Samenvatting Rijen en Reeksen (Voortgezette Analyse)

V O O R T G E Z E T T E A N A L YS E
RIJE N E N REE KSE N

, RIJEN EN REEKSEN

RIJEN

Een rij is een lijst getallen in een gedefinieerde volgorde.
Notatie: {𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … } of {𝑎𝑛 } of {𝑎𝑛 } ∞
𝑛=1
De notatie lijkt op een verzameling, maar bij een rij staan de elementen (termen) op volgorde en
mogen ze vaker voorkomen. Wanneer er in de rij … achter staat, betekent dit dat deze naar oneindig
gaat. Elke term an heeft dus een opvolger an+1.

∞
Voorbeeld: {1, 3, 5, 7, 9, … } = {2𝑘 − 1} 𝑘=1

Let er hierbij ook op dat we het hebben over n (of k in het voorbeeld). Hiermee bedoelen we de
natuurlijke getallen.

Een rij kan worden gedefinieerd als een functie, omdat er voor elke positief geheel getal n een an te
vinden is. Het domein is dan de verzameling natuurlijke getallen. We schrijven niet zo vaak f(n) om een
rij aan te duiden, maar an. De grafiek zal tenslotte bestaan uit losse punten, aangezien het domein
alleen bestaat uit de natuurlijke getallen.

Zoals ook al in het vorige voorbeeld te zien was kunnen sommige rijen gedefinieerd worden met een
formule voor de n-de term. We kunnen een rij dus op drie verschillende manieren noteren: de
officiële notatie voor een rij, de bijbehorende formule of door de termen van de rij uit te schrijven.
1 1 1 1 1 1
Voorbeeld: {𝑛 } ∞
𝑛=1
𝑎𝑛 = 𝑛 {1, 2 , 3 , 4 , 5 , … }

Soms kunnen we de formule ook zo omschrijven dat we de rij bij een andere waarde kunnen laten
beginnen en dat kan soms voordelig zijn.
∞ ∞
Voorbeeld: {1, 3, 5, 7, 9, … } = {2𝑘 − 1} 𝑘=1 = {2𝑘 + 1} 𝑘=0
1 1
{𝑛 } ∞
𝑛=1
= {𝑛+1} ∞
𝑛=0

1
Bij rijen zijn we geïnteresseerd of deze een limiet heeft of niet. Bij de rij {𝑛} ∞
𝑛=1
zien we dat de termen
steeds meer naar 0 neigen als n heel groot wordt (naar oneindig gaat). Dit noemen we de limiet. Als
een rij een limiet heeft, dan is deze convergent. We zeggen dan ook wel: de rij convergeert naar 0.
1
We noteren dit als lim = 0.
𝑛→∞ 𝑛


Definitie
In het algemeen noteren we dit als: lim 𝑎𝑛 = 𝐿 of 𝑎𝑛 → 𝐿 als 𝑛 → ∞ .
𝑛→∞
Dit betekent dat de termen van de rij naar L naderen als n heel groot wordt. Als de limiet bestaat, dan
zeggen we dat de rij convergeert. Anders stellen we dat de rij divergeert.
Onderstaande rijen zijn bijvoorbeeld beiden convergent.




2

,Stelling
Als lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 en 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 dan lim 𝑎𝑛 = 𝐿
𝑥→∞ 𝑛→∞
In woorden: als de functie een limiet heeft en de rij is te schrijven als deze functie (met dan wel als
domein alleen positieve gehele getallen), dan heeft de rij ook dit limiet.
1
Voorbeeld: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2
1 1
Daarvan weet je lim = 0, dan geldt dus ook lim =0
𝑥→∞ 𝑥 2 𝑛→∞ 𝑛 2
1 1 1 1
Want 𝑎𝑛 = 𝑛2 en dat geeft {1, 4 , 9 , 16 , … }
1 1
In het algemeen weten we zelfs dat lim = 0 waar 𝑟 > 0 en dus lim = 0 waar 𝑟 > 0.
𝑥→∞ 𝑥 𝑟 𝑛→∞ 𝑛 𝑟


Rekenregels
De rekenregels voor limieten staan hieronder. Deze gelden alleen als {𝑎𝑛 } en {𝑏𝑛 } convergent zijn.
lim (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ) = lim 𝑎𝑛 + lim 𝑏𝑛
𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞
lim (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛 ) = lim 𝑎𝑛 − lim 𝑏𝑛
𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞
lim 𝑐𝑎𝑛 = 𝑐 lim 𝑎𝑛
𝑛→∞ 𝑛→∞
lim 𝑐 = 𝑐
𝑛→∞
lim (𝑎𝑛 𝑏𝑛 ) = lim 𝑎𝑛 ∙ lim 𝑏𝑛
𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛→∞
𝑎 lim 𝑎𝑛
lim 𝑏𝑛 = 𝑛→∞ mits lim 𝑏𝑛 ≠ 0
𝑛→∞ 𝑛 lim 𝑏 𝑛→∞
𝑛→∞ 𝑛
𝑝
lim 𝑎𝑛𝑝 = [ lim 𝑎𝑛 ] als 𝑝 > 0 en 𝑎𝑛 > 0
𝑛→∞ 𝑛→∞



𝑛+1
Voorbeeld: 𝑎𝑛 = 𝑛
1
lim 𝑎𝑛 = lim (1 + 𝑛) (delen door de hoogste macht van n in de noemer)
𝑛→∞ 𝑛→∞
1
= lim 1 + lim
𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛
=1+0
= 1, dus de rij is convergent.

𝑛 2+1
Voorbeeld: 𝑏𝑛 = 𝑛
1
lim 𝑏𝑛 = lim (𝑛 + 𝑛) (delen door de hoogste macht van n in de noemer)
𝑛→∞ 𝑛→∞
1
= lim 𝑛 + lim
𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛
=∞+0
= ∞, dus de rij is divergent.

ln 𝑛
Voorbeeld: lim
𝑛→∞ 𝑛
Zowel de teller als de noemer gaan in dit geval naar ∞, dus we zouden de regel van l’Hospital willen
toepassen. Daarvoor schrijven we de rij om naar een functie met reële getallen. Dit mag overigens
alleen als de functie continu is.
1
ln 𝑥 𝑥
lim = lim =0
𝑥→∞ 𝑥 𝑥→∞ 1
ln 𝑛
Dus lim =0
𝑛→∞ 𝑛




3

, Stelling
De insluitstelling kunnen we ook toepassen op rijen.
Als (1) 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛 voor 𝑛 ≥ 𝑛0 en (2) lim 𝑎𝑛 = lim 𝑐𝑛 = 𝐿,
𝑛→∞ 𝑛→∞
dan lim 𝑏𝑛 = 𝐿.
𝑛→∞


Met 𝑛0 wordt het punt bedoeld vanaf waar 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛 geldt.

cos 𝑛
Voorbeeld: { } = {cos 1 , cos 2 , cos 3 , … }. Deze rij is
𝑛
convergent. Laat dit zien met behulp van de insluitstelling.
1 cos 𝑛 1
(1) − 𝑛 ≤ ≤𝑛 (want de cosinus is minimaal -1 en maximaal 1)
𝑛
𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛

1
(2) lim 𝑎𝑛 = lim − = 0
𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛
1
lim 𝑐𝑛 = lim =0
𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛
cos 𝑛
Dus lim 𝑏𝑛 = lim =0
𝑛→∞ 𝑛→∞ 𝑛


Stelling
Als lim |𝑎𝑛 | = 0, dan lim 𝑎𝑛 = 0
𝑛→∞ 𝑛→∞
Bewijs: lim |𝑎𝑛 | = 0, dan lim −|𝑎𝑛 | = −0 = 0 (zie 2e rekenregel)
𝑛→∞ 𝑛→∞
Omdat −|𝑎𝑛 | ≤ 𝑎𝑛 ≤ |𝑎𝑛 | geldt volgens de insluitstelling lim 𝑎𝑛 = 0
𝑛→∞

(−1)𝑛 1 1 1
Voorbeeld: lim = {−1, 2 , − 3 , 4 , … }
𝑛→∞ 𝑛
(−1)𝑛 1
lim | | = lim = 0.
𝑛→∞ 𝑛 𝑛→∞ 𝑛
(−1)𝑛
Volgens de absolutewaardestelling geldt dus dat lim =0
𝑛→∞ 𝑛


Stelling
Als lim 𝑎𝑛 = 𝐿 en 𝑓(𝑥) is continu op L, dan lim 𝑓(𝑎𝑛 ) = 𝑓(𝐿)
𝑛→∞ 𝑛→∞
𝜋 𝜋
Voorbeeld: lim sin (𝑛) = sin ( lim 𝑛) = sin(0) = 0
𝑛→∞ 𝑛→∞


Stelling
We kijken verder naar een belangrijke rij, namelijk {𝑟 𝑛 }. Wanneer is deze convergent en wanneer
divergent?
We kennen de bijbehorende functie 𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥 voor 𝑎 ≥ 0




𝑎>1 0<𝑎<1 𝑎=0 𝑎=1
lim 𝑎 𝑥 = ∞ lim 𝑎 𝑥 = 0 lim 𝑎 𝑥 = 0 lim 𝑎 𝑥 = 1
𝑥→∞ 𝑥→∞ 𝑥→∞ 𝑥→∞



4