L1-SDG-Mathématiques 1 P. Loup - L. Bonifas
Module 1:
Généralités sur les fonctions
Table des matières
Unité 1 - Notations et rappels.................................................................................................... 2
I - Notations mathématiques ............................................................................................................ 2
II - Rappels sur les ensembles .......................................................................................................... 2
1 ) Définition............................................................................................................................................... 2
2 ) Propriétés et notations ............................................................................................................................ 2
III - Notions de Relations – Applications – Fonctions – Bijections ............................................... 4
1 ) Relation ................................................................................................................................................. 4
2 ) Application ............................................................................................................................................ 4
3 ) Fonction ................................................................................................................................................. 5
4 ) Bijection ................................................................................................................................................ 5
Unité 2 - Généralités sur les fonctions numériques d’une variable réelle .............................. 6
I - Définitions..................................................................................................................................... 6
II - Domaine de définition ................................................................................................................ 6
III - Notion de voisinage et de distance ........................................................................................... 7
1 ) Voisinage ............................................................................................................................................... 7
2 ) Distance ................................................................................................................................................. 7
3 ) Signification de x tend vers x0 sur un intervalle..................................................................................... 8
IV - Représentation graphique ........................................................................................................ 8
1 ) Tracé de la fonction................................................................................................................................ 8
2 ) Sens de variation d’une fonction : .......................................................................................................... 9
3 ) Extremum : ............................................................................................................................................ 9
4 ) Signe d’une fonction : ............................................................................................................................ 9
V - Limites ....................................................................................................................................... 10
1 ) Etude d’un exemple.............................................................................................................................. 10
2 ) Limite en a ......................................................................................................................................... 10
3 ) Limite à droite et limite à gauche ......................................................................................................... 11
4 ) Limite infinie en un point ..................................................................................................................... 12
5 ) Limite à l’infini .................................................................................................................................... 13
6 ) Propriétés des limites ........................................................................................................................... 14
7 ) Théorème sur les limites des polynômes :............................................................................................. 15
8 ) Théorème sur les limites des fonctions rationnelles .............................................................................. 15
VI - Continuité ................................................................................................................................ 16
1 ) Définition............................................................................................................................................. 16
2 ) Théorèmes ........................................................................................................................................... 17
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Module 1:
Généralités sur les fonctions
Unité 1 - Notations et rappels
I - Notations mathématiques
: quelque soit (quantificateur universel).
: il existe (quantificateur existentiel)
: implique ou entraine.
: équivalent.
: l’ensemble vide (ne contient aucun élément).
II - Rappels sur les ensembles
1 ) Définition
Définition :
Un ensemble est une collection ou un groupement d'objets distincts ; ces objets
s'appellent les éléments de cet ensemble
2 ) Propriétés et notations
Soit E un ensemble.
Soient A et B deux sous-ensembles de E
- Inclusion : on dit que A est inclus dans B, lorsque tout élément de A est élément de B,
on utilise la notation suivante : A B .
Notation mathématique : x E , x A x B
- Egalité : on dit que A et B sont égaux, A = B ,lorsque A B et B A
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- Intersection : on définit l’intersection entre les ensembles A et B, notée A B , de
la manière suivante : A B = x E / x A et x B
Intersection des ensembles A et B
- Réunion : on définit l’union entre les ensembles A et B, notée A B , de la manière
suivante : A B = x E / x A ou x B
L'union des ensembles A et B
- Complémentaire : on appelle complémentaire de l’ensemble A dans E, l’ensemble noté
A défini de la manière suivante : A = x E / x A
- Produit : on appelle produit de l’ensemble A par l’ensemble B, noté A B , l’ensemble
défini de la manière suivante : A B = ( x, y) / x A et y B
- Cardinal : on appelle cardinal de A, noté Card ( A) , le nombre d’éléments contenu dans
A.
Card () = 0
Card ( A B) = Card ( A) + Card ( B) − Card ( A B )
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Généralités sur les fonctions
Table des matières
Unité 1 - Notations et rappels.................................................................................................... 2
I - Notations mathématiques ............................................................................................................ 2
II - Rappels sur les ensembles .......................................................................................................... 2
1 ) Définition............................................................................................................................................... 2
2 ) Propriétés et notations ............................................................................................................................ 2
III - Notions de Relations – Applications – Fonctions – Bijections ............................................... 4
1 ) Relation ................................................................................................................................................. 4
2 ) Application ............................................................................................................................................ 4
3 ) Fonction ................................................................................................................................................. 5
4 ) Bijection ................................................................................................................................................ 5
Unité 2 - Généralités sur les fonctions numériques d’une variable réelle .............................. 6
I - Définitions..................................................................................................................................... 6
II - Domaine de définition ................................................................................................................ 6
III - Notion de voisinage et de distance ........................................................................................... 7
1 ) Voisinage ............................................................................................................................................... 7
2 ) Distance ................................................................................................................................................. 7
3 ) Signification de x tend vers x0 sur un intervalle..................................................................................... 8
IV - Représentation graphique ........................................................................................................ 8
1 ) Tracé de la fonction................................................................................................................................ 8
2 ) Sens de variation d’une fonction : .......................................................................................................... 9
3 ) Extremum : ............................................................................................................................................ 9
4 ) Signe d’une fonction : ............................................................................................................................ 9
V - Limites ....................................................................................................................................... 10
1 ) Etude d’un exemple.............................................................................................................................. 10
2 ) Limite en a ......................................................................................................................................... 10
3 ) Limite à droite et limite à gauche ......................................................................................................... 11
4 ) Limite infinie en un point ..................................................................................................................... 12
5 ) Limite à l’infini .................................................................................................................................... 13
6 ) Propriétés des limites ........................................................................................................................... 14
7 ) Théorème sur les limites des polynômes :............................................................................................. 15
8 ) Théorème sur les limites des fonctions rationnelles .............................................................................. 15
VI - Continuité ................................................................................................................................ 16
1 ) Définition............................................................................................................................................. 16
2 ) Théorèmes ........................................................................................................................................... 17
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Module 1:
Généralités sur les fonctions
Unité 1 - Notations et rappels
I - Notations mathématiques
: quelque soit (quantificateur universel).
: il existe (quantificateur existentiel)
: implique ou entraine.
: équivalent.
: l’ensemble vide (ne contient aucun élément).
II - Rappels sur les ensembles
1 ) Définition
Définition :
Un ensemble est une collection ou un groupement d'objets distincts ; ces objets
s'appellent les éléments de cet ensemble
2 ) Propriétés et notations
Soit E un ensemble.
Soient A et B deux sous-ensembles de E
- Inclusion : on dit que A est inclus dans B, lorsque tout élément de A est élément de B,
on utilise la notation suivante : A B .
Notation mathématique : x E , x A x B
- Egalité : on dit que A et B sont égaux, A = B ,lorsque A B et B A
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- Intersection : on définit l’intersection entre les ensembles A et B, notée A B , de
la manière suivante : A B = x E / x A et x B
Intersection des ensembles A et B
- Réunion : on définit l’union entre les ensembles A et B, notée A B , de la manière
suivante : A B = x E / x A ou x B
L'union des ensembles A et B
- Complémentaire : on appelle complémentaire de l’ensemble A dans E, l’ensemble noté
A défini de la manière suivante : A = x E / x A
- Produit : on appelle produit de l’ensemble A par l’ensemble B, noté A B , l’ensemble
défini de la manière suivante : A B = ( x, y) / x A et y B
- Cardinal : on appelle cardinal de A, noté Card ( A) , le nombre d’éléments contenu dans
A.
Card () = 0
Card ( A B) = Card ( A) + Card ( B) − Card ( A B )
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