Gegeben sind zwei Schaubilder Kf von f und Kg von g. Gesucht ist der Inhalt der Fläche zwischen Kf unf Kg über dem
Intervall a;b
b b b
Im Intervall a;b liegt Kf oberhalb von Kg. Für den Flächeninhalt A gilt: A= ∫f(x)dx
EIN — ∫g(x)dx
91×1 = ∫(f(x) — g(x))dx
a.tl#HDifterenzfunktionbaobereKurveuntereKurve
•
Merke
In te rv a ll a ;b nicht, dann ist
die Kurven im
Schneiden sich
ere Ku rv e — u ntere Kurve)dx
A = ∫(ob der x-Achse lie
gt)
nte r o d e r a uf
äche über, u
(Egal, ob die Fl
Beachte halts
g a ti ven Wert des Flächemim
rt den n e
re Ku rve — ob ere Kurve) liefe
∫:(unte
Beispiel:
Gegeben sind die beiden Schaubilder K von f mit f(x) = e0,25/1 + 1 und G von g mit g(x) = e 2x +1.
Bestimmen Sie u>0 so, dass die Fläche, die zwischen K, G und der Geraden mit der Gleichung x = u eingeschlossen ist, den
Inhalt 3,5 hat. u
{
"
Eezx Ge :X
"
{(94
"
f)dx
✗ =
-
Skizze A- ) e e
-
FG) -94 )
=
-
◦
Schnittpunkte
|
GG )
:
?"
f" , Ee
? "
Ge
"
( E 4) =
Ee" Ge +3,5
ER
=
:&
- -
" - -
+1 +1
t
A-
eo.25x.se " -3,5
f-G) =L Ee ?"
"
✗
+1 Ge +3,5=3.5
Sy (0/2)
-
0,25/1=2 × 1-4 ?"
GE
"
Ie -
"
= 0 >e
-
8=0
91×1=22×+1 Sy (0/2)
-
×
7/1=0
=8✗
✗ su
du .ge?u=o Eu = 8 Ihn
✗ = ◦ einziger Schnittpunkt ZEUGE 81=0 " -
Eu =/ nls)
¥ -
u Info) -1^9
, Allgemeiner Fall: Die Kurven schneiden sich im Intervall a;b
Berechnung der Gesamtfläche
1. Alle Schnittstellen zwischen A und B berechnen (Nullstellen der Differenzfunktion)
2. Berechnung der Teilflächen
A = ∫(f(x) — g(x))dx
✗1
1
÷
A = ∫(f(x) — g(x))dx
2
ab
A = ∫f(x) — g(x))dx
3 ✗
z
3. Gesamtfläche
A=A +A +A 1 2 3
Beispiel
Gegeben: K: f(x)= Ei
Berechne den Inhalt der Fläche, die von K, der Tangente an K im Punkt B(4/…) und der x—Achse begrenzt wird
Tangente
-
%%
4
Skizze
" """
BIG /fan) B (4/4) At A > f. f- EH =
# }
.
64 -
(
Tangentengleichung
=
in =
,
✗ ×
=3
-
Ableitung : FH ) {× =
-
2
TangentenSteigung mt
= flut =L Dreieck A E -
24=4
A-
; PSF :
y
-
m (✗ -
✗ 1) + y ✗ = 2 (x -
41+4=2×-4
1- =
Große Fläche -
Aa
=
% -
4 = §
Flächen die sich ins Unendliche erstrecken
Bsp: f(x)= e ✗
-
-
Wir berechnen den Flächeninhalt
,
von 0 bis U ( u > °) Jetzt lassen wir u
gegen
N Streben
Hat die Fläche die zwischen „
[ e- % )
°
#
"
der Kurve und den Koordinatenachsen " ×
e ( e-
"
Alu) dx
- -
Skizze = =
Für u o
Au , +1 → 1
im 1. Feld liegt, einen unendlichen
- -
: =
" → ◦
Flächeninhalt ? = -
ei + 1
Die Fläche hat den endlichen Flächeninhalt -1=1
u
Intervall a;b
b b b
Im Intervall a;b liegt Kf oberhalb von Kg. Für den Flächeninhalt A gilt: A= ∫f(x)dx
EIN — ∫g(x)dx
91×1 = ∫(f(x) — g(x))dx
a.tl#HDifterenzfunktionbaobereKurveuntereKurve
•
Merke
In te rv a ll a ;b nicht, dann ist
die Kurven im
Schneiden sich
ere Ku rv e — u ntere Kurve)dx
A = ∫(ob der x-Achse lie
gt)
nte r o d e r a uf
äche über, u
(Egal, ob die Fl
Beachte halts
g a ti ven Wert des Flächemim
rt den n e
re Ku rve — ob ere Kurve) liefe
∫:(unte
Beispiel:
Gegeben sind die beiden Schaubilder K von f mit f(x) = e0,25/1 + 1 und G von g mit g(x) = e 2x +1.
Bestimmen Sie u>0 so, dass die Fläche, die zwischen K, G und der Geraden mit der Gleichung x = u eingeschlossen ist, den
Inhalt 3,5 hat. u
{
"
Eezx Ge :X
"
{(94
"
f)dx
✗ =
-
Skizze A- ) e e
-
FG) -94 )
=
-
◦
Schnittpunkte
|
GG )
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?"
f" , Ee
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Ge
"
( E 4) =
Ee" Ge +3,5
ER
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- -
" - -
+1 +1
t
A-
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f-G) =L Ee ?"
"
✗
+1 Ge +3,5=3.5
Sy (0/2)
-
0,25/1=2 × 1-4 ?"
GE
"
Ie -
"
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-
8=0
91×1=22×+1 Sy (0/2)
-
×
7/1=0
=8✗
✗ su
du .ge?u=o Eu = 8 Ihn
✗ = ◦ einziger Schnittpunkt ZEUGE 81=0 " -
Eu =/ nls)
¥ -
u Info) -1^9
, Allgemeiner Fall: Die Kurven schneiden sich im Intervall a;b
Berechnung der Gesamtfläche
1. Alle Schnittstellen zwischen A und B berechnen (Nullstellen der Differenzfunktion)
2. Berechnung der Teilflächen
A = ∫(f(x) — g(x))dx
✗1
1
÷
A = ∫(f(x) — g(x))dx
2
ab
A = ∫f(x) — g(x))dx
3 ✗
z
3. Gesamtfläche
A=A +A +A 1 2 3
Beispiel
Gegeben: K: f(x)= Ei
Berechne den Inhalt der Fläche, die von K, der Tangente an K im Punkt B(4/…) und der x—Achse begrenzt wird
Tangente
-
%%
4
Skizze
" """
BIG /fan) B (4/4) At A > f. f- EH =
# }
.
64 -
(
Tangentengleichung
=
in =
,
✗ ×
=3
-
Ableitung : FH ) {× =
-
2
TangentenSteigung mt
= flut =L Dreieck A E -
24=4
A-
; PSF :
y
-
m (✗ -
✗ 1) + y ✗ = 2 (x -
41+4=2×-4
1- =
Große Fläche -
Aa
=
% -
4 = §
Flächen die sich ins Unendliche erstrecken
Bsp: f(x)= e ✗
-
-
Wir berechnen den Flächeninhalt
,
von 0 bis U ( u > °) Jetzt lassen wir u
gegen
N Streben
Hat die Fläche die zwischen „
[ e- % )
°
#
"
der Kurve und den Koordinatenachsen " ×
e ( e-
"
Alu) dx
- -
Skizze = =
Für u o
Au , +1 → 1
im 1. Feld liegt, einen unendlichen
- -
: =
" → ◦
Flächeninhalt ? = -
ei + 1
Die Fläche hat den endlichen Flächeninhalt -1=1
u
