Fysica m.i.v. wiskunde
WISKUNDE
Hoofdstuk 1: Afgeleiden
1.1 Afgeleiden
Afgeleide = verandering v/e functie (spanning tussen EEG-electroden f) a.f.v. een variabele (de tijd t)
• Gebruiken voor detectie van verandering (vb. verandering hersenactiviteit bij epilepsie)
• Hoe hoger de afgeleiden, hoe meer verandering in de functie
• Hoe dichter afgeleide bij 0 is, hoe kleiner de verandering (of geen verandering)
1.2 Helling
∆𝑦
𝐻𝑒𝑙𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑣𝑎𝑛 𝑒𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑒 =
∆𝑥
Helling = hoe verandert de y-waarde als ik een klein stapje volgens de x-waarde zet
• In elk punt gelijk + onafhankelijk van ∆𝑥
• In een rechte is de helling overal hetzelfde
1.1.2 Helling v/e functie
∆𝑦 𝑓. (𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝐻𝑒𝑙𝑙𝑖𝑛𝑔 (𝑃𝑄) = =
∆𝑥 ℎ
• Helling in een willekeurige punt P v/e functie y = f(x)
• Hierbij is de helling niet overal hetzelfde
1
,1.2 Afgeleide definitie en interpretatie
Definitie:
∆𝑦 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑓 ! (𝑥) = lim = lim
∆#→% ∆𝑥 &→' ℎ
Interpretatie:
Afgeleide = helling v/d raaklijn v/e punt
• Raaklijn ↑ dan afgeleide (+)
• Raaklijn ↓ dan afgeleide (-)
• Raaklijn – dan afgeleide 0
Extra formule: (𝑎 + 𝑏)( = 𝑎( + 2𝑎𝑏 + 𝑏(
MC: slide 7
1.3 Afgeleiden formules
1.3.1 Constante
𝑑𝑎
= 0 𝑚𝑒𝑡 𝑎 𝑒𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑑𝑥
Algemeen:
𝑑(𝑎𝑦) 𝑑𝑦
= 𝑎.
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Voorbeeld:
1.3.2 Macht
𝑑𝑥 )
= 𝑛𝑥 )*+
𝑑𝑥
Voorbeeld:
MC: slide 11
2
,1.3.3 Andere formules
𝑑(ln 𝑥) 1 𝑑(𝑒 # )
= = 𝑒#
𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥
#)
𝑑(𝑎
= 𝑎 # . ln 𝑎
𝑑𝑥
1.3.4 Goniometrische functies
𝑑(sin 𝑥) 𝑑(cos 𝑥)
= cos 𝑥 = − sin 𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑(tan 𝑥) 1 𝑑(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥) 1
= =− (
𝑑𝑥 cos( 𝑥 𝑑𝑥 sin 𝑥
𝑑(arcsin 𝑥) 1 𝑑(𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑥) −1
= =
𝑑𝑥 √1 − 𝑥 ( 𝑑𝑥 √1 − 𝑥 (
𝑑(arctan 𝑥) 1
=
𝑑𝑥 1 + 𝑥(
1.4 Rekenregels
1.4.1 Som en product
𝑑(𝑢 + 𝑣 − 𝑤) 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑤
= + −
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑(𝑢. 𝑣) 𝑑𝑣 𝑑𝑢
= 𝑢. + 𝑣.
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
1.4.2 Machten van functies
𝑑𝑢) 𝑑𝑢
= 𝑛. 𝑢)*+ .
𝑑𝑥 𝑑𝑥
MC: slide 19
1.4.2 Quotiënt
𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣
𝑑(𝑣 ) 𝑣. 𝑑𝑥 − 𝑢. 𝑑𝑥
=
𝑑𝑥 𝑣(
1.4.3 Kettingregel
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢
= .
𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥
• De kettingregel is een formule voor het bepalen v/d afgeleide v/e samengestelde functie
• Indien een functie y te schrijven is als een functie van u(x) i.p.v. x dan kan met de formule gebruiken
!
+
Extra formule: √𝑢 = 𝑢" 𝑒𝑛 = 𝑉 *+
,
oefeningen: slides 22-24 + MC: slide 25
3
, 1.4.4 Limieten – Regel de l’Hospital (gaat normaal niet gevraagd worden)
' %
Voor een onbepaaldheid v/d gedaante ' of % geldt:
lim 𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥) #→# #
lim =
#→## 𝑔(𝑥) lim 𝑔′(𝑥)
#→##
1.5 Partieel afgeleiden
Partiële afgeleide (functie van meerdere variabelen) = de afgeleide van die functie naar 1 variabele, waarbij de
andere variabelen constant gehouden worden
• Je bestudeert de verandering v/d functie in 1 bepaalde richting
• Vb. (zie figuur) à x constant houden & afleiden naar y
voorbeeldoefening: slide 29 + MC: slides 30-31
1.5.1 Toepassing: foutenpropagatie
Middelbare fout v/e functie (indien MF van onafhankelijke variabelen gekend is):
oefening: slide 33
1.6 Differentiaal
1.6.1 Differentiaal v/e functie
• Als y = f(x) een afgeleide heeft f’(x), dan is de differentiaal: dy = f '(x)dx
• Alle afleidingsformules kunnen met differentialen geschreven worden
• Vb. 𝑑 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
voorbeeldoefening: slide 36
4
WISKUNDE
Hoofdstuk 1: Afgeleiden
1.1 Afgeleiden
Afgeleide = verandering v/e functie (spanning tussen EEG-electroden f) a.f.v. een variabele (de tijd t)
• Gebruiken voor detectie van verandering (vb. verandering hersenactiviteit bij epilepsie)
• Hoe hoger de afgeleiden, hoe meer verandering in de functie
• Hoe dichter afgeleide bij 0 is, hoe kleiner de verandering (of geen verandering)
1.2 Helling
∆𝑦
𝐻𝑒𝑙𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑣𝑎𝑛 𝑒𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑒 =
∆𝑥
Helling = hoe verandert de y-waarde als ik een klein stapje volgens de x-waarde zet
• In elk punt gelijk + onafhankelijk van ∆𝑥
• In een rechte is de helling overal hetzelfde
1.1.2 Helling v/e functie
∆𝑦 𝑓. (𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝐻𝑒𝑙𝑙𝑖𝑛𝑔 (𝑃𝑄) = =
∆𝑥 ℎ
• Helling in een willekeurige punt P v/e functie y = f(x)
• Hierbij is de helling niet overal hetzelfde
1
,1.2 Afgeleide definitie en interpretatie
Definitie:
∆𝑦 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
𝑓 ! (𝑥) = lim = lim
∆#→% ∆𝑥 &→' ℎ
Interpretatie:
Afgeleide = helling v/d raaklijn v/e punt
• Raaklijn ↑ dan afgeleide (+)
• Raaklijn ↓ dan afgeleide (-)
• Raaklijn – dan afgeleide 0
Extra formule: (𝑎 + 𝑏)( = 𝑎( + 2𝑎𝑏 + 𝑏(
MC: slide 7
1.3 Afgeleiden formules
1.3.1 Constante
𝑑𝑎
= 0 𝑚𝑒𝑡 𝑎 𝑒𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
𝑑𝑥
Algemeen:
𝑑(𝑎𝑦) 𝑑𝑦
= 𝑎.
𝑑𝑥 𝑑𝑥
Voorbeeld:
1.3.2 Macht
𝑑𝑥 )
= 𝑛𝑥 )*+
𝑑𝑥
Voorbeeld:
MC: slide 11
2
,1.3.3 Andere formules
𝑑(ln 𝑥) 1 𝑑(𝑒 # )
= = 𝑒#
𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥
#)
𝑑(𝑎
= 𝑎 # . ln 𝑎
𝑑𝑥
1.3.4 Goniometrische functies
𝑑(sin 𝑥) 𝑑(cos 𝑥)
= cos 𝑥 = − sin 𝑥
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑(tan 𝑥) 1 𝑑(𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝑥) 1
= =− (
𝑑𝑥 cos( 𝑥 𝑑𝑥 sin 𝑥
𝑑(arcsin 𝑥) 1 𝑑(𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑥) −1
= =
𝑑𝑥 √1 − 𝑥 ( 𝑑𝑥 √1 − 𝑥 (
𝑑(arctan 𝑥) 1
=
𝑑𝑥 1 + 𝑥(
1.4 Rekenregels
1.4.1 Som en product
𝑑(𝑢 + 𝑣 − 𝑤) 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑤
= + −
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑(𝑢. 𝑣) 𝑑𝑣 𝑑𝑢
= 𝑢. + 𝑣.
𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
1.4.2 Machten van functies
𝑑𝑢) 𝑑𝑢
= 𝑛. 𝑢)*+ .
𝑑𝑥 𝑑𝑥
MC: slide 19
1.4.2 Quotiënt
𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣
𝑑(𝑣 ) 𝑣. 𝑑𝑥 − 𝑢. 𝑑𝑥
=
𝑑𝑥 𝑣(
1.4.3 Kettingregel
𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢
= .
𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥
• De kettingregel is een formule voor het bepalen v/d afgeleide v/e samengestelde functie
• Indien een functie y te schrijven is als een functie van u(x) i.p.v. x dan kan met de formule gebruiken
!
+
Extra formule: √𝑢 = 𝑢" 𝑒𝑛 = 𝑉 *+
,
oefeningen: slides 22-24 + MC: slide 25
3
, 1.4.4 Limieten – Regel de l’Hospital (gaat normaal niet gevraagd worden)
' %
Voor een onbepaaldheid v/d gedaante ' of % geldt:
lim 𝑓′(𝑥)
𝑓(𝑥) #→# #
lim =
#→## 𝑔(𝑥) lim 𝑔′(𝑥)
#→##
1.5 Partieel afgeleiden
Partiële afgeleide (functie van meerdere variabelen) = de afgeleide van die functie naar 1 variabele, waarbij de
andere variabelen constant gehouden worden
• Je bestudeert de verandering v/d functie in 1 bepaalde richting
• Vb. (zie figuur) à x constant houden & afleiden naar y
voorbeeldoefening: slide 29 + MC: slides 30-31
1.5.1 Toepassing: foutenpropagatie
Middelbare fout v/e functie (indien MF van onafhankelijke variabelen gekend is):
oefening: slide 33
1.6 Differentiaal
1.6.1 Differentiaal v/e functie
• Als y = f(x) een afgeleide heeft f’(x), dan is de differentiaal: dy = f '(x)dx
• Alle afleidingsformules kunnen met differentialen geschreven worden
• Vb. 𝑑 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥
voorbeeldoefening: slide 36
4
