Wiskunde 1
herhaling
Verandering van x/y en invloed van parameters
verandering teken
- grafiek van y= - f(x) → grafiek van y=f(x) spiegelen t.o.v. x-as
- grafiek van y=f(-x) → grafiek van y=f(x) spiegelen t.o.v. y-as
- grafiek van y=-f(-x) → grafiek van y=f(x)spiegelen t.o.v. oorsprong
betekenis van constanten
y = a * f(x) met a > 0
- grafiek van y=a*f(x) met a>0 ontstaat door grafiek van y=f(x) uit te rekken langs
de y-as met factor a
- 0 < a < 1 → inkrimping
- a > 1 → uitrekking
y = f(bx) met b > 0
- grafiek van y=f(bx) ontstaat door grafiek van y=f(x) uit te rekken volgens de
richting van de x-as met factor 1/b
y=f(x+c)
- horizontale verschuiving v/d grafiek van y=f(x) met |c| eenheden
- c < 0 → horizontale verschuiving naar rechts
- c > 0 → horizontale verschuiving naar links
y=f(x) + d
- verticale verschuiving v/d grafiek van y=f(x) met |d| eenheden
- d < 0 → verticale verschuiving naar beneden
- d > 0 → verticale verschuiving naar boven
Reële functies
Reële functies
veeltermfunctie
- aantal nulpunten = graad
- behalve bij MP 2!
p. 1/22
, Wiskunde 1
rationale functie
- breuk
irrationale functie
- onbekende onder een wortelvorm
goniometrische functie
exponentiële functie
p. 2/22
, Wiskunde 1
logaritmische functies
Veeltermfuncties
Definities
afgeleide de afgeleide of het differentiaalquotiënt is een maat voor
verandering van een functie ten opzichte van verandering van zijn
variabelen
maximum als er een open interval I rond c bestaat waarvoor geldt:
dan zeggen we dat de functie een relatief of lokaal maximum
bereikt in c
→ absoluut maximum
minimum als er een open interval I rond c bestaat waarvoor geldt:
dan zeggen we dat de functie een relatief of lokaal mi nimum
bereikt in c
→absoluut minimum
stijgen f ( x 2)−f (x 1)
f is strikt stijgend in [a,b] ⇔ ∀ x1,x2∊[a,b]: >0 als x1 ≠ x2
x 2−x 1
Δy
→ differentiequotiënt is positief
Δx
dalen f ( x 2)−f (x 1)
f is strikt dalend in [a,b] ⇔ ∀ x1,x2∊[a,b]: < 0 als x1 ≠ x2
x 2−x 1
Δy
→ differentiequotiënt is negatief
Δx
buigpunt de grafiek van f heeft een buigpunt in a ⇔ f’ een extremum in a
bereikt, en er een raaklijn is aan de grafiek van f in (a, f(a))
p. 3/22
, Wiskunde 1
hol f is convex / hol in [a,b] ⇔de grafiek van f is hol in [a,b] ⇔ f’ is
stijgend in [a,b]
bol f is concaaf / bol in [a,b] ⇔ de grafiek van f is bol in [a,b] ⇔ f’ is
dalend in [a,b]
veeltermfunctie: een veeltermfunctie f van de n-de graad is een functie waarvan het
functievoorschrift f (x) een n-degraadsveelterm is in x
- constante functies: f(x) = a
- eerstegraadsfuncties: f(x) = ax + b
- kwadratische functies: f(x) = ax² + bx + c
Constante, eerste- en tweedegraadsfuncties
constante functie
voorschrift: f(x) = q met m ≠ 0 en q ∊ℝ
- grafiek: rechte evenwijdig met x-as en door het punt met coördinaat (0,q)
eerstegraadsfunctie
voorschrift: f(x) = mx + q met m ≠ 0 en q,m ∊ℝ
- als q = 0 →rechte door de oorsprong
tekenregel
- links nulwaarde: tegengesteld teken
van m
- in nulwaarde: nul
- rechts nulwaarde: teken van m
tweedegraadsfunctie
voorschrift: f(x) = ax² + bx + c met a≠ 0 a,b,c∊ℝ
- grafiek: parabool
- top: (
−b −b ²+4 ac
2a
;
4a (
)of
−b
2a )
;f (
−b
2a
)
b
- symmetrie-as: x = -
2a
- a > 0 dalparabool → top is minimum
- a < 0 bergparabool → top is maximum
- nulwaarden: oplossing van ax² + bx + c = 0
- D = b² - 4ac
- D > 0 → 2 opl
−b−√ ❑
- x1 =
❑
−b+ √ ❑
- x2 =
❑
- D = 0 → 1 opl
p. 4/22
, Wiskunde 1
−b
- x=
2a
- D < 0 → geen opl in ℝ
- ax² + bx + c = a(x - x1) (x - x2)
tekenregel
- buiten nulwaarde(n): teken van a
- in de nulwaarde(n) : 0
- binnen de nulwaarde(n) : tegengesteld teken van a
Hogeregraadsvergelijkingen
1. herleid naar f(x) = 0
2. ontbind het linkerlid in factoren:
- gemeenschappelijke factor afzonderen?
- gebruik maken van formules:
- A² - B² = (A - B) (A + B)
- A³ - B³ = (A - B) (A² - AB + B²)
- A³ + B³= (A + B) (A² - AB + B²)
- A² + 2AB + B = (A + B)²
- A³ + 3A²B + 3AB² + B³ = (A+B)³
- termen 2 aan 2 samenvoegen + gemeenschappeljke factor afzonderen
- regel van Horner
- deler : (x - a)
3. los op met eigenschap: A*B = 0 ⇔ A=0 V B = 0
! een vergelijking van de n-de graad heeft hoogstens n oplossingen
multipliciteit van nulwaarden
MP 1 → snijpunt x-as (eenvoudige nulwaarde)
MP even → raakt x-as (bv. tweevoudige nulwaarde)
MP oneven en >1 →buigt doorheen x-as (bv. drievoudige nulwaarde)
Het differentiequotiënt
het differentiequotiënt: de gemiddelde verandering over een interval [a, a + Δx ]
- rico van de rechte PQ met P (a, f(a)) en Q (a + Δx, f(a+Δx))
- gemiddelde helling van de grafiek van f over [a, a + Δx]
- benadering van de ogenblikkelijke verandering in P, juister als Δx →0
De afgeleide
hoogteverschil
hellingsgetal:
horizontale toename
afgeleid getal / afgeleide: stel a is een inwendig punt van dom f. Als het
differentiequotiënt een eindige limiet heeft in a, dan noemen we dat getal het afgeleid
getal / de afgeleide van f in a, genoteerd als f’(a)
p. 5/22
, Wiskunde 1
of
gemiddelde verandering van een functie: de gemiddelde verandering van een
functie f over een interval [a, a + Δx] wordt weergegeven door het differentiequotiënt
inwendig punt: een getal is een inwendig punt van een verzameling als er een
basisomgeving van dat getal bestaat die volledig tot die verzameling behoort
raaklijn: rechte die door juist 1 punt van de grafiek gaat: P (xp,yp) met rico m: y-yp=m(x-
xp)
De afgeleide van f in a:
- is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn t in P(a,f(a)) aan de grafiek van f
- geeft de helling weer van de grafiek van f in het punt P
- is een maat voor de ogenblikkelijke verandering van f voor x = a
- t.o.v. een georthonormeerd assenstelsel geld:
- f’(a) = tan 𝛂 met 𝛂 de hellingshoek van de raaklijn aan de grafiek van f in
het punt P (a, f(a))
bestaat f'(a), dan is de raaklijn t in het punt P(a,f(a)) aan de grafiek van f bepaald door y-
f(a) = f'(a)*(x-a)
De afgeleide functie
afgeleide functie van een functie: de afgeleide functie van f is de functie f’ die elke x
waarin f afleidbaar is, afbeeldt op de afgeleide van f in x
Verloop van de afgeleide
- f’(x) > 0 → strikt stijgend
- f’(x) < 0 → strikt dalend
Afgeleide van enkele belangrijke functies (KT)
de afgeleide van een:
- constante functie: Dc = 0
- identieke functie: Dx = 1
- functie f met f(x) = nx met n∈ Q0 Dxn= n*xn-1
1 1 −1
- functie f met f(x) = D = 2
x x x
1
- functie f met f(x) = √❑ D√ ❑ =
2 √❑
1
- functie f met f(x) = √3 x D√3 x = 3 2
3 √x
p. 6/22
herhaling
Verandering van x/y en invloed van parameters
verandering teken
- grafiek van y= - f(x) → grafiek van y=f(x) spiegelen t.o.v. x-as
- grafiek van y=f(-x) → grafiek van y=f(x) spiegelen t.o.v. y-as
- grafiek van y=-f(-x) → grafiek van y=f(x)spiegelen t.o.v. oorsprong
betekenis van constanten
y = a * f(x) met a > 0
- grafiek van y=a*f(x) met a>0 ontstaat door grafiek van y=f(x) uit te rekken langs
de y-as met factor a
- 0 < a < 1 → inkrimping
- a > 1 → uitrekking
y = f(bx) met b > 0
- grafiek van y=f(bx) ontstaat door grafiek van y=f(x) uit te rekken volgens de
richting van de x-as met factor 1/b
y=f(x+c)
- horizontale verschuiving v/d grafiek van y=f(x) met |c| eenheden
- c < 0 → horizontale verschuiving naar rechts
- c > 0 → horizontale verschuiving naar links
y=f(x) + d
- verticale verschuiving v/d grafiek van y=f(x) met |d| eenheden
- d < 0 → verticale verschuiving naar beneden
- d > 0 → verticale verschuiving naar boven
Reële functies
Reële functies
veeltermfunctie
- aantal nulpunten = graad
- behalve bij MP 2!
p. 1/22
, Wiskunde 1
rationale functie
- breuk
irrationale functie
- onbekende onder een wortelvorm
goniometrische functie
exponentiële functie
p. 2/22
, Wiskunde 1
logaritmische functies
Veeltermfuncties
Definities
afgeleide de afgeleide of het differentiaalquotiënt is een maat voor
verandering van een functie ten opzichte van verandering van zijn
variabelen
maximum als er een open interval I rond c bestaat waarvoor geldt:
dan zeggen we dat de functie een relatief of lokaal maximum
bereikt in c
→ absoluut maximum
minimum als er een open interval I rond c bestaat waarvoor geldt:
dan zeggen we dat de functie een relatief of lokaal mi nimum
bereikt in c
→absoluut minimum
stijgen f ( x 2)−f (x 1)
f is strikt stijgend in [a,b] ⇔ ∀ x1,x2∊[a,b]: >0 als x1 ≠ x2
x 2−x 1
Δy
→ differentiequotiënt is positief
Δx
dalen f ( x 2)−f (x 1)
f is strikt dalend in [a,b] ⇔ ∀ x1,x2∊[a,b]: < 0 als x1 ≠ x2
x 2−x 1
Δy
→ differentiequotiënt is negatief
Δx
buigpunt de grafiek van f heeft een buigpunt in a ⇔ f’ een extremum in a
bereikt, en er een raaklijn is aan de grafiek van f in (a, f(a))
p. 3/22
, Wiskunde 1
hol f is convex / hol in [a,b] ⇔de grafiek van f is hol in [a,b] ⇔ f’ is
stijgend in [a,b]
bol f is concaaf / bol in [a,b] ⇔ de grafiek van f is bol in [a,b] ⇔ f’ is
dalend in [a,b]
veeltermfunctie: een veeltermfunctie f van de n-de graad is een functie waarvan het
functievoorschrift f (x) een n-degraadsveelterm is in x
- constante functies: f(x) = a
- eerstegraadsfuncties: f(x) = ax + b
- kwadratische functies: f(x) = ax² + bx + c
Constante, eerste- en tweedegraadsfuncties
constante functie
voorschrift: f(x) = q met m ≠ 0 en q ∊ℝ
- grafiek: rechte evenwijdig met x-as en door het punt met coördinaat (0,q)
eerstegraadsfunctie
voorschrift: f(x) = mx + q met m ≠ 0 en q,m ∊ℝ
- als q = 0 →rechte door de oorsprong
tekenregel
- links nulwaarde: tegengesteld teken
van m
- in nulwaarde: nul
- rechts nulwaarde: teken van m
tweedegraadsfunctie
voorschrift: f(x) = ax² + bx + c met a≠ 0 a,b,c∊ℝ
- grafiek: parabool
- top: (
−b −b ²+4 ac
2a
;
4a (
)of
−b
2a )
;f (
−b
2a
)
b
- symmetrie-as: x = -
2a
- a > 0 dalparabool → top is minimum
- a < 0 bergparabool → top is maximum
- nulwaarden: oplossing van ax² + bx + c = 0
- D = b² - 4ac
- D > 0 → 2 opl
−b−√ ❑
- x1 =
❑
−b+ √ ❑
- x2 =
❑
- D = 0 → 1 opl
p. 4/22
, Wiskunde 1
−b
- x=
2a
- D < 0 → geen opl in ℝ
- ax² + bx + c = a(x - x1) (x - x2)
tekenregel
- buiten nulwaarde(n): teken van a
- in de nulwaarde(n) : 0
- binnen de nulwaarde(n) : tegengesteld teken van a
Hogeregraadsvergelijkingen
1. herleid naar f(x) = 0
2. ontbind het linkerlid in factoren:
- gemeenschappelijke factor afzonderen?
- gebruik maken van formules:
- A² - B² = (A - B) (A + B)
- A³ - B³ = (A - B) (A² - AB + B²)
- A³ + B³= (A + B) (A² - AB + B²)
- A² + 2AB + B = (A + B)²
- A³ + 3A²B + 3AB² + B³ = (A+B)³
- termen 2 aan 2 samenvoegen + gemeenschappeljke factor afzonderen
- regel van Horner
- deler : (x - a)
3. los op met eigenschap: A*B = 0 ⇔ A=0 V B = 0
! een vergelijking van de n-de graad heeft hoogstens n oplossingen
multipliciteit van nulwaarden
MP 1 → snijpunt x-as (eenvoudige nulwaarde)
MP even → raakt x-as (bv. tweevoudige nulwaarde)
MP oneven en >1 →buigt doorheen x-as (bv. drievoudige nulwaarde)
Het differentiequotiënt
het differentiequotiënt: de gemiddelde verandering over een interval [a, a + Δx ]
- rico van de rechte PQ met P (a, f(a)) en Q (a + Δx, f(a+Δx))
- gemiddelde helling van de grafiek van f over [a, a + Δx]
- benadering van de ogenblikkelijke verandering in P, juister als Δx →0
De afgeleide
hoogteverschil
hellingsgetal:
horizontale toename
afgeleid getal / afgeleide: stel a is een inwendig punt van dom f. Als het
differentiequotiënt een eindige limiet heeft in a, dan noemen we dat getal het afgeleid
getal / de afgeleide van f in a, genoteerd als f’(a)
p. 5/22
, Wiskunde 1
of
gemiddelde verandering van een functie: de gemiddelde verandering van een
functie f over een interval [a, a + Δx] wordt weergegeven door het differentiequotiënt
inwendig punt: een getal is een inwendig punt van een verzameling als er een
basisomgeving van dat getal bestaat die volledig tot die verzameling behoort
raaklijn: rechte die door juist 1 punt van de grafiek gaat: P (xp,yp) met rico m: y-yp=m(x-
xp)
De afgeleide van f in a:
- is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn t in P(a,f(a)) aan de grafiek van f
- geeft de helling weer van de grafiek van f in het punt P
- is een maat voor de ogenblikkelijke verandering van f voor x = a
- t.o.v. een georthonormeerd assenstelsel geld:
- f’(a) = tan 𝛂 met 𝛂 de hellingshoek van de raaklijn aan de grafiek van f in
het punt P (a, f(a))
bestaat f'(a), dan is de raaklijn t in het punt P(a,f(a)) aan de grafiek van f bepaald door y-
f(a) = f'(a)*(x-a)
De afgeleide functie
afgeleide functie van een functie: de afgeleide functie van f is de functie f’ die elke x
waarin f afleidbaar is, afbeeldt op de afgeleide van f in x
Verloop van de afgeleide
- f’(x) > 0 → strikt stijgend
- f’(x) < 0 → strikt dalend
Afgeleide van enkele belangrijke functies (KT)
de afgeleide van een:
- constante functie: Dc = 0
- identieke functie: Dx = 1
- functie f met f(x) = nx met n∈ Q0 Dxn= n*xn-1
1 1 −1
- functie f met f(x) = D = 2
x x x
1
- functie f met f(x) = √❑ D√ ❑ =
2 √❑
1
- functie f met f(x) = √3 x D√3 x = 3 2
3 √x
p. 6/22
