UPHF - INSA HdF
licence 2 Mathématiques - Semestre 4 Année 20-21
UE Algèbre 4P
Devoir surveillé du 16 mars 2021
Durée : 2 heures
Les calculatrices et les documents sont interdits.
À titre d’indication, il est donné pour chaque exercice du sujet le nombre approximatif de points qui lui sera attribué
lors de la correction.
Il sera accordé une grande importance dans l’évaluation des réponses à la rigueur et à la qualité de la rédaction.
Exercice 1 [5 points]
Soit E un R-espace vectoriel, non réduit à {0E }, de dimension finie, et soit u un endomorphisme de E.
On suppose que u3 = u2 , u 6= idE , u2 6= 0L(E) et u2 6= u.
1) Déterminer le polynôme minimal de u, noté πu .
2) Donner le spectre de u, noté spec(u).
3) Justifier que u n’est pas diagonalisable.
Exercice 2 [5,5 points]
Soit le R-espace vectoriel E = R2 [X], muni de ses deux opérations habituelles.
∗
1) On note C la base canonique de E et C ∗ = (1∗ , X ∗ X 2 ) sa base duale.
Donner les images d’un polynôme P ∈ E par les formes linéaires qui composent la base C ∗ .
2) On considère les formes linéaires φ1 , φ2 , φ3 , définies par :
Z 1
∀P ∈ E , φ1 (P ) = P (1) , φ2 (P ) = P 0 (1) , φ3 (P ) = P (t)dt.
0
Montrer que la famille B ∗ = {φ1 , φ2 , φ3 } est une base de l’espace dual de E, noté E ∗ .
Exercice 3 [6 points]
Soient un nombre entier n ≥ 2 et E = Mn (R) le R-espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre n
muni des deux opérations habituelles.
On considère l’application
ψ : E 2 −→ R , (X, Y ) 7−→ tr (t XY ),
où tr est l’application qui à une matrice associe sa trace et où tX désigne la transposée de X.
1) On considère dans cette question une matrice A carré réelle d’ordre 2.
Montrer que : A 6= 02 =⇒ tr(tAA) > 0.
Vous admettrez que ce résultat se généralise à des matrices carrées réelles d’ordre n quelconque.
2) Montrer que ψ est un produit scalaire sur E.
Énoncez clairement les propriétés de l’application trace que vous utiliserez dans votre réponse.
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licence 2 Mathématiques - Semestre 4 Année 20-21
UE Algèbre 4P
Devoir surveillé du 16 mars 2021
Durée : 2 heures
Les calculatrices et les documents sont interdits.
À titre d’indication, il est donné pour chaque exercice du sujet le nombre approximatif de points qui lui sera attribué
lors de la correction.
Il sera accordé une grande importance dans l’évaluation des réponses à la rigueur et à la qualité de la rédaction.
Exercice 1 [5 points]
Soit E un R-espace vectoriel, non réduit à {0E }, de dimension finie, et soit u un endomorphisme de E.
On suppose que u3 = u2 , u 6= idE , u2 6= 0L(E) et u2 6= u.
1) Déterminer le polynôme minimal de u, noté πu .
2) Donner le spectre de u, noté spec(u).
3) Justifier que u n’est pas diagonalisable.
Exercice 2 [5,5 points]
Soit le R-espace vectoriel E = R2 [X], muni de ses deux opérations habituelles.
∗
1) On note C la base canonique de E et C ∗ = (1∗ , X ∗ X 2 ) sa base duale.
Donner les images d’un polynôme P ∈ E par les formes linéaires qui composent la base C ∗ .
2) On considère les formes linéaires φ1 , φ2 , φ3 , définies par :
Z 1
∀P ∈ E , φ1 (P ) = P (1) , φ2 (P ) = P 0 (1) , φ3 (P ) = P (t)dt.
0
Montrer que la famille B ∗ = {φ1 , φ2 , φ3 } est une base de l’espace dual de E, noté E ∗ .
Exercice 3 [6 points]
Soient un nombre entier n ≥ 2 et E = Mn (R) le R-espace vectoriel des matrices carrées réelles d’ordre n
muni des deux opérations habituelles.
On considère l’application
ψ : E 2 −→ R , (X, Y ) 7−→ tr (t XY ),
où tr est l’application qui à une matrice associe sa trace et où tX désigne la transposée de X.
1) On considère dans cette question une matrice A carré réelle d’ordre 2.
Montrer que : A 6= 02 =⇒ tr(tAA) > 0.
Vous admettrez que ce résultat se généralise à des matrices carrées réelles d’ordre n quelconque.
2) Montrer que ψ est un produit scalaire sur E.
Énoncez clairement les propriétés de l’application trace que vous utiliserez dans votre réponse.
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