) definida negativa. c) semidefinida negativa. d) non definida.
3. Sexa f : R2 → R é diferenciable, se D(−1,1) f (2, 3) = 1 e D(3,1) f (2, 3) = 5 entón
a) D1 f (2, 3) = 0 b) D2 f (2, 3) = 2 c) ∇f (−1, 1) = (1, 2) d) ∇f (2, 3) = (1, 5)
4. Se f : R2 → R é diferenciable e homoxénea de grao 3, pódese afirmar que
a) D2 f (0, 1) = D22 f (0, 1) b) D1 f (2, 0) = D1 f (1, 0)
c) f (1, 0) = 3D1 f (1, 0) d) 3f (0, 1) = D2 f (0, 1)
5. Cal das seguintes funcións é homoxénea de grado 2?
x3
a) f (x, y) = x3 y 2 b) g(x, y) = y c) h(x, y) = ln(xy) d) p(x, y) = x + y
6. Se f : R2 −→ R é unha función de clase dúas, entón pódese afirmar que:
a) Se f é homoxénea de grado α, entón f (3, 2) = 3D1 f (3, 2) + 2D2 f (3, 2)
b) Se f é homoxénea de grado α, entón f (αx, αy) = α2 f (x, y), para todo (x, y) ∈ R2 .
c) Se Hf (x, y) é definida negativa, para todo (x, y) ∈ R2 , entón f é cóncava en R2
d) Se Hf (0, 0) é definida negativa, entón f é cóncava en R2
7. Se f : R2 → R é diferenciable e G(x, y) = f (yex , x1/4 ), cal das seguintes igualdades é FALSA?
1
a) D2 G(x, y) = ex D1 f (yex , x1/4 ) b)D1 G(x, y) = yex D1 f (yex , x1/4 )+ x 1/4 )
4 3 D2 f (ye , x
√
4 x
c) D22 G(x, y) = e2x D11 f (yex , x1/4 ) d) D22 G(x, y) = ex D21 f (yex , x1/4 )
8. Se x = ϕ(y, z) é a función implı́cita definida pola ecuación ln(x2 + y 2 ) + x3 z = 0, nun contorno do
punto (xo , yo , zo ) = (1, 0, 0), pódese afirmar que
2y ∂x
a) ϕ(1, 0) = 0 b) ϕ(1, 0, 0) = 0 c) D2 ϕ(0, 0) = −1/2 d) 2 + 3x2 z ∂x
∂y = 0
x + y 2 ∂y
9. Se F (x, y, z) = xy 2 z + ez−2 , cal das seguintes igualdades é FALSA?
a) ∇F (0, 1, 2) = (2, 0, 1)
b) O teorema da función implı́cita garante que a ecuación xy 2 z +ez−2 = 1 define a x como función
implı́cita de (y, z) nun contorno de (0, 1, 2)
c) O teorema da función implı́cita garante que a ecuación xy 2 z +ez−2 = 1 define a y como función
implı́cita de (x, z) nun contorno de (0, 1, 2)
d) O teorema da función implı́cita garante que a ecuación xy 2 z +ez−2 = 1 define a z como función
implı́cita de (x, y) nun contorno de (0, 1, 2)
