Beschrijvende statistiek en kansrekenen
Inhoud
Hoofdstuk 1. Wat is statistiek? ................................................................................................................ 4
Waarom statistiek? ............................................................................................................................. 4
Definitie van statistiek ......................................................................................................................... 4
Voorbeelden ........................................................................................................................................ 4
Onderwerp van de statistiek ............................................................................................................... 4
Hoofdstuk 2. Data en hun voorstelling.................................................................................................... 4
Soorten gegevens en meetschalen ..................................................................................................... 4
De datamatrix ...................................................................................................................................... 5
Voorstellen van univariate (1 enkele variabele) kwalitatieve variabelen ........................................... 5
Voorstellen van univariate kwantitatieve variabelen ......................................................................... 6
Het voorstellen van bivariate variabelen ............................................................................................ 6
Het voorstellen van tijdreeksen .......................................................................................................... 6
Nog meer grafische mogelijkheden .................................................................................................... 6
Hoofdstuk 3. Beschrijvende statistieken van steekproefgegevens ......................................................... 6
Kengetallen van centrale ligging of locatie ......................................................................................... 7
Mediaan........................................................................................................................................... 7
Modus.............................................................................................................................................. 7
Rekenkundig gemiddelde ................................................................................................................ 7
Maatstaven van relatieve ligging ........................................................................................................ 8
Ordestatistiek, kwantiel, percentiel, deciel ..................................................................................... 8
Kengetallen van spreiding ................................................................................................................... 8
Spreidingsbreedte ........................................................................................................................... 8
Interkwartielbreedte ....................................................................................................................... 8
Gemiddelde absolute afwijking ....................................................................................................... 8
Variantie .......................................................................................................................................... 8
Standaarddeviantie: 𝑠 = 𝑠2 ............................................................................................................ 9
Variatiecoëfficiënt ........................................................................................................................... 9
Spreidingsindices voor nominale en ordinale variabelen ............................................................... 9
Kengetallen van scheefheid ................................................................................................................ 9
Boxplot .............................................................................................................................................. 10
Bivariate variabelen........................................................................................................................... 10
Hoofdstuk 4. Kansrekenen .................................................................................................................... 11
1
, Kansexperimenten ............................................................................................................................ 11
Definitie van kans .............................................................................................................................. 12
Rekenregels ....................................................................................................................................... 12
Voorwaardelijke kans ........................................................................................................................ 12
Onafhankelijke en afhankelijke gebeurtenissen ............................................................................... 13
Totale kans en de regel van Bayes .................................................................................................... 13
Bijkomende aspecten van kansrekening ........................................................................................... 13
Hoofdstuk 6. Univariate kansvariabelen ............................................................................................... 13
Kansvariabelen en verdelingsfuncties ............................................................................................... 13
Discrete kansvariabelen en kansverdelingen .................................................................................... 14
Continue kansvariabelen en kansdichtheden ................................................................................... 14
Continu versus discreet ................................................................................................................. 15
Functies van kansvariabelen ............................................................................................................. 15
Functies van een discrete kansvariabele ....................................................................................... 15
Functies van een continue kansvariabele ..................................................................................... 15
Families van kansverdelingen en kansdichtheden ............................................................................ 16
Simulatie van kansvariabelen ............................................................................................................ 16
Hoofdstuk 7. Kengetallen van populaties en processen ....................................................................... 16
Verwachte waarde van een kansvariabele (= het gemiddelde) ........................................................ 16
Verwachte waarde van een functie van een kansvariabele.............................................................. 17
Speciale gevallen ............................................................................................................................... 17
Variantie en standaarddeviatie van een kansvariabele .................................................................... 17
Andere kengetallen ........................................................................................................................... 18
Momentgenererende functie ............................................................................................................ 18
Hoofdstuk 8. Belangrijke discrete kansverdelingen .............................................................................. 20
De uniforme verdeling....................................................................................................................... 20
De Bernoulli-verdeling....................................................................................................................... 20
De binomiale verdeling ..................................................................................................................... 20
De hypergeometrische verdeling ...................................................................................................... 21
De Poisson-verdeling ......................................................................................................................... 21
De geometrische verdeling ............................................................................................................... 22
De negatief binomiale verdeling ....................................................................................................... 22
Hoofdstuk 9. Belangrijke continue kansdichtheden ............................................................................. 22
De continue uniforme dichtheid ....................................................................................................... 22
De exponentiële dichtheid ................................................................................................................ 23
De gamma dichtheid ......................................................................................................................... 24
2
, De Weibull-dichtheid......................................................................................................................... 25
De beta dichtheid .............................................................................................................................. 25
Hoofdstuk 10. Normale verdeling ......................................................................................................... 25
De dichtheid ...................................................................................................................................... 25
Berekening van kansen voor normaal verdeelde variabelen ............................................................ 26
Standaardnormaal verdeling ......................................................................................................... 26
Normaal verdeelde variabelen ...................................................................................................... 26
Intervalbepaling............................................................................................................................. 27
Lognormale kansdichtheid ................................................................................................................ 27
Eigenschappen............................................................................................................................... 27
Voorbeeld ...................................................................................................................................... 28
Hoofdstuk 11. Multivariate kansvariabelen .......................................................................................... 28
Inleidende begrippen ........................................................................................................................ 28
Voorbeelden .................................................................................................................................. 28
Soorten kansverdelingen................................................................................................................... 28
Gezamenlijke (discrete) kansverdeling......................................................................................... 28
Marginale of onvoorwaardelijke (discrete) kansverdeling............................................................ 29
Voorwaardelijke (discrete) kansverdeling ..................................................................................... 29
Multinomiale kansverdeling .......................................................................................................... 29
Continue bivariate kansvariabelen ................................................................................................ 29
Hoofdstuk 12. Functies van meerdere kansvariabelen ......................................................................... 29
Verwachte waarde van functies van meerdere kansvariabelen ....................................................... 29
Voorwaardelijke verwachte waarden ............................................................................................... 30
Functies van onafhankelijke Poisson, normaal en lognormaal verdeelde kansvariabelen ............... 31
Poisson........................................................................................................................................... 31
Normaal ......................................................................................................................................... 31
Lognormaal .................................................................................................................................... 31
Hoofdstuk 13. Covariantie, correlatie en variantie van lineaire functies.............................................. 31
Covariantie en correlatie ................................................................................................................... 31
Variantie van een lineaire functie van 2 kansvariabelen .................................................................. 32
Variantie van een lineaire functie van meerdere kansvariabelen .................................................... 32
Variantie van een lineaire combinatie van onafhankelijke kansvariabelen ...................................... 33
Lineaire combinatie van normaal verdeelde kansvariabelen ........................................................... 33
Bivariate en multivariate normale kansdichtheid ............................................................................. 33
Grafische voorstellingen ................................................................................................................ 33
Hoofdstuk 14. De centrale limietstelling ............................................................................................... 34
3
, Kansdichtheid van het steekproefgemiddelde uit een normaal verdeelde populatie ..................... 34
Kansdichtheid van het steekproefgemiddelde uit een niet-normaal verdeelde populatie .............. 34
Centrale limietstelling - versie 1 .................................................................................................... 34
Centrale limietstelling - versie 2 .................................................................................................... 34
Centrale limietstelling - versie 3 .................................................................................................... 34
Hoofdstuk 1. Wat is statistiek?
Waarom statistiek?
Met statistiek kan men data verwerken tot bruikbare informatie.
We worden vaak (onbewust) geconfronteerd met (beschrijvende) statistiek:
- resultaten allerhande economische analyses: Vlaamse werkloosheid op het laagste punt in 20
jaar: vooral verbetering tussen 55 en 60 jaar, Vrtnws, 04 februari 2020
- resultaten van peilingen voor verkiezingen
- grootwarenhuizen die via klantenkaart allerhande gegevens van klanten willen verzamelen
Iedereen wordt vroeg of laat wel eens met de analyse van gegevens geconfronteerd:
- banken (aan wie een lening? Hoe groot mag de lening zijn?)
- verzekeringsmaatschappijen (aan wie een verzekering? hoe hoog moet de premie zijn?)
- industrie (waaraan zijn defecte producten te wijten?)
Definitie van statistiek
Als geheel van methodologieën voor het verzamelen, voorstellen, analyseren en interpreteren van
data en gegevens. Deze gegevens kunnen we dan verwerken naar bruikbare informatie.
Voorbeelden
Grootwarenhuizen verzamelen via de klantenkaarten massa’s gegevens. Zaken die meestal
geregistreerd worden:
- gespendeerde bedrag per winkelbeurt
- aantal gekochte artikelen
- welke artikelen werden gekocht (voeding, kleding, ...)
- betalingswijze (contant, debetkaart, kredietkaart, maaltijdcheque)
Gigantische hoeveelheid informatie wordt dan geanalyseerd → voorbeeld op maat gemaakte
reclamefolders
Onderwerp van de statistiek
Populaties van objecten → voorbeeld: klanten van een grootwarenhuis
Gegevens: geregistreerde eigenschappen of karakteristiek → variabelen, voorbeeld: gespendeerde
bedrag, aantal gekochte artikelen, betalingswijze,...
Steekproef: slechts een deel van de objecten wordt bestudeerd
Hoofdstuk 2. Data en hun voorstelling
Soorten gegevens en meetschalen
Gegevens worden verzameld over meerdere eigenschappen of variabelen (kleur van wijn,...) →
variabelen worden ingedeeld naargelang hun meetniveau
- Kwalitatieve of categorische variabelen
4
Inhoud
Hoofdstuk 1. Wat is statistiek? ................................................................................................................ 4
Waarom statistiek? ............................................................................................................................. 4
Definitie van statistiek ......................................................................................................................... 4
Voorbeelden ........................................................................................................................................ 4
Onderwerp van de statistiek ............................................................................................................... 4
Hoofdstuk 2. Data en hun voorstelling.................................................................................................... 4
Soorten gegevens en meetschalen ..................................................................................................... 4
De datamatrix ...................................................................................................................................... 5
Voorstellen van univariate (1 enkele variabele) kwalitatieve variabelen ........................................... 5
Voorstellen van univariate kwantitatieve variabelen ......................................................................... 6
Het voorstellen van bivariate variabelen ............................................................................................ 6
Het voorstellen van tijdreeksen .......................................................................................................... 6
Nog meer grafische mogelijkheden .................................................................................................... 6
Hoofdstuk 3. Beschrijvende statistieken van steekproefgegevens ......................................................... 6
Kengetallen van centrale ligging of locatie ......................................................................................... 7
Mediaan........................................................................................................................................... 7
Modus.............................................................................................................................................. 7
Rekenkundig gemiddelde ................................................................................................................ 7
Maatstaven van relatieve ligging ........................................................................................................ 8
Ordestatistiek, kwantiel, percentiel, deciel ..................................................................................... 8
Kengetallen van spreiding ................................................................................................................... 8
Spreidingsbreedte ........................................................................................................................... 8
Interkwartielbreedte ....................................................................................................................... 8
Gemiddelde absolute afwijking ....................................................................................................... 8
Variantie .......................................................................................................................................... 8
Standaarddeviantie: 𝑠 = 𝑠2 ............................................................................................................ 9
Variatiecoëfficiënt ........................................................................................................................... 9
Spreidingsindices voor nominale en ordinale variabelen ............................................................... 9
Kengetallen van scheefheid ................................................................................................................ 9
Boxplot .............................................................................................................................................. 10
Bivariate variabelen........................................................................................................................... 10
Hoofdstuk 4. Kansrekenen .................................................................................................................... 11
1
, Kansexperimenten ............................................................................................................................ 11
Definitie van kans .............................................................................................................................. 12
Rekenregels ....................................................................................................................................... 12
Voorwaardelijke kans ........................................................................................................................ 12
Onafhankelijke en afhankelijke gebeurtenissen ............................................................................... 13
Totale kans en de regel van Bayes .................................................................................................... 13
Bijkomende aspecten van kansrekening ........................................................................................... 13
Hoofdstuk 6. Univariate kansvariabelen ............................................................................................... 13
Kansvariabelen en verdelingsfuncties ............................................................................................... 13
Discrete kansvariabelen en kansverdelingen .................................................................................... 14
Continue kansvariabelen en kansdichtheden ................................................................................... 14
Continu versus discreet ................................................................................................................. 15
Functies van kansvariabelen ............................................................................................................. 15
Functies van een discrete kansvariabele ....................................................................................... 15
Functies van een continue kansvariabele ..................................................................................... 15
Families van kansverdelingen en kansdichtheden ............................................................................ 16
Simulatie van kansvariabelen ............................................................................................................ 16
Hoofdstuk 7. Kengetallen van populaties en processen ....................................................................... 16
Verwachte waarde van een kansvariabele (= het gemiddelde) ........................................................ 16
Verwachte waarde van een functie van een kansvariabele.............................................................. 17
Speciale gevallen ............................................................................................................................... 17
Variantie en standaarddeviatie van een kansvariabele .................................................................... 17
Andere kengetallen ........................................................................................................................... 18
Momentgenererende functie ............................................................................................................ 18
Hoofdstuk 8. Belangrijke discrete kansverdelingen .............................................................................. 20
De uniforme verdeling....................................................................................................................... 20
De Bernoulli-verdeling....................................................................................................................... 20
De binomiale verdeling ..................................................................................................................... 20
De hypergeometrische verdeling ...................................................................................................... 21
De Poisson-verdeling ......................................................................................................................... 21
De geometrische verdeling ............................................................................................................... 22
De negatief binomiale verdeling ....................................................................................................... 22
Hoofdstuk 9. Belangrijke continue kansdichtheden ............................................................................. 22
De continue uniforme dichtheid ....................................................................................................... 22
De exponentiële dichtheid ................................................................................................................ 23
De gamma dichtheid ......................................................................................................................... 24
2
, De Weibull-dichtheid......................................................................................................................... 25
De beta dichtheid .............................................................................................................................. 25
Hoofdstuk 10. Normale verdeling ......................................................................................................... 25
De dichtheid ...................................................................................................................................... 25
Berekening van kansen voor normaal verdeelde variabelen ............................................................ 26
Standaardnormaal verdeling ......................................................................................................... 26
Normaal verdeelde variabelen ...................................................................................................... 26
Intervalbepaling............................................................................................................................. 27
Lognormale kansdichtheid ................................................................................................................ 27
Eigenschappen............................................................................................................................... 27
Voorbeeld ...................................................................................................................................... 28
Hoofdstuk 11. Multivariate kansvariabelen .......................................................................................... 28
Inleidende begrippen ........................................................................................................................ 28
Voorbeelden .................................................................................................................................. 28
Soorten kansverdelingen................................................................................................................... 28
Gezamenlijke (discrete) kansverdeling......................................................................................... 28
Marginale of onvoorwaardelijke (discrete) kansverdeling............................................................ 29
Voorwaardelijke (discrete) kansverdeling ..................................................................................... 29
Multinomiale kansverdeling .......................................................................................................... 29
Continue bivariate kansvariabelen ................................................................................................ 29
Hoofdstuk 12. Functies van meerdere kansvariabelen ......................................................................... 29
Verwachte waarde van functies van meerdere kansvariabelen ....................................................... 29
Voorwaardelijke verwachte waarden ............................................................................................... 30
Functies van onafhankelijke Poisson, normaal en lognormaal verdeelde kansvariabelen ............... 31
Poisson........................................................................................................................................... 31
Normaal ......................................................................................................................................... 31
Lognormaal .................................................................................................................................... 31
Hoofdstuk 13. Covariantie, correlatie en variantie van lineaire functies.............................................. 31
Covariantie en correlatie ................................................................................................................... 31
Variantie van een lineaire functie van 2 kansvariabelen .................................................................. 32
Variantie van een lineaire functie van meerdere kansvariabelen .................................................... 32
Variantie van een lineaire combinatie van onafhankelijke kansvariabelen ...................................... 33
Lineaire combinatie van normaal verdeelde kansvariabelen ........................................................... 33
Bivariate en multivariate normale kansdichtheid ............................................................................. 33
Grafische voorstellingen ................................................................................................................ 33
Hoofdstuk 14. De centrale limietstelling ............................................................................................... 34
3
, Kansdichtheid van het steekproefgemiddelde uit een normaal verdeelde populatie ..................... 34
Kansdichtheid van het steekproefgemiddelde uit een niet-normaal verdeelde populatie .............. 34
Centrale limietstelling - versie 1 .................................................................................................... 34
Centrale limietstelling - versie 2 .................................................................................................... 34
Centrale limietstelling - versie 3 .................................................................................................... 34
Hoofdstuk 1. Wat is statistiek?
Waarom statistiek?
Met statistiek kan men data verwerken tot bruikbare informatie.
We worden vaak (onbewust) geconfronteerd met (beschrijvende) statistiek:
- resultaten allerhande economische analyses: Vlaamse werkloosheid op het laagste punt in 20
jaar: vooral verbetering tussen 55 en 60 jaar, Vrtnws, 04 februari 2020
- resultaten van peilingen voor verkiezingen
- grootwarenhuizen die via klantenkaart allerhande gegevens van klanten willen verzamelen
Iedereen wordt vroeg of laat wel eens met de analyse van gegevens geconfronteerd:
- banken (aan wie een lening? Hoe groot mag de lening zijn?)
- verzekeringsmaatschappijen (aan wie een verzekering? hoe hoog moet de premie zijn?)
- industrie (waaraan zijn defecte producten te wijten?)
Definitie van statistiek
Als geheel van methodologieën voor het verzamelen, voorstellen, analyseren en interpreteren van
data en gegevens. Deze gegevens kunnen we dan verwerken naar bruikbare informatie.
Voorbeelden
Grootwarenhuizen verzamelen via de klantenkaarten massa’s gegevens. Zaken die meestal
geregistreerd worden:
- gespendeerde bedrag per winkelbeurt
- aantal gekochte artikelen
- welke artikelen werden gekocht (voeding, kleding, ...)
- betalingswijze (contant, debetkaart, kredietkaart, maaltijdcheque)
Gigantische hoeveelheid informatie wordt dan geanalyseerd → voorbeeld op maat gemaakte
reclamefolders
Onderwerp van de statistiek
Populaties van objecten → voorbeeld: klanten van een grootwarenhuis
Gegevens: geregistreerde eigenschappen of karakteristiek → variabelen, voorbeeld: gespendeerde
bedrag, aantal gekochte artikelen, betalingswijze,...
Steekproef: slechts een deel van de objecten wordt bestudeerd
Hoofdstuk 2. Data en hun voorstelling
Soorten gegevens en meetschalen
Gegevens worden verzameld over meerdere eigenschappen of variabelen (kleur van wijn,...) →
variabelen worden ingedeeld naargelang hun meetniveau
- Kwalitatieve of categorische variabelen
4
